Зависимость одной переменной от другой называется функциональной зависимостью. Зависимость переменной y от переменной x называется функцией , если каждому значению x соответствует единственное значение y .
Обозначение:
Переменную x называют независимой переменной или аргументом , а переменную y - зависимой. Говорят, что y является функцией от x . Значение y , соответствующее заданному значению x , называют значением функции .
Все значения, которые принимает x , образуют область определения функции ; все значения, которые принимает y , образуют множество значений функции .
Обозначения: 
D(f) - значения аргумента. E(f) - значения функции. Если функция задана формулой, то считают, что область определения состоит из всех значений переменной, при которых эта формула имеет смысл.
Графиком функции называется множество всех точек на координатной плоскости , абсциссы которых равны значениям аргумента, а ординаты - соответствующим значениям функции. Если некоторому значению x=x 0 соответствуют несколько значений (а не одно) y , то такое соответствие не является функцией. Для того чтобы множество точек координатной плоскости являлось графиком некоторой функции, необходимо и достаточно, чтобы любая прямая параллельная оси Оу, пересекалась с графиком не более чем в одной точке.
Способы задания функции
1) Функция может быть задана аналитически
в виде формулы. Например, 
2) Функция может быть задана таблицей из множества пар (x; y) .
3) Функция может быть задана графически. Пары значений (x; y) изображаются на координатной плоскости.
Монотонность функции
Функция f(x) называется возрастающей на данном числовом промежутке, если большему значению аргумента соответствует большее значение функции. Представьте, что некоторая точка движется по графику слева направо. Тогда точка будет как бы "взбираться" вверх по графику.
Функция f(x) называется убывающей на данном числовом промежутке, если большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции. Представьте, что некоторая точка движется по графику слева направо. Тогда точка будет как бы "скатываться" вниз по графику.
Функция, только возрастающая или только убывающая на данном числовом промежутке, называется монотонной на этом промежутке.
Нули функции и промежутки знакопостоянства
Значения х , при которых y=0 , называется нулями функции . Это абсциссы точек пересечения графика функции с осью Ох.
Такие промежутки значений x , на которых значения функции y либо только положительные, либо только отрицательные, называются промежутками знакопостоянства функции.
Четные и нечетные функции
Четная функция
1) Область определения симметрична относительно точки (0; 0), то есть если точка a
принадлежит области определения, то точка -a
также принадлежит области определения.
2) Для любого значения x
f(-x)=f(x)
3) График четной функции симметричен относительно оси Оу.
Нечетная функция
обладает следующими свойствами:
1) Область определения симметрична относительно точки (0; 0).
2) для любого значения x
, принадлежащего области определения, выполняется равенство f(-x)=-f(x)
3) График нечетной функции симметричен относительно начала координат (0; 0).
Не всякая функция является четной или нечетной. Функции общего вида не являются ни четными, ни нечетными.
Периодические функции
Функция f называется периодической, если существует такое число , что при любом x из области определения выполняется равенство f(x)=f(x-T)=f(x+T) . T - это период функции.
Всякая периодическая функция имеет бесконечное множество периодов. На практике обычно рассматривают наименьший положительный период.
Значения периодической функции через промежуток, равный периоду, повторяются. Это используют при построении графиков.
Страница 1
Занятие 3
«Область значений функции»
Цели:- Применять понятие области значений к решению конкретной задачи;
решение типовых задач.
В течение нескольких лет на экзаменах регулярно появляются задачи, в которых из данного семейства функций требуется выделить те, чьи множества значений удовлетворяют объявленным условиям.
Рассмотрим такого рода задачи.
Актуализация знаний.
Что мы понимаем под множеством значений функции?
Как обозначается множество значений функции?
По каким данным мы можем найти множество значений функции? (По аналитической записи функции или ее графику)
(см задания ЕГЭ, часть А)
Множества значений каких функций мы знаем? (Перечисляются основные функции с записью их на доске; для каждой из функций записывается ее множество значений). В результате на доске и в тетради учащихся
|
Функция |
Множество значений |
|
y = x 2 y = x 3 y = | x | y =
|
E(y ) = E(y ) = [- 1, 1] E(y ) = (– ∞, + ∞) E(y ) = (– ∞, + ∞) E(y ) = (– ∞, + ∞) E(y ) = (0, + ∞) |
Можем ли мы, используя эти знания, сразу найти множества значений записанных на доске функций? (см. таблицу 2).
Что может помочь в ответе на данный вопрос? (Графики этих функций).
Как построить график первой функции? (Опустить параболу на 4 единицы вниз).
|
Функция |
Множество значений |
|
y = x 2 – 4 |
E(y ) = [-4, + ∞) |
|
y = + 5 |
E(y ) = |
|
y = – 5 cos x |
E(y ) = [- 5, 5] |
|
y = tg (x + / 6) – 1 |
E(y ) = (– ∞, + ∞) |
|
y = sin (x + / 3) – 2 |
E(y ) = [- 3, - 1] |
|
y = | x – 1 | + 3 |
E(y ) = |
|
y = | ctg x | |
E(y ) = |
|
y =  = | cos (x + /4) |
|
E(y ) = |
|
y = (x – 5) 2 + 3 |
E(y ) = . Найдите множество значений функции:   . 
Введение алгоритма решения задач на нахождение множества значений тригонометрических функций. Давайте посмотрим, как мы можем применить имеющийся опыт для решения различных заданий, включаемых в варианты единого экзамена. 1. Нахождение значений функций при заданном значении аргумента. Пример. Найти значение функции у = 2 cos (π/2+ π/4) – 1, если х = - π/2. Решение.
y (-π/2) = 2 cos (- π/2 – π/4)- 1= 2 cos (π/2 + π/4)- 1 = - 2 sin π/4 – 1 = - 2  – 1 =
= – 2.Нахождение области значений тригонометрических функций
1≤ sin х ≤ 1 2 ≤ 2 sin х ≤ 2 9 ≤ 11+2sin х ≤ 13 3 ≤ Выпишем целые значения функции на промежутке . Это число 3. Ответ: 3.
у = sin 2 х- 2 3 sin х + 3 2 - 3 2 + 8, у = (sin х- 3) 2 -1. Е (sin х ) = [-1;1]; Е (sin х -3) = [-4;-2]; Е (sin х -3) 2 = ; Е (у ) = . Ответ: .
Можем ли мы найти множество значений этой функции? (Нет.) Что нужно сделать? (Свести к одной функции.) Как это сделать? (Использовать формулу cos 2 x = 1-sin 2 x .) Итак, у = 1-sin 2 x + 2sin x –2, y = -sin 2 x + 2sin x –1, у = -(sin x –1) 2 . Ну, а теперь мы можем найти множество значений и выбрать из них наименьшее. 1 ≤ sin x ≤ 1, 2 ≤ sin x – 1 ≤ 0, 0 ≤ (sin x – 1) 2 ≤ 4, 4 ≤ -(sin x -1) 2 ≤ 0. Значит, наименьшее значение функции у
наим
= –4. Ответ: -4.
Решение. у = 1-cos 2 x + cos x + 1,5, у = -cos 2 x + 2∙0,5∙cos x - 0,25 + 2,75, у = -(cos x - 0,5) 2 + 2,75. Е(cos x ) = [-1;1], Е(cos x – 0,5) = [-1,5;0,5], Е(cos x – 0,5) 2 = , Е(-(cos x -0,5) 2) = [-2,25;0], Е(у ) = . Наибольшее значение функции у наиб = 2,75; наименьшее значение у наим = 0,5. Найдём произведение наибольшего и наименьшего значения функции: у наиб ∙ у наим = 0,5∙2,75 = 1,375. Ответ: 1,375. Решение. Перепишем функцию в виде у =, у
= Найдем теперь множество значений функции. E(sin x ) = [-1, 1], E(6sin x ) = [-6, 6], E(6sin x + 1) = [-5, 7], E((6sin x + 1) 2) = , E(– (6sin x + 1) 2) = [-49, 0], E(– (6sin x + 1) 2 + 64) = , E(y
) = [ Найдем сумму целых значений функции: 4 + 5 + 6 + 7 + 8 = 30. Ответ: 30.
 Решение. 1) 2) Следовательно, 2х принадлежат II четверти. 3) Во II четверти функция синус убывает и непрерывна. Значит, данная функция 4) Вычислим эти значения:
Ответ:
 Решение. 1) Так как а синус принимает значения от -1 до 1, то множество значений разности 2) Арккосинус – монотонно убывающая и непрерывная функция. Значит, множество значений выражения - это отрезок 3) При умножении этого отрезка на Ответ:  Решение. Так как арктангенс является возрастающей функцией, то 2) При возрастании х
от 3) При возрастании от 4) Используя формулу, выражающую синус через тангенс половинного угла, находим, что
Значит, искомое множество значений – это объединение отрезков Ответ: у
= a sin x + b cos x
или у
= a sin (р
x) + b cos (р
x).
Решение. Найдем значение Преобразуем выражение 15 sin 2x + 20 cos 2x = 25 ( 25 sin (2x + Множество значений функций у = sin (2x + Тогда множество значений исходной функции -25 Ответ
:
[-25; 25].
Функция у = сtg х является убывающей на отрезке [π/4; π/2], следовательно, наименьшее значение функция будет принимать при х = π/2, то есть у (π/2) = сtg π/2 = 0; а наибольшее значение – при х= π/4, то есть у (π/4) = сtg π/4 = 1. Ответ: 1, 0.
 . Решение. Выделим в равенстве Отсюда следует, что графиком функции f(x) является либо гипербола (а≠ 0), либо прямая без точки. При этом если а; 2а) и (2а; Если а = 0, то f(x) = -2 на всей области определения х ≠ 0. Поэтому очевидно, что искомые значения параметра не равняются нулю. Поскольку нас интересуют значения функции только на отрезке [-1; 1], то классификация ситуаций определяется тем, что асимптота х = 2а гиперболы (а≠0) располагается относительно этого отрезка. Случай 1. Все точки промежутка [-1; 1] находятся справа от вертикальной асимптоты х = 2а, то есть когда 2а Случай 2. Вертикальная асимптота пересекает промежуток [-1; 1], и функция убывает (как и в случае 1), то есть когда Случай 3. Вертикальная асимптота пересекает промежуток [-1; 1] и функция возрастает, то есть -1
Случай 4. Все точки промежутка [-1; 1] находятся слева от вертикальной асимптоты, то есть 1 а > .
и второго Прием 5. Упрощение формулы, задающей дробно-рациональную функцию Прием 6. Нахождение множества значений квадратичных функций (с помощью нахождения вершины параболы и установления характера поведения её ветвей). Прием 7.
Введение вспомогательного угла для нахождения множества значений некоторых тригонометрических функций. Функция-это модель. Определим X, как множество значений независимой переменной // независимая -значит любая. Функция это правило, с помощью которого по каждому значению независимой переменной из множества X можно найти единственное значение зависимой переменной. // т.е. для каждого х есть один у. Из определения следует, что существует два понятия- независимая переменная (которую обозначаем х и она может принимать любые значения) и зависимая переменная (которую обозначаем y или f(х) и она высчитывается из функции, когда мы подставляем х). НАПРИМЕР у=5+х 1. Независимая -это х, значит берем любое значение, пусть х=3 2. а теперь вычисляем у, значит у=5+х=5+3=8. (у зависима от х, потому что какой х подставим, такой у и получим) Говорят, что переменная y функционально зависит от переменной x и обозначается это следующим образом: y = f (x). НАПРИМЕР. 1.у=1/х. (наз.гипербола) 2. у=х^2. (наз. парабола) 3.у=3х+7. (наз. прямая) 4. у= √ х. (наз. ветвь параболы) Независимая переменная (кот. мы обозначаем х) имеет название аргумент функции. Область определения функцииМножество всех значений, которые принимает аргумент функции, называется областью определения функции и обозначается D (f) или D (y). Рассмотрим D (у) для 1.,2.,3.,4. 1. D (у)= (∞; 0) и (0;+∞) //всё множество действительных чисел, кроме нуля. 2. D (у)= (∞; +∞)//всё мн-во действит.чисел 3. D (у)= (∞; +∞)//всё мн-во действит.чисел 4. D (у)= |
| y = tg x | E(y) = (-∞;+∞) |
| y = ctg x | E(y) = (-∞;+∞) |
| y = arcsin x | E(y) = [-π/2 ; π/2] |
| y = arcos x | E(y) = |
| y = arctg x | E(y) = (-π/2 ; π/2) |
| y = arcctg x | E(y) = (0; π) |
– 1.
, т.е. Е (у)= .
,
, 8].
то есть х
принадлежит I четверти.
до 
.
. При умножении на 
этот отрезок перейдет в отрезок 
.
.
получим 
.
.
.
до 
аргумент 2х
возрастает от 
до 
. Так как синус на таком промежутке возрастает, то функция 
до 1.
аргумент 2х
возрастает от 
. Так как синус на таком промежутке убывает, то функция 
до 1.
.
и 
, то есть отрезок 
= 
= 25.
) = 25 () =
), где cos
sin (2x +
) и, если а > 0, монотонно возрастает на этих лучах.
.Заметим также, что областью значения всякого многочлена чётной степени является промежуток , где n – наибольшее значение этого многочлена.
II. Свойства функций, используемые при нахождении области значений функции
Для успешного нахождения множества значений функции надо хорошо знать свойства основных элементарных функций, особенно их области определения, области значений и характер монотонности. Приведём свойства непрерывных, монотонных дифференцируемых функций, наиболее часто используемые при нахождении множества значений функций.
Свойства 2 и 3, как правило, используются вместе свойством элементарной функции быть непрерывной в своей области определения. При этом наиболее простое и краткое решение задачи на нахождение множества значений функции достигается на основании свойства 1, если несложными методами удаётся определить монотонность функции. Решение задачи ещё упрощается, если функция, вдобавок, – чётная или нечётная, периодическая и т.д. Таким образом, при решении задач на нахождение множеств значений функции следует по мере надобности проверять и использовать следующие свойства функции:
- непрерывность;
- монотонность;
- дифференцируемость;
- чётность, нечётность, периодичность и т.д.
Несложные задачи на нахождение множества значений функции в большинстве своём ориентированны:
а) на использование простейших оценок и ограничений: (2 х >0, -1≤sinx?1, 0≤cos 2 x?1 и т.д.);
б) на выделение полного квадрата: х 2 – 4х + 7 = (х – 2) 2 + 3;
в) на преобразование тригонометрических выражений: 2sin 2 x – 3cos 2 x + 4 = 5sin 2 x +1;
г) использование монотонности функции x 1/3 + 2 x-1 возрастает на R.
III. Рассмотрим способы нахождения областей значений функций.
а) последовательное нахождение значений сложных аргументов функции;
б) метод оценок;
в) использование свойств непрерывности и монотонности функции;
г) использование производной;
д) использование наибольшего и наименьшего значений функции;
е) графический метод;
ж) метод введения параметра;
з) метод обратной функции.
Раскроем суть этих методов на конкретных примерах.
Пример 1. Найдите область значений E(y) функции y = log 0,5 (4 – 2·3 x – 9 x).
Решим этот пример методом последовательного нахождения значений сложных аргументов функции. Выделив полный квадрат под логарифмом, преобразуем функцию
y = log 0,5 (5 – (1 + 2·3 x – 3 2x)) = log 0,5 (5 – (3 x + 1) 2)
И последовательно найдём множества значений её сложных аргументов:
E(3 x) = (0;+∞), E(3 x + 1) = (1;+∞), E(-(3 x + 1) 2 = (-∞;-1), E(5 – (3 x +1) 2) = (-∞;4)
Обозначим t = 5 – (3 x +1) 2 , где -∞≤t≤4 . Тем самым задача сводится к нахождению множества значений функции y = log 0,5 t на луче (-∞;4) . Так как функция y = log 0,5 t определена лишь при, то её множество значений на луче (-∞;4) совпадает со множеством значений функции на интервале (0;4), представляющем собой пересечение луча (-∞;4) с областью определения (0;+∞) логарифмической функции. На интервале (0;4) эта функция непрерывна и убывает. При t > 0 она стремится к +∞, а при t = 4 принимает значение -2, поэтому E(y) = (-2, +∞).
Пример 2. Найдите область значений функции
y = cos7x + 5cosx
Решим этот пример методом оценок, суть которого состоит в оценке непрерывной функции снизу и сверху и в доказательстве достижения функцией нижней и верхней границы оценок. При этом совпадение множества значений функции с промежутком от нижней границы оценки до верхней обуславливается непрерывностью функции и отсутствием у неё других значений.
Из неравенств -1≤cos7x?1, -5≤5cosx?5 получим оценку -6≤y?6. При x = р и x = 0 функция принимает значения -6 и 6, т.е. достигает нижней и верхней границы оценки. Как линейная комбинация непрерывных функций cos7x и cosx, функция y непрерывна на всей числовой оси, поэтому по свойству непрерывной функции она принимает все значения с -6 до 6 включительно, и только их, так как в силу неравенств -6≤y?6 другие значения у неё невозможны. Следовательно, E(y) = [-6;6].
Пример 3. Найдите область значений E(f) функции f(x) = cos2x + 2cosx.
По формуле косинуса двойного угла преобразуем функция f(x) = 2cos 2 x + 2cosx – 1 и обозначим t = cosx. Тогда f(x) = 2t 2 + 2t – 1. Так как E(cosx) =
[-1;1], то область значений функции f(x) совпадает со множеством значений функции g(t) = 2t 2 + 2t – 1 на отрезке [-1;1], которое найдём графическим методом. Построив график функции y = 2t 2 + 2t – 1 = 2(t + 0,5) 2 – 1,5 на промежутке [-1;1], находим E(f) = [-1,5; 3].
Замечание – к нахождению множества значений функции сводятся многие задачи с параметром, связанные, в основном, с разрешимостью и числом решений уравнения и неравенств. Например, уравнение f(x) = а разрешимо тогда и только тогда, когда
a E(f) Аналогично, уравнение f(x) = а имеет хотя бы один корень, расположенный на некотором промежутке Х, или не имеет ни одного корня на этом промежутке тогда и только тогда, когда а принадлежит или не принадлежит множеству значений функции f(x) на промежутке Х. Также исследуются с привлечением множества значений функции и неравенства f(x)≠ а, f(x)> а и т.д. В частности, f(x)≠ а для всех допустимых значений х, если a E(f)
Пример 4. При каких значениях параметра а уравнение (x + 5) 1/2 = a(x 2 + 4) имеет единственный корень на отрезке [-4;-1].
Запишем уравнение в виде (x + 5) 1/2 / (x 2 + 4) = a . Последнее уравнение имеет хотя бы один корень на отрезке [-4;-1] тогда и только тогда, когда а принадлежит множеству значений функции f(x) = (x + 5) 1/2 / (x 2 + 4) на отрезке [-4;-1]. Найдём это множество, используя свойство непрерывности и монотонности функции.
На отрезке [-4;-1] функция y = xІ + 4 непрерывна, убывает и положительна, поэтому функция g(x) = 1 /(x 2 + 4) непрерывна и возрастает на этом отрезке, так как при делении на положительную функцию характер монотонности функции меняется на противоположный. Функция h(x) = (x + 5) 1/2 непрерывна и возрастает в своей области определения D(h) = [-5;+∞) и, в частности на отрезке [-4;-1], где она, кроме того, положительна. Тогда функция f(x)=g(x)·h(x) , как произведение двух непрерывных, возрастающих и положительных функций, также непрерывна и возрастает на отрезке [-4;-1], поэтому её множество значений на [-4;-1] есть отрезок [f(-4); f(-1) ] = . Следовательно, уравнение имеет решение на отрезке [-4;-1], причём единственное (по свойству непрерывной монотонной функции), при 0,05 ≤ a ≤ 0,4
Замечание. Разрешимость уравнения f(x) = a на некотором промежутке Х равносильна принадлежности значений параметра а множеству значений функции f(x) на Х. Следовательно, множество значений функции f(x) на промежутке Х совпадает с множеством значений параметра а , для которых уравнение f(x) = a имеет хотя бы один корень на промежутке Х. В частности, область значений E(f) функции f(x) совпадает с множеством значений параметра а , для которых уравнение f(x) = a имеет хотя бы один корень.
Пример 5. Найдите область значений E(f) функции
Решим пример методом введения параметра, согласно которому E(f) совпадает с множеством значений параметра а , для которых уравнение
имеет хотя бы один корень.
При а=2 уравнение является линейным – 4х – 5 = 0 с ненулевым коэффициентом при неизвестной х, поэтому имеет решение. При а≠2 уравнение является квадратным, поэтому оно разрешимо тогда и только тогда, когда его дискриминант
Так как точка а = 2 принадлежит отрезку
то
искомым множеством значений параметра а,
значит, и областью значений E(f)
будет весь отрезок.
Как непосредственное развитие метода введения параметра при нахождении множества значений функции, можно рассматривать метод обратной функции, для нахождения которой надо решить относительно х уравнение f(x)= y , считая y параметром. Если это уравнение имеет единственное решение x =g(y) , то область значений E(f) исходной функции f(x) совпадает с областью определения D(g) обратной функции g(y) . Если же уравнение f(x)= y имеет несколько решений x =g 1 (y) , x =g 2 (y) и т.д., то E(f) равна объединению областей определений функции g 1 (y), g 2 (y) и т.д.
Пример 6. Найдите область значений E(y) функции y = 5 2/(1-3x).
Из уравнения
найдём обратную функцию x = log 3 ((log 5 y – 2)/(log 5 y)) и её область определения D(x) :
Так как уравнения относительно х имеет единственное решение, то
E(y) = D(x) = (0; 1)(25;+∞ ).
Если область определения функции состоит из нескольких промежутков или функция на разных промежутках задана разными формулами, то для нахождения области значений функции надо найти множества значений функции на каждом промежутке и взять их объединение.
Пример 7. Найдите области значений f(x) и f(f(x)) , где
f(x) на луче (-∞;1], где она совпадает с выражением 4 x + 9·4 -x + 3. Обозначим t = 4 x . Тогда f(x) = t + 9/t + 3 , где 0 < t ≤ 4 , так как показательная функция непрерывно возрастает на луче (-∞;1] и стремится к нулю при х → -∞. Тем самым множество значений функции f(x) на луче (-∞;1] совпадает с множеством значений функции g(t) = t + 9/t + 3 , на промежутке (0;4], которое найдём, используя производную g’(t) = 1 – 9/t 2 . На промежутке (0;4] производная g’(t) определена и обращается там в нуль при t = 3 . При 0<t <3 она отрицательна, а при 3<t <4 положительна. Следовательно, в интервале (0;3) функция g(t) убывает, а в интервале (3;4) она возрастает, оставаясь непрерывной на всём промежутке (0;4), поэтом g(3)= 9 – наименьшее значений этой функции на промежутке (0;4], в то время как её наибольшее значение не существует, так при t→0 справа функция g(t)→+∞. Тогда, по свойству непрерывной функции, множеством значений функции g(t) на промежутке (0;4], а значит, и множеством значений f(x) на (-∞;-1], будет луч .
Теперь, объединив промежутки – множества значений функции f(f(x)) , обозначим t = f(x) . Тогда f(f(x)) = f(t) , где При указанных t функция f(t) = 2cos(x-1) 1/2 + 7 и она снова принимает все значения от 5 до 9 включительно, т.е. область значений E(fІ) = E(f(f(x))) = .
Аналогично, обозначив z = f(f(x)) , можно найти область значений E(f 3) функции f(f(f(x))) = f(z) , где 5 ≤ z ≤ 9 и т.д. Убедитесь, что E(f 3) = .
Наиболее универсальным методом нахождения множества значений функции является использование наибольшего и наименьшего значений функции на заданном промежутке.
Пример 8. При каких значениях параметра р неравенcтво 8 x -р ≠ 2 x+1 – 2 x выполняется для всех -1 ≤ x < 2.
Обозначив t = 2 x , запишем неравенство в виде р ≠ t 3 – 2t 2 + t . Так как t = 2 x – непрерывная возрастающая функция на R, то при -1 ≤ x < 2 переменная
2 -1 ≤ t <2 2 ↔
0,5 ≤ t < 4, и исходное неравенство выполняется для всех -1 ≤ x < 2 тогда и только тогда, когда р отлична от значений функции f(t) = t 3 – 2t 2 + t при 0,5 ≤ t < 4.
Найдём сначала множество значений функции f(t) на отрезке , где она всюду имеет производную f’(t) =3t 2 – 4t + 1 . Следовательно, f(t) дифференцируема, значит, и непрерывна на отрезке . Из уравнения f’(t) = 0 найдём критические точки функции t = 1/3, t = 1, первая из которых не принадлежит отрезку , а вторая принадлежит ему. Так как f(0,5) = 1/8, f(1) = 0, f(4) = 36, то, по свойству дифференцируемой функции, 0 – наименьшее, а 36 – наибольшее значение функции f(t) на отрезке . Тогда f(t), как непрерывная функция, принимает на отрезке все значения от 0 до 36 включительно, причём значение 36 принимает только при t = 4 , поэтому при 0,5 ≤ t < 4, она принимает все значения из промежутка .
1) у = cos 2х 2) у = sin 2 x 3) y = cos 2 x +2
4) y = 2 sin 4 x
6. Найдите множество значений функции
y
=
tg
2
x
на отрезке 
7. Найдите сумму всех целых чисел, которые входят в область значений функции y = 4 cos 2 x – 7.
1) -25 2) 25 3) -22 4) 0
Вариант 2
y = 2 cos 5 x +3.
1) (2;3) 2) 3) (1;5) 4) .
2. Найдите область значения функции 
1) 3) (-∞;∞) 4) .
3. Укажите наименьшее число из области значений функции
1) 4 2) -3 3) 1 4) -7
4. Укажите наибольшее целое из области значений функции
1) 2 2) 13 3) 12 4) -2
5. Укажите функцию, множеством значений которой является отрезок [-5;5].
1) y = sin 5x 2) y = 5 cos 5x 3) y = cos (-5x)
4) y = sin 5x + 5
6. Найдите множество значений функции 
на отрезке 
7. Найдите произведение всех целых чисел, которые входят в область значений функции у = 5 – 3 sin 2 x .
1) 120 2) 14 3) -15 4) 0
Вариант 3
1. Укажите множество значений функции
y
=
sin
3
x
+ 5.
1) (-4;6) 2) 3) [-1;5) 4) (0;6)
1) 2) (0;3) 3) (1;3) 4) [-1;3)
3. Укажите наименьшее число из области значений функции у = 5 tg 2 x +2?
1) 5 2) 0 3) 7 4) 2
1) -1 2) -2,7 3) -2,3 4)-3
5. Укажите функцию, множеством значений которой является отрезок
[-17;-13].
1) y = 5 sin x – 8 3) y = -cos x +15
2) y = 2 cos x – 15 4) y = 3 sin x +10
6. Укажите наименьшее натуральное число, которое не входит в множество значений функции 
1) 2 2) 4 3) 15 4) 6
7. Сколько целых чисел принадлежит множеству значений функции
y = 2 cos 3 x +10?
1) 2 2) 3 3) 4 5) 5
Вариант 4
1) 2) 4) (-7;-6)
2. Найдите область значений функции 
1) (1;5) 2) 3) (4;6) 4) [-6;-4]
3. Укажите наибольшее число из области значений функции y = -3 ctg 2 x +7.
1) 10 2) 4 3) 7 4) -3
4. Какое из следующих чисел не входит в множество значений функции 
1) -6 2) -5 3) -10 4) -7
5. Укажите функцию, множеством значений которой является отрезок .
6. Укажите наибольшее целое отрицательное число, которое не входит в область значений функции 
1) -1 2) -25 3) -6 4) -2
7. Сколько целых чисел принадлежит множеству значений функции 
1) 11 2) 3 3) 5 4) 4
Вариант 5
1. Укажите множество значений функции у = 2 - sin 5 x .
1) (2;5) 2) 3) (1;3) 4) [-3;7]
2. Найдите область значений функции 
1) [-8;-6] 2) [-8;-6) 3) (-8;-6) 4)
3. Укажите наименьшее целое число из области значений функции
y = 3 + sin 2 2 x .
1) 0 2) 1 3) 3 4) 4
4. Какое из следующих чисел входит в множество значений функции 
1) 128 2) 10,5 3) 3 4) -235
5. Укажите функцию, множеством значений которой является отрезок [-9;15].
6. Найдите сумму целых чисел, входящих в множество значений функции 
1) 0 2) 7 3) 18 4) 22
7. Найдите наибольшее значение функции 
на отрезке 
1) 0,5 2) 1,5 3) 0 4) 2
Вариант 6
1. Укажите отрезок, соответствующий множеству значений функции 
1) 2) (-2;-1) 3) (0;1) 4) [-6;-4]
2. Найдите область значений функции 
3. Укажите наибольшее число из области значений функции 
1) 5 2) -6 3) -3 4) 4
4. Какое из следующих чисел входит в множество значений функции 
1) 5 2) 0 3) -3 4) 4
5. Укажите функцию, множество значений которой является отрезок .
1) у = 15 – 7 cos 2x 3) y = 7 cos 2x + 3
2) y = 5 cos 4 x 4) y = - tg 2 x + 1
6. Найдите произведение целых чисел, входящих в множество значений
y = 3,8 – 1,4 sin 3 x .
1) 17 2) 12 3) 0 4) 60
7. Найдите множество значений функции 
на промежутке 
1) (3;4) 2) 3)
Вариант 7
2. Найдите наименьшее целое значение функции 
1) 2 2) 0 3) -3 4) -4
1) 0 2) 2 3) 4 4) 6
4. При каких значениях а уравнение sin (3 x -4)+5= a разрешимо?
1) 2) 3) (4;6) 4) (-6;4]
sin 2 2 x – 2.
1) [-3;-2] 2) [-1;0] 3) [-4;0] 4) [-3;-1]
на промежутке 
2) 0 3) 1
y = 4 sin (x 4 ) -2?
1) 8 2) 9 3) 7 4) 10
Вариант 8
1. Найдите множество значений функции y = arctg x - 2π.
2. Найдите наибольшее значение функции 
1) 1,75 2) 0 3) 2,25 4) -1,75
3. Какое из следующих чисел может быть значением функции 
1) -4 2) -2 3) 0 4) 2
4. При каких значениях р уравнение -2+ cos (4 x -1)= p имеет корни?
1) [-3;-1] 2) [-3;-1) 3) (-3;1] 4) (-3;-1)
5. Найдите множество значений функции y = -2 tg 2 x + 1.
1) [-1;3] 2) (-∞;1] 3) (-∞;∞) 4) [-1;+∞)
на промежутке 
.
1) 0 2) 1 3) -1 4) 3
7. Сколько целых чисел принадлежит области значений функции
1) 4 2) 3 3) 5 4) 2
Вариант 9
1. Найдите область значений функции 
2. Найдите наибольшее целое значение функции 
1) 4 2) 5 3) 6 4) 7
3. Какое из следующих чисел может быть значением функции 
1) 0 2) 3 3) 6 4) 9
k уравнение – k + sin (2 x -1) = 2 разрешимо?
1) 2) (4;6) 3) (-3;-1) 4) [-3;-1]
5. Найдите множество значений функции у = - cos 2 3 x + 4.
1) 2) 3) 4)
6. Укажите наименьшее значение функции на промежутке 
2) -1 3) 0 4) 1
7. Найдите, сколько целых чисел входит в область значений функции у = 12 cos 3 x +5 sin 3 x .
1) 13 2) 27 3) 26 4) 14
Вариант 10
1. Найдите область значений функции 
2. Найдите наименьшее значение функции 
1) 3,5 2) 0 3) 2,5 4) -3,5
3. Какое из следующих чисел может быть значением функции 
1) -4 2) -1 3) 3 4) 7
4. При каких значениях параметра m уравнение cos (3 x + 2)- m = 5 имеет корни?
1) [-6;-4] 2) (-6;-4) 3) (-4;3) 4) [-6;-5]
5. Найдите множество значений функции у = -2 ctg 2 3 x + 7.
1) (-∞;5] 2) (-∞;1] 3) (-∞;0] 4) (-∞;7]
6. Укажите наибольшее значение функции 
на промежутке 
2) 0 3) 2 4) 1
7. Найдите, сколько целых чисел входит в область значений функции 
1) 30 2) 35 3) 17 4) 7
Множество значений показательной и логарифмической функций
Вариант 1
1. Найдите область значений функции 
1) 4) (-∞;3)
2. Укажите множество значений функции 
1) (-∞;7) 2) (-∞;-7) 3)(7;∞) 4) (-∞;7]
1) 0 2) 4 3) -3 4) -4
1) 15 2) 20 3) 43 4) 28
1) (0;-2) 2) (0;2) 3) (-∞;+∞) 4) [-2;0)
6. Укажите наименьшее целое значение функции 
1) 1 2) -1 3) 0 4) -5
7. Укажите функцию, множеством значений которой является промежуток (1;∞).
Вариант 2
1. Укажите множество значений функции 
1) [-1;∞) 2)(-1;∞) 3) (3;∞) 4) 4) [-3;∞)
2. Найдите область значений функции 
1) (-4;∞) 2) (4;∞) 3) (-∞;4] 4) 4) (-∞;4)
3. Укажите наименьшее целое значение функции 
1) -12 2) -11 3) -10 4) -15
4. Укажите число, не принадлежащее множеству значений фунукции 
1) -42 2) 3 3) 1 4) -20
5. Укажите множество значений функции 
1) (-∞;0) 2) (0;∞) 3) (-∞;∞) 4) [-2;2]
6. Укажите наибольшее целое значение функции 
1) 10 2) 3 3) 9 4) 2
7. Укажите функцию, множеством значений которой является промежуток
(-∞;13).
Вариант 5
1. Укажите наименьшее целое значение функции 
1) 0 2) -1 3) -2 4) -3
2. Какое из следующих чисел входит в область значений функции 
1) -3 2) -4 3) 5 4) 0
1) (-∞;2] 2) 2) [-1;1] 3) (-1;1) 4) (0;∞)
6. Найдите, на каком отрезке функция 
принимает наибольшее значение, равное 2, и наименьшее значение, равное -3.
1) 2) (-5;2) 3) 4) (-3;2)
на промежутке 
1) -1/2 2) 5 3) 2 4) 4
8. Найдите сумму всех натуральных чисел, не входящих в множеств значений функции 
1) 3 2) 6 3) 10 4) 8
Вариант 6
1. Укажите наибольшее целое значение функции 
1) 2 2) 4 3) 3 4) 5
2. Какое из следующих чисел не входит в область значений функции 
1) 35 2) 7, 28 3) 7, 85 4) 128
3. Укажите множество значений функции 
1) [-1/3;0] 2) (-3;2/5) 3) (0;1/3) 4) (0;2/5)
4. Найдите все точки на ОУ, являющиеся проекциями точек графика функции 
1) (0;∞) 2) 2) (-3;2) 3) [ log 2 3;2] 4) (log 2 3;2)
6. Найдите на каком отрезке функция 
принимает наименьшее значение, равное -2, и наибольшее значение, равное 4.
1) [-17/9;79] 2) [-1,5;82] 3) (-11/9;79] 4) (-17/9;79)
7. Укажите наибольшее значение функции 
на промежутке
[-0,9; 0]. 2. Найдите наименьшее значение функции на отрезке .
4. Сколько целых значений принимает функция 
Ответы
Часть 1
Множество значений показательной и логарифмической функции
Часть 2
Загрузка...