Арифметической прогрессией называют последовательность чисел (членов прогрессии)
В которой каждый последующий член отличается от предыдущего на сталое слагаемое, которое еще называют шагом или разницей прогрессии .
Таким образом, задавая шаг прогрессии и ее первый член можно найти любой ее элемент по формуле
Свойства арифметической прогрессии
1) Каждый член арифметической прогрессии, начиная со второго номера является средним арифметическим от предыдущего и следующего члена прогрессии
Обратное утверждение также верно. Если среднее арифметическое соседних нечетных (четных) членов прогрессии равно члену, который стоит между ними, то данная последовательность чисел является арифметической прогрессией. По этим утверждением очень просто проверить любую последовательность.
Также по свойству арифметической прогрессии, приведенную выше формулу можно обобщить до следующей
В этом легко убедиться, если расписать слагаемые справа от знака равенства
Ее часто применяют на практике для упрощения вычислений в задачах.
2) Сумма n первых членов арифметической прогрессии вычисляется по формуле
Запомните хорошо формулу суммы арифметической прогрессии, она незаменима при вычислениях и довольно часто встречается в простых жизненных ситуациях.
3) Если нужно найти не всю сумму, а часть последовательности начиная с k -го ее члена, то в Вам пригодится следующая формула суммы
4) Практический интерес представляет отыскание суммы n членов арифметической прогрессии начиная с k -го номера. Для этого используйте формулу
На этом теоретический материал заканчивается и переходим к решению распространенных на практике задач.
Пример 1. Найти сороковой член арифметической прогрессии 4;7;...
Решение:
Согласно условию имеем
Определим шаг прогрессии
По известной формуле находим сороковой член прогрессии
Пример2. Арифметическая прогрессия задана третьим и седьмым ее членом . Найти первый член прогрессии и сумму десяти.
Решение:
Распишем заданные элементы прогрессии по формулам
От второго уравнения вычтем первое, в результате найдем шаг прогрессии
Найденное значение подставляем в любое из уравнений для отыскания первого члена арифметической прогрессии
Вычисляем сумму первых десяти членов прогрессии
Не применяя сложных вычислений ми нашли все искомые величины.
Пример 3. Арифметическую прогрессию задано знаменателем и одним из ее членов . Найти первый член прогрессии, сумму 50 ее членов начиная с 50 и сумму 100 первых.
Решение:
Запишем формулу сотого элемента прогрессии
и найдем первый
На основе первого находим 50 член прогрессии
Находим сумму части прогрессии
и сумму первых 100
Сумма прогрессии равна 250.
Пример 4.
Найти число членов арифметической прогрессии, если:
а3-а1=8, а2+а4=14, Sn=111.
Решение:
Запишем уравнения через первый член и шаг прогрессии и определим их
Полученные значения подставляем в формулу суммы для определения количества членов в сумме
Выполняем упрощения
и решаем квадратное уравнение
Из найденных двух значений условии задачи подходит только число 8 . Таким образом сумма первых восьми членов прогрессии составляет 111.
Пример 5.
Решить уравнение
1+3+5+...+х=307.
Решение: Данное уравнение является суммой арифметической прогрессии. Выпишем первый ее член и найдем разницу прогрессии
В чём главная суть формулы?
Эта формула позволяет найти любой ПО ЕГО НОМЕРУ "n" .
Разумеется, надо знать ещё первый член a 1 и разность прогрессии d , ну так без этих параметров конкретную прогрессию и не запишешь.
Заучить (или зашпаргалить) эту формулу мало. Надо усвоить её суть и поприменять формулу в различных задачках. Да ещё и не забыть в нужный момент, да...) Как не забыть - я не знаю. А вот как вспомнить, при необходимости, - точно подскажу. Тем, кто урок до конца осилит.)
Итак, разберёмся с формулой n-го члена арифметической прогрессии.
Что такое формула вообще - мы себе представляем.) Что такое арифметическая прогрессия, номер члена, разность прогресии - доступно изложено в предыдущем уроке. Загляните, кстати, если не читали. Там всё просто. Осталось разобраться, что такое n-й член.
Прогрессию в общем виде можно записать в виде ряда чисел:
a 1 , a 2 , a 3 , a 4 , a 5 , .....
a 1 - обозначает первый член арифметической прогрессии, a 3 - третий член, a 4 - четвёртый, и так далее. Если нас интересует пятый член, скажем, мы работаем с a 5 , если сто двадцатый - с a 120 .
А как обозначить в общем виде любой член арифметической прогрессии, с любым номером? Очень просто! Вот так:
a n
Это и есть n-й член арифметической прогрессии. Под буквой n скрываются сразу все номера членов: 1, 2, 3, 4, и так далее.
И что нам даёт такая запись? Подумаешь, вместо цифры буковку записали...
Эта запись даёт нам мощный инструмент для работы с арифметической прогрессией. Используя обозначение a n , мы можем быстро найти любой член любой арифметической прогрессии. И ещё кучу задач по прогрессии решить. Сами дальше увидите.
В формуле n-го члена арифметической прогрессии:
| a n = a 1 + (n-1)d |
a 1 - первый член арифметической прогрессии;
n - номер члена.
Формула связывает ключевые параметры любой прогрессии: a n ; a 1 ; d и n . Вокруг этих параметров и крутятся все задачки по прогрессии.
Формула n-го члена может использоваться и для записи конкретной прогрессии. Например, в задаче может быть сказано, что прогрессия задана условием:
a n = 5 + (n-1)·2.
Такая задачка может и в тупик поставить... Нет ни ряда, ни разности... Но, сравнивая условие с формулой, легко сообразить, что в этой прогрессии a 1 =5, а d=2.
А бывает ещё злее!) Если взять то же условие: a n = 5 + (n-1)·2, да раскрыть скобки и привести подобные? Получим новую формулу:
a n = 3 + 2n.
Это Только не общая, а для конкретной прогрессии. Вот здесь и таится подводный камень. Некоторые думают, что первый член - это тройка. Хотя реально первый член - пятёрка... Чуть ниже мы поработаем с такой видоизменённой формулой.
В задачах на прогрессию встречается ещё одно обозначение - a n+1 . Это, как вы догадались, "эн плюс первый" член прогрессии. Смысл его прост и безобиден.) Это член прогрессии, номер которого больше номера n на единичку. Например, если в какой-нибудь задаче мы берём за a n пятый член, то a n+1 будет шестым членом. И тому подобное.
Чаще всего обозначение a n+1 встречается в рекуррентных формулах. Не пугайтесь этого страшного слова!) Это просто способ выражения члена арифметической прогрессии через предыдущий. Допустим, нам дана арифметическая прогрессия вот в таком виде, с помощью рекуррентной формулы:
a n+1 = a n +3
a 2 = a 1 + 3 = 5+3 = 8
a 3 = a 2 + 3 = 8+3 = 11
Четвёртый - через третий, пятый - через четвёртый, и так далее. А как посчитать сразу, скажем двадцатый член, a 20 ? А никак!) Пока 19-й член не узнаем, 20-й не посчитать. В этом и есть принципиальное отличие рекуррентной формулы от формулы n-го члена. Рекуррентная работает только через предыдущий член, а формула n-го члена - через первый и позволяет сразу находить любой член по его номеру. Не просчитывая весь ряд чисел по порядочку.
В арифметической прогрессии рекуррентную формулу легко превратить в обычную. Посчитать пару последовательных членов, вычислить разность d, найти, если надо, первый член a 1 , записать формулу в обычном виде, да и работать с ней. В ГИА подобные задания частенько встречаются.
Применение формулы n-го члена арифметической прогрессии.
Для начала рассмотрим прямое применение формулы. В конце предыдущего урока была задачка:
Дана арифметическая прогрессия (a n). Найти a 121 , если a 1 =3, а d=1/6.
Эту задачку можно безо всяких формул решить, просто исходя из смысла арифметической прогрессии. Прибавлять, да прибавлять... Часок-другой.)
А по формуле решение займёт меньше минуты. Можете засекать время.) Решаем.
В условиях приведены все данные для использования формулы: a 1 =3, d=1/6. Остаётся сообразить, чему равно n. Не вопрос! Нам надо найти a 121 . Вот и пишем:
Прошу обратить внимание! Вместо индекса n появилось конкретное число: 121. Что вполне логично.) Нас интересует член арифметической прогрессии номер сто двадцать один. Вот это и будет наше n. Именно это значение n = 121 мы и подставим дальше в формулу, в скобки. Подставляем все числа в формулу и считаем:
a 121 = 3 + (121-1)·1/6 = 3+20 = 23
Вот и все дела. Так же быстро можно было бы найти и пятьсот десятый член, и тысяча третий, любой. Ставим вместо n нужный номер в индексе у буквы "a" и в скобках, да и считаем.
Напомню суть: эта формула позволяет найти любой член арифметической прогрессии ПО ЕГО НОМЕРУ "n" .
Решим задание похитрее. Пусть нам попалась такая задачка:
Найдите первый член арифметической прогрессии (a n), если a 17 =-2; d=-0,5.
Если возникли затруднения, подскажу первый шаг. Запишите формулу n-го члена арифметической прогрессии! Да-да. Руками запишите, прямо в тетрадке:
| a n = a 1 + (n-1)d |
А теперь, глядя на буквы формулы, соображаем, какие данные у нас есть, а чего не хватает? Имеется d=-0,5, имеется семнадцатый член... Всё? Если считаете, что всё, то задачу не решите, да...
У нас ещё имеется номер n ! В условии a 17 =-2 спрятаны два параметра. Это и значение семнадцатого члена (-2), и его номер (17). Т.е. n=17. Эта "мелочь" часто проскакивает мимо головы, а без неё, (без "мелочи", а не головы!) задачу не решить. Хотя... и без головы тоже.)
Теперь можно просто тупо подставить наши данные в формулу:
a 17 = a 1 + (17-1)·(-0,5)
Ах да, a 17 нам известно, это -2. Ну ладно, подставим:
-2 = a 1 + (17-1)·(-0,5)
Вот, в сущности, и всё. Осталось выразить первый член арифметической прогрессии из формулы, да посчитать. Получится ответ: a 1 = 6.
Такой приём - запись формулы и простая подстановка известных данных - здорово помогает в простых заданиях. Ну, надо, конечно, уметь выражать переменную из формулы, а что делать!? Без этого умения математику можно вообще не изучать...
Ещё одна популярная задачка:
Найдите разность арифметической прогрессии (a n), если a 1 =2; a 15 =12.
Что делаем? Вы удивитесь, пишем формулу!)
| a n = a 1 + (n-1)d |
Соображаем, что нам известно: a 1 =2; a 15 =12; и (специально выделю!) n=15. Смело подставляем в формулу:
12=2 + (15-1)d
Считаем арифметику.)
12=2 + 14d
d =10/14 = 5/7
Это правильный ответ.
Так, задачи на a n , a 1 и d порешали. Осталось научиться номер находить:
Число 99 является членом арифметической прогрессии (a n), где a 1 =12; d=3. Найти номер этого члена.
Подставляем в формулу n-го члена известные нам величины:
a n = 12 + (n-1)·3
На первый взгляд, здесь две неизвестные величины: a n и n. Но a n - это какой-то член прогрессии с номером n ... И этот член прогрессии мы знаем! Это 99. Мы не знаем его номер n, так этот номер и требуется найти. Подставляем член прогрессии 99 в формулу:
99 = 12 + (n-1)·3
Выражаем из формулы n , считаем. Получим ответ: n=30.
А теперь задачка на ту же тему, но более творческая):
Определите, будет ли число 117 членом арифметической прогрессии (a n):
-3,6; -2,4; -1,2 ...
Опять пишем формулу. Что, нет никаких параметров? Гм... А глазки нам зачем дадены?) Первый член прогрессии видим? Видим. Это -3,6. Можно смело записать: a 1 =-3,6. Разность d можно из ряда определить? Легко, если знаете, что такое разность арифметической прогрессии:
d = -2,4 - (-3,6) = 1,2
Так, самое простое сделали. Осталось разобраться с неизвестным номером n и непонятным числом 117. В предыдущей задачке хоть было известно, что дан именно член прогрессии. А здесь и того не знаем... Как быть!? Ну, как быть, как быть... Включить творческие способности!)
Мы предположим, что 117 - это, всё-таки, член нашей прогрессии. С неизвестным номером n . И, точно как в предыдущей задаче, попробуем найти этот номер. Т.е. пишем формулу (да-да!)) и подставляем наши числа:
117 = -3,6 + (n-1)·1,2
Опять выражаем из формулы n , считаем и получаем:
Опаньки! Номер получился дробный! Сто один с половиной. А дробных номеров в прогрессиях не бывает. Какой вывод сделаем? Да! Число 117 не является членом нашей прогрессии. Оно находится где-то между сто первым и сто вторым членом. Если бы номер получился натуральным, т.е. положительным целым, то число было бы членом прогрессии с найденным номером. А в нашем случае, ответ задачи будет: нет.
Задача на основе реального варианта ГИА:
Арифметическая прогрессия задана условием:
a n = -4 + 6,8n
Найти первый и десятый члены прогрессии.
Здесь прогрессия задана не совсем привычным образом. Формула какая-то... Бывает.) Однако, эта формула (как я писал выше) - тоже формула n-го члена арифметической прогрессии! Она тоже позволяет найти любой член прогрессии по его номеру.
Ищем первый член. Тот, кто думает. что первый член - минус четыре, фатально ошибается!) Потому, что формула в задаче - видоизменённая. Первый член арифметической прогрессии в ней спрятан. Ничего, сейчас отыщем.)
Так же, как и в предыдущих задачах, подставляем n=1 в данную формулу:
a 1 = -4 + 6,8·1 = 2,8
Вот! Первый член 2,8, а не -4!
Аналогично ищем десятый член:
a 10 = -4 + 6,8·10 = 64
Вот и все дела.
А теперь, тем кто дочитал до этих строк, - обещанный бонус.)
Предположим, в сложной боевой обстановке ГИА или ЕГЭ, вы подзабыли полезную формулу n-го члена арифметической прогрессии. Что-то припоминается, но неуверенно как-то... То ли n там, то ли n+1, то ли n-1... Как быть!?
Спокойствие! Эту формулку легко вывести. Не очень строго, но для уверенности и правильного решения точно хватит!) Для вывода достаточно помнить элементарный смысл арифметической прогрессии и иметь пару-тройку минут времени. Нужно просто нарисовать картинку. Для наглядности.
Рисуем числовую ось и отмечаем на ней первый. второй, третий и т.п. члены. И отмечаем разность d между членами. Вот так:
Смотрим на картинку и соображаем: чему равняется второй член? Второй одно d :
a 2 =a 1 +1 ·d
Чему равняется третий член? Третий член равняется первый член плюс два d .
a 3 =a 1 +2 ·d
Улавливаете? Я не зря некоторые слова выделяю жирным шрифтом. Ну ладно, ещё один шаг).
Чему равняется четвёртый член? Четвёртый член равняется первый член плюс три d .
a 4 =a 1 +3 ·d
Пора сообразить, что количество промежутков, т.е. d , всегда на один меньше, чем номер искомого члена n . Т.е., до номера n, количество промежутков будет n-1. Стало быть, формула будет (без вариантов!):
| a n = a 1 + (n-1)d |
Вообще, наглядные картинки очень помогают решать многие задачи в математике. Не пренебрегайте картинками. Но если уж картинку нарисовать затруднительно, то... только формула!) Кроме того, формула n-го члена позволяет подключить к решению весь мощный арсенал математики - уравнения, неравенства, системы и т.д. Картинку-то в уравнение не вставишь...
Задания для самостоятельного решения.
Для разминки:
1. В арифметической прогрессии (a n) a 2 =3; a 5 =5,1. Найти a 3 .
Подсказка: по картинке задача решается секунд за 20... По формуле - сложнее получается. Но для освоения формулы - полезнее.) В Разделе 555 эта задачка решена и по картинке, и по формуле. Почувствуйте разницу!)
А это - уже не разминка.)
2. В арифметической прогрессии (a n) a 85 =19,1; a 236 =49, 3. Найти a 3 .
Что, неохота картинку рисовать?) Ещё бы! Уж лучше по формуле, да...
3. Арифметическая прогрессия задана условием: a 1 =-5,5; a n+1 = a n +0,5. Найдите сто двадцать пятый член этой прогрессии.
В этом задании прогрессия задана рекуррентным способом. Но считать до сто двадцать пятого члена... Не всем такой подвиг под силу.) Зато формула n-го члена по силам каждому!
4. Дана арифметическая прогрессия (a n):
-148; -143,8; -139,6; -135,4, .....
Найти номер наименьшего положительного члена прогрессии.
5. По условию задания 4 найти сумму наименьшего положительного и наибольшего отрицательного членов прогрессии.
6. Произведение пятого и двенадцатого членов возрастающей арифметической прогрессии равно -2,5, а сумма третьего и одиннадцатого членов равна нулю. Найти a 14 .
Не самая простая задачка, да...) Здесь способ "на пальцах" не прокатит. Придётся формулы писать да уравнения решать.
Ответы (в беспорядке):
3,7; 3,5; 2,2; 37; 2,7; 56,5
Получилось? Это приятно!)
Не всё получается? Бывает. Кстати, в последнем задании есть один тонкий момент. Внимательность при чтении задачи потребуется. И логика.
Решение всех этих задач подробно разобрано в Разделе 555. И элемент фантазии для четвёртой, и тонкий момент для шестой, и общие подходы для решения всяких задач на формулу n-го члена - всё расписано. Рекомендую.
Если Вам нравится этот сайт...
Кстати, у меня есть ещё парочка интересных сайтов для Вас.)
Можно потренироваться в решении примеров и узнать свой уровень. Тестирование с мгновенной проверкой. Учимся - с интересом!)
можно познакомиться с функциями и производными.
Арифметическая и геометрическая прогрессии
Теоретические сведения
Теоретические сведения
Арифметическая прогрессия |
Геометрическая прогрессия |
|
Определение |
Арифметической прогрессией a n называется последовательность, каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему члену, сложенному с одним и тем же числом d (d - разность прогрессий) |
Геометрической прогрессией b n называется последовательность отличных от нуля чисел, каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему члену, умноженному на одно и тоже число q (q - знаменатель прогрессии) |
Рекуррентная формула |
Для любого натурального n
|
Для любого натурального n
|
Формула n-ого члена |
a n = a 1 + d (n – 1) |
b n = b 1 ∙ q n - 1 , b n ≠ 0 |
| Характеристическое свойство |  |
|
| Сумма n-первых членов |  |
 |
Примеры заданий с комментариями
Задание 1
В арифметической прогрессии (a n ) a 1 = -6, a 2
По формуле n-ого члена:
a 22 = a 1 + d (22 - 1) = a 1 + 21 d
По условию:
a 1 = -6, значит a 22 = -6 + 21 d .
Необходимо найти разность прогрессий:
d = a 2 – a 1 = -8 – (-6) = -2
a 22 = -6 + 21 ∙ (-2) = - 48.
Ответ : a 22 = -48.
Задание 2
Найдите пятый член геометрической прогрессии: -3; 6;....
1-й способ (с помощью формулы n -члена)
По формуле n-ого члена геометрической прогрессии:
b 5 = b 1 ∙ q 5 - 1 = b 1 ∙ q 4 .
Так как b 1 = -3,
2-й способ (с помощью рекуррентной формулы)
Так как знаменатель прогрессии равен -2 (q = -2), то:
b 3 = 6 ∙ (-2) = -12;
b 4 = -12 ∙ (-2) = 24;
b 5 = 24 ∙ (-2) = -48.
Ответ : b 5 = -48.
Задание 3
В арифметической прогрессии (a n ) a 74 = 34; a 76 = 156. Найдите семьдесят пятый член этой прогрессии.
Для арифметической прогрессии характеристическое свойство имеет вид 
.
Из этого следует:
.
Подставим данные в формулу:
Ответ : 95.
Задание 4
В арифметической прогрессии (a n ) a n = 3n - 4. Найдите сумму семнадцати первых членов.
Для нахождения суммы n-первых членов арифметической прогрессии используют две формулы:
.
Какую из них в данном случае удобнее применять?
По условию известна формула n-ого члена исходной прогрессии (a n ) a n = 3n - 4. Можно найти сразу и a 1 , и a 16 без нахождения d . Поэтому воспользуемся первой формулой.
Ответ : 368.
Задание 5
В арифметической прогрессии(a n ) a 1 = -6; a 2 = -8. Найдите двадцать второй член прогрессии.
По формуле n-ого члена:
a 22 = a 1 + d (22 – 1) = a 1 + 21d .
По условию, если a 1 = -6, то a 22 = -6 + 21d . Необходимо найти разность прогрессий:
d = a 2 – a 1 = -8 – (-6) = -2
a 22 = -6 + 21 ∙ (-2) = -48.
Ответ : a 22 = -48.
Задание 6
Записаны несколько последовательных членов геометрической прогрессии:
Найдите член прогрессии, обозначенный буквой x .
При решении воспользуемся формулой n-го члена b n = b 1 ∙ q n - 1 для геометрических прогрессий. Первый член прогрессии. Чтобы найти знаменатель прогрессии q необходимо взять любой из данных членов прогрессии и разделить на предыдущий. В нашем примере можно взять и разделить на. Получим, что q = 3. Вместо n в формулу подставим 3, так как необходимо найти третий член, заданной геометрической прогрессии.
Подставив найденные значения в формулу, получим:
.
Ответ : .
Задание 7
Из арифметических прогрессий, заданных формулой n-го члена, выберите ту, для которой выполняется условие a 27 > 9:
Так как заданное условие должно выполняться для 27-го члена прогрессии, подставим 27 вместо n в каждую из четырех прогрессий. В 4-й прогрессии получим:
.
Ответ : 4.
Задание 8
В арифметической прогрессии a 1 = 3, d = -1,5. Укажите наибольшее значение n , для которого выполняется неравенство a n > -6.
В математике любая организованная каким-либо способом совокупность чисел, которые следуют друг за другом, называется последовательностью. Из всех существующих последовательностей чисел выделяют два интересных случая: прогрессии алгебраическую и геометрическую.
Что представляет собой арифметическая прогрессия?
Сразу следует сказать, что алгебраическую прогрессию часто называют арифметической, поскольку ее свойства изучает ветвь математики - арифметика.
Эта прогрессия представляет собой такую последовательность чисел, в которой каждый следующий ее член отличается от предыдущего на некоторое постоянное число. Оно называется разностью алгебраической прогрессии. Для определенности обозначим его латинской буквой d.
Примером такой последовательности может быть следующая: 3, 5, 7, 9, 11 ..., здесь видно, что число 5 больше числа 3 на 2, 7 больше 5 тоже на 2, и так далее. Таким образом, в представленном примере d = 5-3 = 7-5 = 9-7 = 11-9 = 2.
Какие бывают арифметические прогрессии?
Характер этих упорядоченных последовательностей чисел во многом определяется знаком числа d. Выделяют следующие виды алгебраических прогрессий:
- возрастающая, когда d положительное (d>0);
- постоянная, когда d = 0;
- убывающая, когда d отрицательное (d<0).
В примере, который приведен в предыдущем пункте, показана возрастающая прогрессия. Примером убывающей является следующая последовательность чисел: 10, 5, 0, -5, -10, -15 ... Постоянная прогрессия, как следует из ее определения, представляет собой совокупность одинаковых чисел.
n-й член прогрессии
Благодаря тому, что каждое последующее число в рассматриваемой прогрессии отличается на константу d от предыдущего, можно легко определить n-й ее член. Для этого нужно знать не только d, но и a 1 - первый член прогрессии. Применяя рекурсивный подход, можно получить формулу алгебраической прогрессии для нахождения n-го члена. Она имеет вид: a n = a 1 + (n-1)*d. Это формула является достаточно простой, и понять ее можно на интуитивном уровне.
Также не представляет никакой сложности ее использование. Например, в прогрессии, которая приведена выше (d=2, a 1 =3), определим 35-й ее член. Согласно формуле, он будет равен: a 35 = 3 + (35-1)*2 = 71.
Формула для суммы
Когда дана некоторая арифметическая прогрессия, то сумма ее первых n членов является часто возникающей задачей, наряду с определением значения n-го члена. Формула суммы алгебраической прогрессии записывается в следующем виде: ∑ n 1 = n*(a 1 +a n)/2, здесь значок ∑ n 1 говорит о том, что суммируются с 1-го по n-й член.
Приведенное выражение можно получить, прибегая к свойствам все той же рекурсии, однако существует более легкий способ доказательства его справедливости. Запишем первые 2 и последние 2 члена этой суммы, выразив их в числах a 1 , a n и d, и получим: a 1 , a 1 +d,...,a n -d, a n . Теперь заметим, что если сложить первый член с последним, то он будет точно равен сумме второго и предпоследнего члена, то есть a 1 +a n . Аналогичным способом можно показать, что эту же сумму можно получить, если сложить третий и предпредпоследний члены, и так далее. В случае парного количества чисел в последовательности получаем n/2 сумм, каждая из которых равна a 1 +a n . То есть получаем вышеприведенную формулу алгебраической прогрессии для суммы: ∑ n 1 = n*(a 1 +a n)/2.
Для непарного количества членов n получается аналогичная формула, если следовать описанным рассуждениям. Только нужно не забыть добавить оставшееся слагаемое, которое находится в центре прогрессии.
Покажем, как пользоваться приведенной формулой на примере простой прогрессии, которая была введена выше (3, 5, 7, 9, 11 ...). Например, необходимо определить сумму первых 15 ее членов. Для начала определим a 15 . Воспользовавшись формулой для n-го члена (см. предыдущий пункт), получаем: a 15 = a 1 + (n-1)*d = 3 + (15-1)*2 = 31. Теперь можно применить формулу суммы алгебраической прогрессии: ∑ 15 1 = 15*(3+31)/2 = 255.
Любопытно привести интересный исторический факт. Формулу для суммы арифметической прогрессии впервые получил Карл Гаусс (знаменитый немецкий математик XVIII века). Когда ему было всего 10 лет, то учитель задал задачу, найти сумму чисел от 1 до 100. Говорят, что маленький Гаусс решил эту задачу за несколько секунд, заметив, что попарно суммируя числа с начала и конца последовательности, всегда можно получить 101, а поскольку таких сумм 50, то он быстро выдал ответ: 50*101 = 5050.
Пример решения задачи
В качестве завершения темы алгебраической прогрессии приведем пример решения еще одной любопытной задачи, закрепив тем самым понимание рассматриваемой темы. Пусть дана некоторая прогрессия, для которой известна разность d = -3, а также ее 35-й член a 35 = -114. Необходимо найти 7-й член прогрессии a 7 .
Как видно из условия задачи, значение a 1 является неизвестным, поэтому напрямую формулой для n-го члена воспользоваться не получится. Также является неудобным способ рекурсии, который в ручную тяжело реализовать, и велика вероятность допустить ошибку. Поступим следующим образом: выпишем формулы для a 7 и a 35 , имеем: a 7 = a 1 + 6*d и a 35 = a 1 + 34*d. Вычтем из первого выражения второе, получим: a 7 - a 35 = a 1 + 6*d - a 1 - 34*d. Откуда следует: a 7 = a 35 - 28*d. Осталось подставить известные данные из условия задачи и записать ответ: a 7 = -114 - 28*(-3) = -30.
Геометрическая прогрессия
Чтобы раскрыть тему статьи полнее, приведем краткое описание еще одного вида прогрессии - геометрической. В математике под этим названием понимают последовательность чисел, в которой каждый последующий член отличается от предыдущего на некоторый множитель. Обозначим этот множитель буквой r. Он называется знаменателем рассматриваемого вида прогрессии. Примером этой последовательности чисел может быть следующая: 1, 5, 25, 125, ...
Как видно из приведенного определения, алгебраическая и геометрическая прогрессии схожи по своей идее. Отличие между ними заключается в том, что первая изменяется медленнее, чем вторая.
Геометрическая прогрессия также может быть возрастающей, постоянной и убывающей. Ее тип зависит от значения знаменателя r: если r>1, то имеет место возрастающая прогрессия, если r<1 - убывающая, наконец, если r = 1 - постоянная, которая в этом случае может также называться постоянной арифметической прогрессией.
Формулы геометрической прогрессии
Как и в случае алгебраической, формулы геометрической прогрессии сводятся к определению ее n-го члена и суммы n слагаемых. Ниже приведены эти выражения:
- a n = a 1 *r (n-1) - эта формула следует из определения геометрической прогрессии.
- ∑ n 1 = a 1 *(r n -1)/(r-1). Важно отметить, если r = 1, то приведенная формула дает неопределенность, поэтому ей пользоваться нельзя. В этом случае сумма n членов будет равна простому произведению a 1 *n.
Например, найдем сумму всего 10 членов последовательности 1, 5, 25, 125, ... Зная, что a 1 = 1 и r = 5, получаем: ∑ 10 1 = 1*(5 10 -1)/4 = 2441406. Полученное значение является наглядным примером того, насколько быстро растет геометрическая прогрессия.
Пожалуй, первым упоминанием об этой прогрессии в истории является легенда с шахматной доской, когда друг одного султана, обучив его игре в шахматы, попросил за свою услугу зерно. Причем количество зерна должно было быть следующим: на первую клетку шахматной доски необходимо положить одно зерно, на вторую в два раза больше, чем на первую, на третью в 2 раза больше, чем на вторую и так далее. Султан охотно согласился выполнить эту просьбу, но он не знал, что ему придется опустошить все закрома своей страны, чтобы сдержать данное слово.
Загрузка...