Uwaga!
Są dodatkowe
materiały w sekcji specjalnej 555.
Dla tych, którzy są bardzo „nie bardzo…”
A dla tych, którzy „bardzo…”)
Postęp arytmetyczny to ciąg liczb, w którym każda liczba jest większa (lub mniejsza) od poprzedniej o tę samą kwotę.
Temat ten często wydaje się skomplikowany i niezrozumiały. Indeksy literowe n-ty termin progresje, różnice w progresji - to wszystko jest w jakiś sposób zagmatwane, tak... Odkryjmy znaczenie postępu arytmetycznego i od razu wszystko stanie się lepsze.)
Pojęcie postępu arytmetycznego.
Postęp arytmetyczny jest pojęciem bardzo prostym i przejrzystym. Czy masz jakieś wątpliwości? Na próżno.) Przekonaj się sam.
Napiszę niedokończony ciąg liczb:
1, 2, 3, 4, 5, ...
Czy możesz przedłużyć tę serię? Jakie liczby będą następne, po piątce? Wszyscy… hm… w skrócie, wszyscy zorientują się, że liczby 6, 7, 8, 9 itd. będą następne.
Skomplikujmy zadanie. Podaję niedokończony ciąg liczb:
2, 5, 8, 11, 14, ...
Będziesz mógł złapać wzór, rozszerzyć serię i nazwać siódmy numer wiersza?
Jeśli zdałeś sobie sprawę, że ta liczba to 20, gratulacje! Nie tylko ty to czułeś kluczowe punkty postęp arytmetyczny, ale także z sukcesem wykorzystał je w biznesie! Jeśli jeszcze tego nie zrozumiałeś, czytaj dalej.
Teraz przełóżmy kluczowe punkty z wrażeń na matematykę.)
Pierwszy kluczowy punkt.
Postęp arytmetyczny dotyczy szeregów liczb. Na początku jest to mylące. Jesteśmy przyzwyczajeni do rozwiązywania równań, rysowania wykresów i tak dalej... Ale tutaj przedłużamy szereg, znajdujemy numer szeregu...
Jest w porządku. Tyle, że progresje to pierwsza znajomość z nową gałęzią matematyki. Sekcja nosi nazwę „Seria” i działa w szczególności z seriami liczb i wyrażeń. Przyzwyczaić się do tego.)
Drugi kluczowy punkt.
W postępie arytmetycznym każda liczba różni się od poprzedniej o tę samą kwotę.
W pierwszym przykładzie różnica ta wynosi jeden. Bez względu na to, jaką liczbę wybierzesz, będzie ona o jeden większa od poprzedniej. W drugim - trzy. Dowolna liczba jest o trzy większa od poprzedniej. Właściwie to właśnie ten moment daje nam możliwość uchwycenia wzoru i obliczenia kolejnych liczb.
Trzeci kluczowy punkt.
Ten moment nie jest uderzający, to prawda... Ale jest bardzo, bardzo ważny. Oto ona: każdy numer progresji stoi na swoim miejscu. Jest pierwsza liczba, jest siódma, jest czterdziesta piąta itd. Jeśli losowo je pomieszasz, wzór zniknie. Zniknie także postęp arytmetyczny. Pozostała tylko seria liczb.
O to właśnie chodzi.
Oczywiście, w nowy temat pojawiają się nowe terminy i oznaczenia. Musisz je poznać. Inaczej nie zrozumiesz zadania. Na przykład będziesz musiał zdecydować o czymś takim:
Zapisz pierwsze sześć wyrazów ciągu arytmetycznego (a n), jeśli a 2 = 5, d = -2,5.
Inspirujesz?) Listy, jakieś indeksy... A zadanie, swoją drogą, nie mogło być prostsze. Musisz tylko zrozumieć znaczenie terminów i oznaczeń. Teraz opanujemy tę sprawę i wrócimy do zadania.
Terminy i oznaczenia.
Postęp arytmetyczny to ciąg liczb, w którym każda liczba różni się od poprzedniej o tę samą kwotę.
Ta ilość nazywa się . Przyjrzyjmy się tej koncepcji bardziej szczegółowo.
Różnica postępu arytmetycznego.
Różnica postępu arytmetycznego to kwota, o jaką dowolny numer progresji więcej poprzedni.
Jeden ważny punkt. Proszę zwrócić uwagę na słowo "więcej". Matematycznie oznacza to, że każdy numer progresji jest dodając różnica postępu arytmetycznego do poprzedniej liczby.
Powiedzmy, że do obliczenia drugi numery serii, musisz Pierwszy numer dodać właśnie tę różnicę w postępie arytmetycznym. Do obliczeń piąty- różnica jest konieczna dodać Do czwarty, cóż, itp.
Różnica postępu arytmetycznego Może pozytywny, wtedy każda liczba w szeregu okaże się prawdziwa więcej niż poprzednio. Ten postęp nazywa się wzrastający. Na przykład:
8; 13; 18; 23; 28; .....
Tutaj uzyskuje się każdą liczbę dodając liczba dodatnia, +5 do poprzedniego.
Różnica może być negatywny, wtedy każda liczba w serii będzie mniej niż poprzednio. Ten postęp nazywa się (nie uwierzysz!) malejące.
Na przykład:
8; 3; -2; -7; -12; .....
Tutaj również uzyskuje się każdą liczbę dodając do poprzedniej, ale już liczbą ujemną, -5.
Swoją drogą, pracując z progresją, bardzo przydatne jest od razu określenie jej charakteru – czy jest ona rosnąca, czy malejąca. To bardzo pomaga w podjęciu decyzji, dostrzeżeniu błędów i skorygowaniu ich, zanim będzie za późno.
Różnica postępu arytmetycznego zwykle oznaczone literą D.
Jak znaleźć D? Bardzo proste. Konieczne jest odjęcie od dowolnej liczby w serii poprzedni numer. Odejmować. Nawiasem mówiąc, wynik odejmowania nazywa się „różnicą”).
Zdefiniujmy np. D dla zwiększenia postępu arytmetycznego:
2, 5, 8, 11, 14, ...
Bierzemy dowolną liczbę z szeregu, na przykład 11. Odejmujemy od niej poprzedni numer te. 8:
To jest poprawna odpowiedź. W przypadku tego postępu arytmetycznego różnica wynosi trzy.
Możesz to wziąć dowolny numer progresji, ponieważ dla konkretnego postępu D-zawsze taki sam. Przynajmniej gdzieś na początku rzędu, przynajmniej w środku, przynajmniej gdziekolwiek. Nie możesz wziąć tylko pierwszej cyfry. Po prostu dlatego, że jest to pierwsza liczba żadnego poprzedniego.)
Swoją drogą, wiedząc to d=3, znalezienie siódmej liczby tego ciągu jest bardzo proste. Do piątej liczby dodajemy 3 – otrzymamy szóstą, będzie to 17. Do szóstej liczby dodamy trzy, otrzymamy siódmą liczbę – dwadzieścia.
Zdefiniujmy D dla malejącego postępu arytmetycznego:
8; 3; -2; -7; -12; .....
Przypominam, że niezależnie od znaków, należy ustalić D potrzebne z dowolnego numeru usuń poprzednią. Wybierz dowolny numer progresji, na przykład -7. Jego poprzednia liczba to -2. Następnie:
d = -7 - (-2) = -7 + 2 = -5
Różnicą ciągu arytmetycznego może być dowolna liczba: całkowita, ułamkowa, niewymierna, dowolna liczba.
Inne terminy i oznaczenia.
Każdy numer w serii jest wywoływany członek ciągu arytmetycznego.
Każdy członek postępu ma swój numer. Liczby są ściśle uporządkowane, bez żadnych sztuczek. Pierwszy, drugi, trzeci, czwarty itd. Na przykład w progresji 2, 5, 8, 11, 14, ... dwa to pierwszy wyraz, pięć to drugi, jedenaście to czwarty, cóż, rozumiesz...) Proszę jasno zrozumieć - same liczby może być absolutnie wszystko, całe, ułamkowe, ujemne, cokolwiek, ale numeracja liczb- ściśle w porządku!
Jak napisać progresję w widok ogólny? Bez pytania! Każda liczba w serii jest zapisana jako litera. Do oznaczenia postępu arytmetycznego zwykle używa się litery A. Numer członkowski jest oznaczony indeksem w prawym dolnym rogu. Terminy piszemy oddzielone przecinkami (lub średnikami), w następujący sposób:
1, 2, 3, 4, 5,.....
1- to jest pierwsza liczba, 3- trzeci itd. Nic nadzwyczajnego. Serię tę można w skrócie zapisać w następujący sposób: (jakiś).
Progresje się zdarzają skończone i nieskończone.
Ostateczny progresja ma ograniczoną liczbę członków. Pięć, trzydzieści osiem, nieważne. Ale to liczba skończona.
Nieskończony progresja - ma nieskończoną liczbę członków, jak można się domyślić.)
Możesz napisać końcowy postęp w serii w ten sposób, ze wszystkimi terminami i kropką na końcu:
1, 2, 3, 4, 5.
Lub w ten sposób, jeśli jest wielu członków:
1, 2, ... 14, 15.
W krótkim wpisie będziesz musiał dodatkowo wskazać liczbę członków. Na przykład (dla dwudziestu członków):
(n), n = 20
Nieskończony postęp można rozpoznać po elipsie na końcu wiersza, jak w przykładach z tej lekcji.
Teraz możesz rozwiązać zadania. Zadania są proste i służą wyłącznie zrozumieniu znaczenia ciągu arytmetycznego.
Przykłady zadań z postępu arytmetycznego.
Przyjrzyjmy się szczegółowo zadaniu podanemu powyżej:
1. Zapisz pierwsze sześć wyrazów ciągu arytmetycznego (an), jeśli a 2 = 5, d = -2,5.
Przetłumaczymy zadanie na zrozumiały język. Dany jest nieskończony postęp arytmetyczny. Znana jest druga liczba tej progresji: za 2 = 5. Znana jest różnica w postępie: d = -2,5. Musimy znaleźć pierwszy, trzeci, czwarty, piąty i szósty wyraz tej progresji.
Dla jasności napiszę serię zgodnie z warunkami problemu. Pierwsze sześć terminów, gdzie drugi termin to pięć:
1,5,3,4,5,6,....
3 = 2 + D
Zastąp wyrażeniem za 2 = 5 I d = -2,5. Nie zapomnij o minusie!
3=5+(-2,5)=5 - 2,5 = 2,5
Okazało się, że pojawił się trzeci termin mniej niż dwa. Wszystko jest logiczne. Jeśli liczba jest większa niż poprzednia negatywny wartość, co oznacza, że sama liczba będzie mniejsza niż poprzednia. Postęp maleje. OK, weźmy to pod uwagę.) Liczymy czwarty wyraz naszego szeregu:
4 = 3 + D
4=2,5+(-2,5)=2,5 - 2,5 = 0
5 = 4 + D
5=0+(-2,5)= - 2,5
6 = 5 + D
6=-2,5+(-2,5)=-2,5 - 2,5 = -5
Obliczono więc terminy od trzeciego do szóstego. Rezultatem jest następująca seria:
a 1, 5, 2,5, 0, -2,5, -5, ....
Pozostaje znaleźć pierwszy wyraz 1 według dobrze znanego drugiego. To krok w drugą stronę, w lewo.) Czyli różnica ciągu arytmetycznego D nie należy dodawać 2, A zabierać:
1 = 2 - D
1=5-(-2,5)=5 + 2,5=7,5
To wszystko. Odpowiedź na zadanie:
7,5, 5, 2,5, 0, -2,5, -5, ...
Na marginesie chciałbym zauważyć, że rozwiązaliśmy to zadanie powtarzający się sposób. To straszne słowo oznacza jedynie poszukiwanie członka progresji zgodnie z poprzednim (sąsiednim) numerem. Poniżej przyjrzymy się innym sposobom pracy z progresją.
Z tego prostego zadania można wyciągnąć jeden ważny wniosek.
Pamiętać:
Jeśli znamy choć jeden wyraz i różnicę ciągu arytmetycznego, to możemy znaleźć dowolny wyraz tego ciągu.
pamiętasz? Ten prosty wniosek pozwala rozwiązać większość problemów kurs szkolny na ten temat. Wszystkie zadania krążą wokół trzy główne parametry: element postępu arytmetycznego, różnica w postępie, numer elementu ciągu. Wszystko.
Oczywiście cała poprzednia algebra nie jest anulowana.) Nierówności, równania i inne rzeczy są powiązane z progresją. Ale zgodnie z samym postępem- wszystko kręci się wokół trzech parametrów.
Jako przykład przyjrzyjmy się niektórym popularnym zadaniom na ten temat.
2. Zapisz skończony postęp arytmetyczny w postaci szeregu, jeśli n=5, d = 0,4 i a 1 = 3,6.
Tutaj wszystko jest proste. Wszystko zostało już dane. Trzeba pamiętać, jak liczy się wyrazy ciągu arytmetycznego, policzyć je i zapisać. Wskazane jest, aby nie pominąć słów w warunkach zadania: „końcowy” i „ n=5”. Aby nie liczyć, dopóki nie zrobi ci się całkowicie siny na twarzy.) W tej progresji jest tylko 5 (pięciu) członków:
za 2 = za 1 + d = 3,6 + 0,4 = 4
za 3 = za 2 + d = 4 + 0,4 = 4,4
4 = 3 + d = 4,4 + 0,4 = 4,8
5 = 4 + d = 4,8 + 0,4 = 5,2
Pozostaje zapisać odpowiedź:
3,6; 4; 4,4; 4,8; 5,2.
Kolejne zadanie:
3. Ustal, czy liczba 7 będzie członkiem ciągu arytmetycznego (an), jeśli a1 = 4,1; d = 1,2.
Hmm... Kto wie? Jak coś ustalić?
Jak-jak... Zapisz progresję w formie serii i zobacz, czy będzie tam siódemka, czy nie! Liczymy:
za 2 = za 1 + d = 4,1 + 1,2 = 5,3
za 3 = za 2 + d = 5,3 + 1,2 = 6,5
4 = 3 + d = 6,5 + 1,2 = 7,7
4,1; 5,3; 6,5; 7,7; ...
Teraz wyraźnie widać, że mamy dopiero siedem lat prześliznął się między 6,5 a 7,7! Siedem nie mieściło się w naszym szeregu liczb, a zatem siedem nie będzie członkiem danej progresji.
Odpowiedź: nie.
Oto problem oparty na realna opcja GIA:
4. Zapisano kilka kolejnych wyrazów postępu arytmetycznego:
...; 15; X; 9; 6; ...
Oto seria napisana bez końca i początku. Żadnych numerów członkowskich, żadnej różnicy D. Jest w porządku. Aby rozwiązać problem, wystarczy zrozumieć znaczenie ciągu arytmetycznego. Spójrzmy i zobaczmy, co jest możliwe wiedzieć z tej serii? Jakie są trzy główne parametry?
Numery członkowskie? Nie ma tu ani jednej liczby.
Ale są trzy liczby i - uwaga! - słowo "spójny" w stanie. Oznacza to, że liczby są ściśle uporządkowane, bez przerw. Czy w tym rzędzie jest dwóch? sąsiedni znane liczby? Tak, mam! Są to 9 i 6. Możemy zatem obliczyć różnicę ciągu arytmetycznego! Odejmij od sześciu poprzedni numer, tj. dziewięć:
Pozostały już tylko drobnostki. Jaka liczba będzie poprzednia dla X? Piętnaście. Oznacza to, że X można łatwo znaleźć poprzez proste dodanie. Dodaj różnicę postępu arytmetycznego do 15:
To wszystko. Odpowiedź: x=12
Sami rozwiązujemy następujące problemy. Uwaga: te problemy nie są oparte na wzorach. Czysto po to, żeby zrozumieć znaczenie postępu arytmetycznego.) Po prostu zapisujemy serię cyfr i liter, patrzymy i wymyślamy.
5. Znajdź pierwszy dodatni wyraz ciągu arytmetycznego, jeśli a 5 = -3; d = 1,1.
6. Wiadomo, że liczba 5,5 należy do ciągu arytmetycznego (an), gdzie a 1 = 1,6; d = 1,3. Określ liczbę n tego wyrazu.
7. Wiadomo, że w postępie arytmetycznym a 2 = 4; za 5 = 15,1. Znajdź 3.
8. Zapisano kilka kolejnych wyrazów postępu arytmetycznego:
...; 15,6; X; 3,4; ...
Znajdź termin progresji wskazany literą x.
9. Pociąg ruszył ze stacji, równomiernie zwiększając prędkość o 30 metrów na minutę. Jaka będzie prędkość pociągu za pięć minut? Podaj odpowiedź w km/h.
10. Wiadomo, że w postępie arytmetycznym a 2 = 5; za 6 = -5. Znajdź 1.
Odpowiedzi (w nieładzie): 7,7; 7,5; 9,5; 9; 0,3; 4.
Czy wszystko się udało? Niesamowity! Możesz opanować postęp arytmetyczny, aby uzyskać więcej wysoki poziom, na kolejnych lekcjach.
Czy nie wszystko się udało? Bez problemu. W sekcji specjalnej 555 wszystkie te problemy są rozwiązywane kawałek po kawałku.) I oczywiście opisano prostą, praktyczną technikę, która natychmiast jasno, wyraźnie i na pierwszy rzut oka podkreśla rozwiązanie takich zadań!
Nawiasem mówiąc, w układance pociągu są dwa problemy, o które ludzie często się potykają. Jeden dotyczy wyłącznie postępów, a drugi jest ogólny dla wszelkich problemów z matematyki, a także fizyki. Jest to tłumaczenie wymiarów z jednego na drugi. Pokazuje, jak należy rozwiązać te problemy.
Na tej lekcji przyjrzeliśmy się elementarnemu znaczeniu ciągu arytmetycznego i jego głównym parametrom. To wystarczy, aby rozwiązać prawie wszystkie problemy na ten temat. Dodać D do liczb, napisz serię, wszystko zostanie rozwiązane.
Rozwiązanie z palcami sprawdza się w przypadku bardzo krótkich fragmentów rzędu, jak w przykładach z tej lekcji. Jeżeli szereg jest dłuższy, obliczenia stają się bardziej skomplikowane. Na przykład, jeśli w zadaniu 9 w pytaniu zastępujemy „pięć minut” NA „trzydzieści pięć minut” problem znacznie się pogorszy.)
Są też zadania w istocie proste, ale absurdalne pod względem obliczeniowym, np.:
Dany jest postęp arytmetyczny (an). Znajdź 121, jeśli a 1 = 3 i d = 1/6.
I co, będziemy dodawać 1/6 wiele, wiele razy?! Możesz się zabić!?
Możesz.) Jeśli nie znasz prostej formuły, dzięki której możesz rozwiązać takie zadania w ciągu minuty. Ta formuła będzie na następnej lekcji. I tam ten problem został rozwiązany. Za minutę.)
Jeśli podoba Ci się ta strona...
Przy okazji, mam dla Ciebie jeszcze kilka ciekawych stron.)
Możesz poćwiczyć rozwiązywanie przykładów i sprawdzić swój poziom. Testowanie z natychmiastową weryfikacją. Uczmy się - z zainteresowaniem!)
Można zapoznać się z funkcjami i pochodnymi.
Kalkulator internetowy.
Rozwiązywanie postępu arytmetycznego.
Dane: a n, d, n
Znajdź: 1
Ten program matematyczny znajduje \(a_1\) ciągu arytmetycznego na podstawie liczb określonych przez użytkownika \(a_n, d\) i \(n\).
Liczby \(a_n\) i \(d\) można podawać nie tylko jako liczby całkowite, ale także jako ułamki zwykłe. Ponadto liczbę ułamkową można wprowadzić w postaci ułamka dziesiętnego (\(2,5\)) oraz w postaci ułamek wspólny(\(-5\frac(2)(7)\)).
Program nie tylko daje odpowiedź na problem, ale także wyświetla proces poszukiwania rozwiązania.
Ten kalkulator online może być przydatny dla uczniów szkół średnich szkoły średnie w przygotowaniu testy oraz egzaminy, podczas sprawdzania wiedzy przed Unified State Exam, aby rodzice mogli kontrolować rozwiązanie wielu problemów z matematyki i algebry. A może zatrudnienie korepetytora lub zakup nowych podręczników jest dla Ciebie zbyt kosztowne? A może po prostu chcesz to zrobić jak najszybciej? na matematyce lub algebrze? W tym przypadku możesz także skorzystać z naszych programów ze szczegółowymi rozwiązaniami.
W ten sposób możesz prowadzić własne szkolenie i/lub szkolenie swoich młodszych braci, a jednocześnie wzrasta poziom edukacji w zakresie rozwiązywania problemów.
Jeśli nie znasz zasad wpisywania liczb, zalecamy zapoznanie się z nimi.
Zasady wprowadzania liczb
Liczby \(a_n\) i \(d\) można podawać nie tylko jako liczby całkowite, ale także jako ułamki zwykłe.
Liczba \(n\) może być tylko dodatnią liczbą całkowitą.
Zasady wprowadzania ułamków dziesiętnych.
Części całkowite i ułamkowe w ułamkach dziesiętnych można oddzielić kropką lub przecinkiem.
Możesz na przykład wejść miejsca dziesiętne więc 2,5 albo coś koło 2,5
Zasady wpisywania ułamków zwykłych.
Tylko liczba całkowita może pełnić funkcję licznika, mianownika i części całkowitej ułamka.
Mianownik nie może być ujemny.
Przy wprowadzaniu ułamka liczbowego licznik oddziela się od mianownika znakiem dzielenia: /
Wejście:
Wynik: \(-\frac(2)(3)\)
Cała część jest oddzielona od ułamka znakiem ampersandu: &
Wejście:
Wynik: \(-1\frac(2)(3)\)
Odkryto, że niektóre skrypty niezbędne do rozwiązania tego problemu nie zostały załadowane i program może nie działać.
Być może masz włączonego AdBlocka.
W takim przypadku wyłącz ją i odśwież stronę.
Aby rozwiązanie się pojawiło, musisz włączyć JavaScript.
Poniżej znajdują się instrukcje dotyczące włączania JavaScript w Twojej przeglądarce.
Ponieważ Chętnych do rozwiązania problemu jest wiele, Twoja prośba została umieszczona w kolejce.
Za kilka sekund rozwiązanie pojawi się poniżej.
Proszę czekać sekunda...
Jeśli ty zauważył błąd w rozwiązaniu, możesz napisać o tym w Formularzu opinii.
Nie zapomnij wskaż, które zadanie ty decydujesz co wpisz w pola.
Nasze gry, puzzle, emulatory:
Trochę teorii.
Sekwencja numerów
W codziennej praktyce często stosuje się numerację różnych obiektów, aby wskazać kolejność ich ułożenia. Na przykład domy na każdej ulicy są ponumerowane. W bibliotece prenumeraty czytelnika są numerowane, a następnie układane według kolejności przypisanych numerów w specjalnych kartotekach.
W kasie oszczędnościowej, korzystając z numeru konta osobistego wpłacającego, można łatwo znaleźć to konto i sprawdzić, jaka lokata się na nim znajduje. Niech konto nr 1 zawiera depozyt w wysokości 1 rubli, konto nr 2 zawiera depozyt w wysokości 2 rubli itd. Okazuje się sekwencja liczb
a 1 , a 2 , a 3 , ..., N
gdzie N jest liczbą wszystkich kont. Tutaj każda liczba naturalna n od 1 do N jest powiązana z liczbą a n.
Studiował także matematykę nieskończone ciągi liczbowe:
za 1 , za 2 , za 3 , ..., za n , ... .
Nazywa się cyfrę 1 pierwszy wyraz ciągu, numer a 2 - drugi wyraz ciągu, numer 3 - trzeci wyraz ciągu itp.
Nazywa się liczbę a n n-ty (n-ty) element sekwencji, a liczba naturalna n jest jej numer.
Na przykład w sekwencji kwadratów liczby naturalne 1, 4, 9, 16, 25, ..., n 2, (n + 1) 2, ... i 1 = 1 jest pierwszym wyrazem ciągu; i n = n 2 wynosi n-ty termin sekwencje; a n+1 = (n + 1) 2 jest (n + 1)-tym (n plus pierwszym) wyrazem ciągu. Często ciąg można określić za pomocą wzoru na jego n-ty wyraz. Na przykład wzór \(a_n=\frac(1)(n), \; n \in \mathbb(N) \) definiuje sekwencję \(1, \; \frac(1)(2) , \; \frac(1)(3) , \; \frac(1)(4) , \dots,\frac(1)(n) , \dots \)
Postęp arytmetyczny
Długość roku wynosi około 365 dni. Więcej dokładna wartość jest równa \(365\frac(1)(4)\) dni, więc co cztery lata kumuluje się błąd jednego dnia.
Aby wyjaśnić ten błąd, do co czwartego roku dodaje się jeden dzień, a rok wydłużony nazywa się rokiem przestępnym.
Na przykład w trzecim tysiącleciu latami przestępnymi są lata 2004, 2008, 2012, 2016, ....
W tej sekwencji każdy członek, zaczynając od drugiego, jest równy poprzedniemu, dodanemu do tej samej liczby 4. Takie ciągi nazywane są postępy arytmetyczne.
Definicja.
Nazywa się ciąg liczb a 1, a 2, a 3, ..., a n, ... postęp arytmetyczny, jeśli dla wszystkich naturalnych n równość
\(a_(n+1) = a_n+d, \)
gdzie d jest pewną liczbą.
Z tego wzoru wynika, że a n+1 - a n = d. Liczba d nazywana jest różnicą postęp arytmetyczny.
Z definicji postępu arytmetycznego mamy:
\(a_(n+1)=a_n+d, \quad a_(n-1)=a_n-d, \)
Gdzie
\(a_n= \frac(a_(n-1) +a_(n+1))(2) \), gdzie \(n>1 \)
Zatem każdy wyraz ciągu arytmetycznego, zaczynając od drugiego, jest równy średniej arytmetycznej dwóch sąsiednich wyrazów. To wyjaśnia nazwę „postępu arytmetycznego”.
Należy zauważyć, że jeśli podane są a 1 i d, to pozostałe wyrazy ciągu arytmetycznego można obliczyć za pomocą powtarzającego się wzoru a n+1 = a n + d. W ten sposób obliczenie pierwszych kilku wyrazów progresji nie jest trudne, jednak np. 100 będzie już wymagało wielu obliczeń. Zwykle stosuje się do tego wzór na n-ty wyraz. Z definicji postępu arytmetycznego
\(a_2=a_1+d, \)
\(a_3=a_2+d=a_1+2d, \)
\(a_4=a_3+d=a_1+3d \)
itp.
W ogóle,
\(a_n=a_1+(n-1)d, \)
ponieważ n-ty wyraz ciągu arytmetycznego oblicza się z pierwszego wyrazu przez dodanie (n-1) razy liczbę d.
Ta formuła nazywa się wzór na n-ty wyraz ciągu arytmetycznego.
Suma pierwszych n wyrazów ciągu arytmetycznego
Znajdź sumę wszystkich liczb naturalnych od 1 do 100.
Zapiszmy tę kwotę na dwa sposoby:
S = l + 2 + 3 + ... + 99 + 100,
S = 100 + 99 + 98 + ... + 2 + 1.
Dodajmy te równości termin po wyrazie:
2S = 101 + 101 + 101 + ... + 101 + 101.
Suma ta ma 100 wyrazów
Dlatego 2S = 101 * 100, stąd S = 101 * 50 = 5050.
Rozważmy teraz dowolny postęp arytmetyczny
za 1 , za 2 , za 3 , ..., za n , ...
Niech S n będzie sumą pierwszych n wyrazów tego ciągu:
S n = za 1 , za 2 , za 3 , ..., za n
Następnie suma pierwszych n wyrazów ciągu arytmetycznego jest równa
\(S_n = n \cdot \frac(a_1+a_n)(2) \)
Ponieważ \(a_n=a_1+(n-1)d\), to zastępując n w tym wzorze otrzymamy inny wzór na znalezienie suma pierwszych n wyrazów ciągu arytmetycznego:
\(S_n = n \cdot \frac(2a_1+(n-1)d)(2) \)
Postępy arytmetyczne i geometryczne
Informacje teoretyczne
Informacje teoretyczne
Postęp arytmetyczny |
Postęp geometryczny |
|
Definicja |
Postęp arytmetyczny jakiś to sekwencja, w której każdy członek, zaczynając od drugiego, jest równy poprzedniemu członowi dodanemu do tej samej liczby D (D- różnica w progresji) |
Postęp geometryczny b n jest ciągiem liczb niezerowych, którego każdy wyraz, zaczynając od drugiego, jest równy wyrazowi poprzedniemu pomnożonemu przez tę samą liczbę Q (Q- mianownik progresji) |
Formuła powtarzalności |
Dla każdego naturalnego N |
Dla każdego naturalnego N |
Wzór n-ty wyraz |
za n = za 1 + re (n – 1) |
b n = b 1 ∙ q n - 1 , b n ≠ 0 |
| Charakterystyczna właściwość |  |
|
| Suma pierwszych n wyrazów |  |
 |
Przykłady zadań z komentarzami
Zadanie 1
W postępie arytmetycznym ( jakiś) 1 = -6, 2
Zgodnie ze wzorem n-tego wyrazu:
22 = 1+ re (22 - 1) = 1+ 21 d
Zgodnie z warunkiem:
1= -6, zatem 22= -6 + 21 re .
Konieczne jest znalezienie różnicy progresji:
d = 2 – 1 = -8 – (-6) = -2
22 = -6 + 21 ∙ (-2) = - 48.
Odpowiedź : 22 = -48.
Zadanie 2
Znajdź piąty wyraz ciągu geometrycznego: -3; 6;....
Pierwsza metoda (stosując wzór na n-termin)
Zgodnie ze wzorem na n-ty wyraz ciągu geometrycznego:
b 5 = b 1 ∙ q 5 - 1 = b 1 ∙ q 4.
Ponieważ b 1 = -3,
Druga metoda (przy użyciu formuły rekurencyjnej)
Ponieważ mianownik progresji wynosi -2 (q = -2), to:
b 3 = 6 ∙ (-2) = -12;
b 4 = -12 ∙ (-2) = 24;
b 5 = 24 ∙ (-2) = -48.
Odpowiedź : b 5 = -48.
Zadanie 3
W postępie arytmetycznym ( a n) a 74 = 34; 76= 156. Znajdź siedemdziesiąty piąty wyraz tego ciągu.
Dla postępu arytmetycznego właściwość charakterystyczna ma postać 
.
Z tego wynika:
.
Podstawiamy dane do wzoru:
Odpowiedź: 95.
Zadanie 4
W postępie arytmetycznym ( za n) za n= 3n - 4. Znajdź sumę pierwszych siedemnastu wyrazów.
Aby znaleźć sumę pierwszych n wyrazów ciągu arytmetycznego, stosuje się dwa wzory:
.
Który jest w środku w tym przypadku wygodniejszy w użyciu?
Pod warunkiem znany jest wzór na n-ty wyraz pierwotnej progresji ( jakiś) jakiś= 3n - 4. Możesz znaleźć natychmiast i 1, I 16 bez znalezienia d. Dlatego zastosujemy pierwszą formułę.
Odpowiedź: 368.
Zadanie 5
W postępie arytmetycznym ( jakiś) 1 = -6; 2= -8. Znajdź dwudziesty drugi wyraz progresji.
Zgodnie ze wzorem n-tego wyrazu:
za 22 = za 1 + re (22 – 1) = 1+ 21d.
Według warunku, jeśli 1= -6, zatem 22= -6 + 21d . Konieczne jest znalezienie różnicy progresji:
d = 2 – 1 = -8 – (-6) = -2
22 = -6 + 21 ∙ (-2) = -48.
Odpowiedź : 22 = -48.
Zadanie 6
Zapisuje się kilka kolejnych wyrazów postępu geometrycznego:
Znajdź wyraz progresji oznaczony jako x.
Przy rozwiązywaniu skorzystamy ze wzoru na n-ty wyraz b n = b 1 ∙ q n - 1 dla postępów geometrycznych. Pierwszy termin progresji. Aby znaleźć mianownik postępu q, należy wziąć dowolny z podanych wyrazów postępu i podzielić przez poprzedni. W naszym przykładzie możemy brać i dzielić przez. Otrzymujemy, że q = 3. Zamiast n podstawiamy we wzorze liczbę 3, gdyż konieczne jest znalezienie trzeciego wyrazu danego ciągu geometrycznego.
Podstawiając znalezione wartości do wzoru, otrzymujemy:
.
Odpowiedź : .
Zadanie 7
Z postępów arytmetycznych podanych wzorem n-tego wyrazu wybierz ten, dla którego warunek jest spełniony 27 > 9:
Ponieważ podany warunek musi być spełniony dla 27. wyrazu progresji, w każdej z czterech progresji podstawimy 27 zamiast n. W czwartej progresji otrzymujemy:
.
Odpowiedź: 4.
Zadanie 8
W postępie arytmetycznym 1= 3, d = -1,5. Sprecyzować najwyższa wartość n dla którego zachodzi nierówność jakiś > -6.
Jeśli dla każdej liczby naturalnej N dopasować liczbę rzeczywistą jakiś , to mówią, że jest dane sekwencja liczb :
A 1 , A 2 , A 3 , . . . , jakiś , . . . .
Zatem sekwencja liczb jest funkcją argumentu naturalnego.
Numer A 1 zwany pierwszy wyraz ciągu , numer A 2 — drugi wyraz ciągu , numer A 3 — trzeci i tak dalej. Numer jakiś zwany n-ty element ciągu i liczba naturalna N — jego numer .
Od dwóch sąsiednich członków jakiś I jakiś +1 członek sekwencji jakiś +1 zwany późniejszy (względem jakiś ), A jakiś — poprzedni (względem jakiś +1 ).
Aby zdefiniować ciąg, należy określić metodę, która pozwoli znaleźć element ciągu o dowolnym numerze.
Często kolejność jest określana za pomocą n-te formuły wyrazowe , czyli formuła pozwalająca określić element ciągu na podstawie jego numeru.
Na przykład,
Za pomocą wzoru można podać ciąg dodatnich liczb nieparzystych
jakiś= 2N- 1,
i kolejność naprzemienności 1 I -1 - formuła
B N = (-1)N +1 . ◄
Można ustalić kolejność powtarzalna formuła, to znaczy formuła wyrażająca dowolny element sekwencji, zaczynając od niektórych, a kończąc na poprzednich (jednym lub większej liczbie) elementów.
Na przykład,
Jeśli A 1 = 1 , A jakiś +1 = jakiś + 5
A 1 = 1,
A 2 = A 1 + 5 = 1 + 5 = 6,
A 3 = A 2 + 5 = 6 + 5 = 11,
A 4 = A 3 + 5 = 11 + 5 = 16,
A 5 = A 4 + 5 = 16 + 5 = 21.
Jeśli 1= 1, 2 = 1, jakiś +2 = jakiś + jakiś +1 , wówczas pierwsze siedem wyrazów ciągu liczbowego ustala się w następujący sposób:
1 = 1,
2 = 1,
3 = 1 + 2 = 1 + 1 = 2,
4 = 2 + 3 = 1 + 2 = 3,
5 = 3 + 4 = 2 + 3 = 5,
A 6 = A 4 + A 5 = 3 + 5 = 8,
A 7 = A 5 + A 6 = 5 + 8 = 13. ◄
Sekwencje mogą być finał I nieskończony .
Sekwencja nazywa się ostateczny , jeśli ma skończoną liczbę członków. Sekwencja nazywa się nieskończony , jeśli ma nieskończenie wiele elementów.
Na przykład,
ciąg dwucyfrowych liczb naturalnych:
10, 11, 12, 13, . . . , 98, 99
finał.
Sekwencja liczb pierwszych:
2, 3, 5, 7, 11, 13, . . .
nieskończony. ◄
Sekwencja nazywa się wzrastający , jeśli każdy z jego członków, zaczynając od drugiego, jest większy od poprzedniego.
Sekwencja nazywa się malejące , jeśli każdy z jego członków, zaczynając od drugiego, jest mniejszy od poprzedniego.
Na przykład,
2, 4, 6, 8, . . . , 2N, . . . — ciąg rosnący;
1, 1 / 2 , 1 / 3 , 1 / 4 , . . . , 1 /N, . . . — ciąg malejący. ◄
Nazywa się ciąg, którego elementy nie zmniejszają się wraz ze wzrostem liczby lub odwrotnie monotonna sekwencja .
W szczególności ciągi monotoniczne to sekwencje rosnące i malejące.
Postęp arytmetyczny
Postęp arytmetyczny to ciąg, w którym każdy człon, zaczynając od drugiego, jest równy poprzedniemu, do którego dodawana jest ta sama liczba.
A 1 , A 2 , A 3 , . . . , jakiś, . . .
jest postępem arytmetycznym, jeśli dla dowolnej liczby naturalnej N warunek jest spełniony:
jakiś +1 = jakiś + D,
Gdzie D - pewna liczba.
Zatem różnica między kolejnymi i poprzednimi wyrazami danego ciągu arytmetycznego jest zawsze stała:
2 - A 1 = 3 - A 2 = . . . = jakiś +1 - jakiś = D.
Numer D zwany różnica postępu arytmetycznego.
Aby zdefiniować postęp arytmetyczny, wystarczy wskazać jego pierwszy wyraz i różnicę.
Na przykład,
Jeśli A 1 = 3, D = 4 , wówczas znajdujemy pierwsze pięć wyrazów ciągu w następujący sposób:
1 =3,
2 = 1 + D = 3 + 4 = 7,
3 = 2 + D= 7 + 4 = 11,
4 = 3 + D= 11 + 4 = 15,
A 5 = A 4 + D= 15 + 4 = 19. ◄
Dla postępu arytmetycznego z pierwszym wyrazem A 1 i różnica D jej N
jakiś = 1 + (N- 1)D.
Na przykład,
znajdź trzydziesty wyraz ciągu arytmetycznego
1, 4, 7, 10, . . .
1 =1, D = 3,
30 = 1 + (30 - 1)d = 1 + 29· 3 = 88. ◄
n-1 = 1 + (N- 2)D,
jakiś= 1 + (N- 1)D,
jakiś +1 = A 1 + II,
wtedy oczywiście
| jakiś=
| za n-1 + za n+1
|
| 2
|
Każdy element ciągu arytmetycznego, zaczynając od drugiego, jest równy średniej arytmetycznej poprzednich i kolejnych elementów.
liczby a, b i c są kolejnymi wyrazami pewnego postępu arytmetycznego wtedy i tylko wtedy, gdy jedna z nich jest równa średniej arytmetycznej dwóch pozostałych.
Na przykład,
jakiś = 2N- 7 , jest postępem arytmetycznym.
Skorzystajmy z powyższego stwierdzenia. Mamy:
jakiś = 2N- 7,
n-1 = 2(N- 1) - 7 = 2N- 9,
n+1 = 2(n+ 1) - 7 = 2N- 5.
Stąd,
| za n+1 + za n-1
| =
| 2N- 5 + 2N- 9
| = 2N- 7 = jakiś,
|
| 2
| 2
|
◄
Zauważ to N Wyraz dziewiątego ciągu arytmetycznego można znaleźć nie tylko poprzez A 1 , ale także wszelkie poprzednie k
jakiś = k + (N- k)D.
Na przykład,
Dla A 5 można zapisać
5 = 1 + 4D,
5 = 2 + 3D,
5 = 3 + 2D,
5 = 4 + D. ◄
jakiś = nk + kd,
jakiś = n+k - kd,
wtedy oczywiście
| jakiś=
| A nie wiem
+a n+k
|
| 2
|
każdy element ciągu arytmetycznego, zaczynając od drugiego, jest równy połowie sumy członków tego ciągu arytmetycznego w równych odstępach od niego.
Ponadto dla dowolnego postępu arytmetycznego zachodzi równość:
za m + za n = za k + za l,
m + n = k + l.
Na przykład,
w postępie arytmetycznym
1) A 10 = 28 = (25 + 31)/2 = (A 9 + A 11 )/2;
2) 28 = 10 = 3 + 7D= 7 + 7 3 = 7 + 21 = 28;
3) 10= 28 = (19 + 37)/2 = (7 + 13)/2;
4) za 2 + za 12 = za 5 + za 9, ponieważ
2 + 12= 4 + 34 = 38,
5 + 9 = 13 + 25 = 38. ◄
S n= za 1 + za 2 + za 3 + . . .+ jakiś,
Pierwszy N wyrazy ciągu arytmetycznego są równe iloczynowi połowy sumy skrajnych wyrazów i liczby wyrazów:
Stąd w szczególności wynika, że jeśli trzeba podsumować warunki
k, k +1 , . . . , jakiś,
wówczas poprzednia formuła zachowuje swoją strukturę:
Na przykład,
w postępie arytmetycznym 1, 4, 7, 10, 13, 16, 19, 22, 25, 28, 31, 34, 37, . . .
S 10 = 1 + 4 + . . . + 28 = (1 + 28) · 10/2 = 145;
10 + 13 + 16 + 19 + 22 + 25 + 28 = S 10 - S 3 = (10 + 28 ) · (10 - 4 + 1)/2 = 133. ◄
Jeśli podany jest postęp arytmetyczny, to ilości A 1 , jakiś, D, N IS N połączone dwoma wzorami:
Dlatego też, jeśli podane zostaną wartości trzech z tych wielkości, wówczas z tych wzorów zostaną określone odpowiadające im wartości dwóch pozostałych wielkości, połączone w układ dwóch równań z dwiema niewiadomymi.
Postęp arytmetyczny jest ciągiem monotonicznym. W tym przypadku:
- Jeśli D > 0 , to rośnie;
- Jeśli D < 0 , to maleje;
- Jeśli D = 0 , to ciąg będzie stacjonarny.
Postęp geometryczny
Postęp geometryczny to ciąg, w którym każdy element, zaczynając od drugiego, jest równy poprzedniemu pomnożonemu przez tę samą liczbę.
B 1 , B 2 , B 3 , . . . , b n, . . .
jest postępem geometrycznym, jeśli dla dowolnej liczby naturalnej N warunek jest spełniony:
b n +1 = b n · Q,
Gdzie Q ≠ 0 - pewna liczba.
Zatem stosunek kolejnego wyrazu danego ciągu geometrycznego do poprzedniego jest liczbą stałą:
B 2 / B 1 = B 3 / B 2 = . . . = b n +1 / b n = Q.
Numer Q zwany mianownik postępu geometrycznego.
Aby zdefiniować postęp geometryczny, wystarczy wskazać jego pierwszy wyraz i mianownik.
Na przykład,
Jeśli B 1 = 1, Q = -3 , wówczas znajdujemy pierwsze pięć wyrazów ciągu w następujący sposób:
b 1 = 1,
b 2 = b 1 · Q = 1 · (-3) = -3,
b 3 = b 2 · Q= -3 · (-3) = 9,
b 4 = b 3 · Q= 9 · (-3) = -27,
B 5 = B 4 · Q= -27 · (-3) = 81. ◄
B 1 i mianownik Q jej N Termin ten można znaleźć korzystając ze wzoru:
b n = B 1 · qn -1 .
Na przykład,
znajdź siódmy wyraz postępu geometrycznego 1, 2, 4, . . .
B 1 = 1, Q = 2,
B 7 = B 1 · Q 6 = 1 2 6 = 64. ◄
b n-1 = b 1 · qn -2 ,
b n = b 1 · qn -1 ,
b n +1 = B 1 · qn,
wtedy oczywiście
b n 2 = b n -1 · b n +1 ,
każdy element ciągu geometrycznego, zaczynając od drugiego, jest równy średniej geometrycznej (proporcjonalnej) elementów poprzedzających i kolejnych.
Ponieważ prawdą jest również sytuacja odwrotna, zachodzi następujące stwierdzenie:
liczby a, b i c są kolejnymi wyrazami pewnego postępu geometrycznego wtedy i tylko wtedy, gdy kwadrat jednej z nich jest równy iloczynowi dwóch pozostałych, to znaczy jedna z liczb jest średnią geometryczną dwóch pozostałych.
Na przykład,
Udowodnimy, że ciąg określony wzorem b n= -3 · 2 N , jest postępem geometrycznym. Skorzystajmy z powyższego stwierdzenia. Mamy:
b n= -3 · 2 N,
b n -1 = -3 · 2 N -1 ,
b n +1 = -3 · 2 N +1 .
Stąd,
b n 2 = (-3 2 N) 2 = (-3 2 N -1 ) · (-3 · 2 N +1 ) = b n -1 · b n +1 ,
co dowodzi pożądanego stwierdzenia. ◄
Zauważ to N Termin ciągu geometrycznego można znaleźć nie tylko poprzez B 1 , ale także każdego poprzedniego członka b k , dla czego wystarczy skorzystać ze wzoru
b n = b k · qn - k.
Na przykład,
Dla B 5 można zapisać
b 5 = b 1 · Q 4 ,
b 5 = b 2 · q 3,
b 5 = b 3 · q 2,
b 5 = b 4 · Q. ◄
b n = b k · qn - k,
b n = b n - k · q k,
wtedy oczywiście
b n 2 = b n - k· b n + k
kwadrat dowolnego wyrazu ciągu geometrycznego, zaczynając od drugiego, jest równy iloczynowi równo rozmieszczonych wyrazów tego ciągu.
Ponadto dla dowolnego postępu geometrycznego prawdziwa jest równość:
b m· b n= b k· b l,
M+ N= k+ l.
Na przykład,
w postępie geometrycznym
1) B 6 2 = 32 2 = 1024 = 16 · 64 = B 5 · B 7 ;
2) 1024 = B 11 = B 6 · Q 5 = 32 · 2 5 = 1024;
3) B 6 2 = 32 2 = 1024 = 8 · 128 = B 4 · B 8 ;
4) B 2 · B 7 = B 4 · B 5 , ponieważ
B 2 · B 7 = 2 · 64 = 128,
B 4 · B 5 = 8 · 16 = 128. ◄
S n= B 1 + B 2 + B 3 + . . . + b n
Pierwszy N elementy ciągu geometrycznego z mianownikiem Q ≠ 0 obliczane według wzoru:
I kiedy Q = 1 - zgodnie ze wzorem
S n= uwaga 1
Pamiętaj, że jeśli chcesz zsumować warunki
b k, b k +1 , . . . , b n,
wówczas stosuje się wzór:
| S n- S k -1 = b k + b k +1 + . . . + b n = b k · | 1 - qn -
k +1
| . |
| 1 - Q
|
Na przykład,
w postępie geometrycznym 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024, . . .
S 10 = 1 + 2 + . . . + 512 = 1 · (1 - 2 10) / (1 - 2) = 1023;
64 + 128 + 256 + 512 = S 10 - S 6 = 64 · (1 - 2 10-7+1) / (1 - 2) = 960. ◄
Jeśli podano postęp geometryczny, a następnie ilości B 1 , b n, Q, N I S n połączone dwoma wzorami:
Dlatego jeśli podane zostaną wartości dowolnych trzech z tych wielkości, wówczas z tych wzorów zostaną określone odpowiednie wartości pozostałych dwóch wielkości, połączone w układ dwóch równań z dwiema niewiadomymi.
Dla postępu geometrycznego z pierwszym wyrazem B 1 i mianownik Q mają miejsce następujące zdarzenia właściwości monotoniczności :
- progresja wzrasta, jeśli spełniony jest jeden z poniższych warunków:
B 1 > 0 I Q> 1;
B 1 < 0 I 0 < Q< 1;
- Progresja maleje, jeśli spełniony jest jeden z poniższych warunków:
B 1 > 0 I 0 < Q< 1;
B 1 < 0 I Q> 1.
Jeśli Q< 0 , to postęp geometryczny jest naprzemienny: jego wyrazy o liczbach nieparzystych mają ten sam znak, co pierwszy wyraz, a wyrazy o liczbach parzystych mają znak przeciwny. Jest oczywiste, że naprzemienny postęp geometryczny nie jest monotoniczny.
Produkt pierwszy N wyrazy postępu geometrycznego można obliczyć korzystając ze wzoru:
P. n= b 1 · b 2 · b 3 · . . . · b n = (b 1 · b n) N / 2 .
Na przykład,
1 · 2 · 4 · 8 · 16 · 32 · 64 · 128 = (1 · 128) 8/2 = 128 4 = 268 435 456;
3 · 6 · 12 · 24 · 48 = (3 · 48) 5/2 = (144 1/2) 5 = 12 5 = 248 832.◄
Nieskończenie malejący postęp geometryczny
Nieskończenie malejący postęp geometryczny nazywany nieskończonym postępem geometrycznym, którego moduł mianownika jest mniejszy 1 , to jest
|Q| < 1 .
Należy zauważyć, że nieskończenie malejący postęp geometryczny może nie być sekwencją malejącą. Pasuje do okazji
1 < Q< 0 .
Przy takim mianowniku sekwencja jest naprzemienna. Na przykład,
1, - 1 / 2 , 1 / 4 , - 1 / 8 , . . . .
Suma nieskończenie malejącego postępu geometrycznego podaj liczbę, do której suma pierwszych zbliża się bez ograniczeń N członkowie progresji o nieograniczonym zwiększeniu liczby N . Liczba ta jest zawsze skończona i wyrażana jest wzorem
| S= B 1 + B 2 + B 3 + . . . = | B 1
| . |
| 1 - Q
|
Na przykład,
10 + 1 + 0,1 + 0,01 + . . . = 10 / (1 - 0,1) = 11 1 / 9 ,
10 - 1 + 0,1 - 0,01 + . . . = 10 / (1 + 0,1) = 9 1 / 11 . ◄
Związek pomiędzy postępem arytmetycznym i geometrycznym
Postęp arytmetyczny i geometryczny są ze sobą ściśle powiązane. Spójrzmy tylko na dwa przykłady.
A 1 , A 2 , A 3 , . . . D , To
b.a 1 , b.a 2 , b.a 3 , . . . b d .
Na przykład,
1, 3, 5, . . . - postęp arytmetyczny z różnicą 2 I
7 1 , 7 3 , 7 5 , . . . - postęp geometryczny z mianownikiem 7 2 . ◄
B 1 , B 2 , B 3 , . . . - postęp geometryczny z mianownikiem Q , To
zaloguj a b 1, zaloguj a b 2, zaloguj a b 3, . . . - postęp arytmetyczny z różnicą zaloguj sięQ .
Na przykład,
2, 12, 72, . . . - postęp geometryczny z mianownikiem 6 I
lg 2, lg 12, lg 72, . . . - postęp arytmetyczny z różnicą lg 6 . ◄
Koncepcja ciągu liczbowego zakłada, że każdej liczbie naturalnej odpowiada pewna wartość rzeczywista. Taka seria liczb może być dowolna lub mieć określone właściwości - progresję. W tym drugim przypadku każdy kolejny element (element) ciągu można obliczyć na podstawie poprzedniego.
Postęp arytmetyczny - ciąg wartości liczbowe, w którym sąsiednie elementy różnią się od siebie tą samą liczbą (wszystkie elementy szeregu, począwszy od drugiego, mają podobną właściwość). Liczba ta – różnica między wyrazami poprzednim i następnym – jest stała i nazywana jest różnicą progresji.
Różnica w postępie: definicja
Rozważmy ciąg składający się z j wartości A = a(1), a(2), a(3), a(4) ... a(j), j należy do zbioru liczb naturalnych N. Arytmetyka progresja według definicji to ciąg, w którym a(3) – a(2) = a(4) – a(3) = a(5) – a(4) = … = a(j) – a(j-1) = re. Wartość d jest pożądaną różnicą tego postępu.
d = a(j) – a(j-1).
Atrakcja:
- Postęp rosnący, w którym to przypadku d > 0. Przykład: 4, 8, 12, 16, 20, ...
- Postęp malejący, następnie d< 0. Пример: 18, 13, 8, 3, -2, …
Progresja różnicowa i jej elementy arbitralne
Jeżeli znane są 2 dowolne wyrazy ciągu (i-ty, k-ty), to różnicę dla danego ciągu można wyznaczyć na podstawie zależności:
a(i) = a(k) + (i – k)*d, co oznacza d = (a(i) – a(k))/(i-k).
Różnica w progresji i jej pierwszym terminie
To wyrażenie pomoże określić nieznaną wartość tylko w przypadkach, gdy znany jest numer elementu sekwencji.
Różnica progresji i jej suma
Suma progresji jest sumą jej warunków. Aby obliczyć całkowitą wartość jego pierwszych j elementów, należy skorzystać z odpowiedniego wzoru:
S(j) =((a(1) + a(j))/2)*j, ale ponieważ a(j) = a(1) + d(j – 1), wtedy S(j) = ((a(1) + a(1) + d(j – 1))/2)*j=(( 2a ust. 1 + d(– 1))/2)*j.
Załadunek...