GCD on suurim ühine jagaja.
Mitme arvu suurima ühisjagaja leidmiseks vajate:
- määrake mõlemale arvule ühised tegurid;
- leida ühiste tegurite korrutis.
GCD leidmise näide:
Leiame arvude 315 ja 245 gcd.
315 = 5 * 3 * 3 * 7;
245 = 5 * 7 * 7.
2. Kirjutame üles mõlema arvu ühised tegurid:
3. Leidke tavategurite korrutis:
GCD(315; 245) = 5 * 7 = 35.
Vastus: GCD(315, 245) = 35.
NOC leidmine
LCM on vähim ühine kordne.
Mitme arvu vähima ühiskordse leidmiseks vajate järgmist.
- teguriarvud algteguriteks;
- pane kirja ühe arvu laiendamises sisalduvad tegurid;
- Lisame neile teise arvu laienemisest puuduvad tegurid;
- leida saadud tegurite korrutis.
Näide LOC-i leidmisest:
Leiame arvude 236 ja 328 LCM-i:
1. Korraldame arvud algteguriteks:
236 = 2 * 2 * 59;
328 = 2 * 2 * 2 * 41.
2. Paneme kirja ühe arvu laienduses sisalduvad tegurid ja lisame neile teise arvu laiendamisel puuduvad tegurid:
2; 2; 59; 2; 41.
3. Leidke saadud tegurite korrutis:
LCM(236; 328) = 2 * 2 * 59 * 2 * 41 = 19352.
Vastus: LCM(236, 328) = 19352.
Kahe arvu GCD (suurima ühise jagaja) leidmiseks peate:
2. Leidke saadud laiendustest kõik levinumad algtegurid.
3. Leidke ühiste algtegurite korrutis.
Kahe numbri LCM-i (kõige vähem levinud kordne) leidmiseks vajate järgmist.
1. Jagage antud arvud algteguriteks.
2. Neist ühe laienemist täiendatakse nende teise arvu laienemise teguritega, mis ei ole esimese laienduses.
3. Arvutage saadud tegurite korrutis.
Tagasi ette
Tähelepanu! Slaidide eelvaated on ainult informatiivsel eesmärgil ja ei pruugi esindada kõiki esitluse funktsioone. Kui olete huvitatud see töö, laadige alla täisversioon.
Keskkooliõpilased puutuvad kuuendas klassis kokku suurima ühisjagaja (GCD) ja vähima ühiskordaja (LCM) mõistetega. Seda teemat on alati raske mõista. Lapsed ajavad need mõisted sageli segamini ega saa aru, miks neid on vaja uurida. IN Hiljuti ja populaarteaduslikus kirjanduses on üksikuid väiteid, et see materjal tuleks kooli õppekavast välja jätta. Arvan, et see pole päris tõsi ja seda tuleks uurida, kui mitte tunnis, siis sees peale koolitunde klassiruumis on koolikomponent kohustuslik, kuna see aitab kaasa kooliõpilaste loogilise mõtlemise arendamisele, arvutustoimingute kiiruse suurendamisele ja probleemide lahendamise oskusele kaunite meetodite abil.
Uurides teemat "Murdude liitmine ja lahutamine koos erinevad nimetajad"Õpetame lapsi leidma kahe või enama arvu ühisnimetajat. Näiteks peate liitma murrud 1/3 ja 1/5. Õpilased saavad hõlpsasti leida arvu, mis jagub 3 ja 5-ga ilma jäägita. on arv 15. Tõepoolest, kui arvud on väikesed, siis on lihtne leida nende ühisosa, kui tunnete hästi korrutustabelit. Üks lastest märkab, et see arv on arvude 3 ja 5 korrutis arvamus, et nii on alati võimalik leida arvude ühisosa. Näiteks lahutame murrud 18 ja 24. See on võrdne 432-ga Oleme juba saanud suure arvu ja kui on vaja täiendavaid arvutusi (eriti kõigi toimingute jaoks), siis suureneb vea tõenäosus, mis antud juhul suureneb on võrdne vähima ühisnimetajaga (LCD) - numbriga 72 - hõlbustab oluliselt arvutusi ja viib näite kiirema lahendamiseni ning säästab seeläbi täitmiseks kuluvat aega sellest ülesandest, mis mängib viimaste testide tegemisel olulist rolli, testid, eriti lõpliku hindamise ajal.
Teemat “Murdude taandamine” uurides saate liikuda järjestikku, jagades murdu lugeja ja nimetaja sama naturaalarvuga, kasutades arvude jaguvuse märke, saades lõpuks taandamatu murru. Näiteks peate vähendama murdosa 128/344. Esmalt jagame murru lugeja ja nimetaja arvuga 2, saame murdarvuks 64/172. Veel kord jagage saadud murdarvu lugeja ja nimetaja 2-ga, saame murdarvuks 32/86. Jagage murdu lugeja ja nimetaja uuesti 2-ga, saame taandamatuks murruks 16/43. Kuid murdosa vähendamist saab teha palju lihtsamalt, kui leiame arvude 128 ja 344 suurima ühisjagaja. GCD(128, 344) = 8. Jagades murdu lugeja ja nimetaja selle arvuga, saame kohe taandamatu murru .
Vaja lastele näidata erinevaid viise arvude suurima ühisjagaja (GCD) ja vähima ühiskordse (LCM) leidmine. Lihtsatel juhtudel on mugav lihtsa loendamisega leida arvude suurim ühisjagaja (GCD) ja vähim ühiskordne (LCD). Kui arvud suurenevad, saate kasutada algfaktoriseerimist. Kuuenda klassi õpikus (autor N.Ya. Vilenkin) on näidatud järgmine meetod arvude suurima ühisjagaja (GCD) leidmiseks. Kombineerime arvud algteguriteks:
- 16 = 2*2*2*2
- 120 = 2*2*2*3*5
Seejärel kriipsutame ühe arvu laiendamisse kaasatud tegurite hulgast välja need, mida teise arvu laiendamine ei hõlma. Ülejäänud tegurite korrutis on nende arvude suurim ühisjagaja. Antud juhul on see arv 8. Oma kogemuse põhjal olen veendunud, et laste jaoks on selgem, kui joonistame arvude dekompositsioonides alla samad tegurid ja siis ühest lagunemisest leiame korrutise allajoonitud tegurid. See on nende arvude suurim ühine jagaja. Kuuendas klassis on lapsed aktiivsed ja uudishimulikud. Saate neile seada järgmise ülesande: proovige kirjeldatud meetodi abil leida arvude 343 ja 287 suurim ühisjagaja. Ei ole kohe selge, kuidas neid algteguriteks arvesse võtta. Ja siin saate rääkida iidsete kreeklaste leiutatud imelisest meetodist, mis võimaldab teil otsida suurimat ühisjagajat (GCD) ilma seda algteguritesse arvestamata. Seda suurima ühise jagaja leidmise meetodit kirjeldati esmakordselt Eukleidese Elementides. Seda nimetatakse eukleidiliseks algoritmiks. See koosneb järgmisest: Esiteks jagage suurem arv väiksemaga. Kui saadakse jääk, jagage väiksem arv jäägiga. Kui jääk saadakse uuesti, jagage esimene jääk teisega. Jätkake sel viisil jagamist, kuni jääk on null. Viimane jagaja on nende arvude suurim ühisjagaja (GCD).
Pöördume tagasi meie näite juurde ja selguse huvides kirjutame lahendus tabeli kujul.
| Dividend | Jagaja | Privaatne | Ülejäänud |
| 343 | 287 | 1 | 56 |
| 287 | 56 | 5 | 7 |
| 56 | 7 | 8 | 0 |
Niisiis, gcd(344 287) = 7
Kuidas leida samade arvude vähim ühiskordne (LCM)? Kas selleks on mingi moodus, mis ei nõuaks nende arvude eelnevat algteguriteks lagundamist? Selgub, et see on olemas ja väga lihtne. Peame need arvud korrutama ja jagama korrutise suurima leitud ühisjagajaga (GCD). Selles näites on arvude korrutis 98441. Jagage see 7-ga ja saate arvuks 14063. LCM(343,287) = 14063.
Matemaatikas on üks raskemaid teemasid tekstülesannete lahendamine. Peame õpilastele näitama, kuidas kontseptsioone Greatest Common Divisor (GCD) ja Least Common Multiple (LCM) saab kasutada probleemide lahendamiseks, mida mõnikord on raske lahendada. tavapärasel viisil. Siin on kohane koos õpilastega koos kooliõpiku autorite pakutud ülesannetega läbi mõelda iidsed ja meelelahutuslikud ülesanded, mis arendavad lastes uudishimu ja suurendavad huvi selle teema uurimise vastu. Nende mõistete oskuslik valdamine võimaldab õpilastel näha kaunist lahendust ebastandardsele probleemile. Ja kui lapse tuju tõuseb pärast hea probleemi lahendamist, on see eduka töö märk.
Seega, õppides koolis selliseid mõisteid nagu arvude "suurim ühine jagaja (GCD)" ja "väikseim tavaline mitmik (LCD)"
Võimaldab säästa töö lõpetamiseks eraldatud aega, mis toob kaasa tehtud ülesannete mahu olulise suurenemise;
Suurendab aritmeetiliste toimingute sooritamise kiirust ja täpsust, mis toob kaasa arvutusvigade arvu olulise vähenemise;
Võimaldab leida ilusaid viise mittestandardsete tekstülesannete lahendamine;
Arendab õpilastes uudishimu, avardab silmaringi;
Loob eeldused mitmekülgse loomingulise isiksuse kasvamiseks.
Kolme või enama arvu suurima ühisjagaja leidmise saab taandada kahe arvu gcd järjestikuse leidmiseks. Mainisime seda GCD omaduste uurimisel. Seal sõnastasime ja tõestasime teoreemi: mitme arvu suurim ühisjagaja a 1 , a 2 , …, a k võrdne arvuga dk, mis leitakse järjestikuse arvutuse teel GCD(a 1 , a 2) = d 2, GCD(d2, a3)=d3, GCD(d 3 , a 4) = d 4, …,GCD(d k-1, a k)=d k.
Vaatame, kuidas näeb välja mitme numbri gcd leidmise protsess, vaadates näite lahendust.
Näide.
Leidke nelja arvu suurim ühisjagaja 78 , 294 , 570 Ja 36 .
Lahendus.
Selles näites a 1 = 78, a 2 = 294, a 3 = 570, a 4 = 36.
Esiteks määrame Eukleidilise algoritmi abil kindlaks suurima ühisjagaja d 2 kaks esimest numbrit 78 Ja 294 . Jagamisel saame võrdsused 294=78 3+60; 78=60 1+18;60=18·3+6 Ja 18=6·3. Seega d2 = GCD(78, 294) = 6.
Nüüd arvutame d 3 = GCD(d 2, a 3) = GCD(6, 570). Rakendame uuesti Eukleidilise algoritmi: 570 = 6,95, seega, d3 =GCD(6,570)=6.
Jääb üle arvutada d 4 = GCD(d 3, a 4) = GCD(6, 36). Sest 36 jagatuna 6 , See d4 = GCD(6, 36) = 6.
Seega on nelja antud arvu suurim ühisjagaja d 4 = 6, see on, GCD(78; 294; 570; 36)=6.
Vastus:
GCD(78; 294; 570; 36)=6.
Arvude faktoriseerimine algteguriteks võimaldab teil arvutada ka kolme või enama arvu gcd. Sel juhul leitakse suurim ühisjagaja antud arvude kõigi ühiste algtegurite korrutisena.
Näide.
Arvutage eelmise näite arvude gcd, kasutades nende algtegurite jaotust.
Lahendus.
Jaotame numbrid lahti 78 , 294 , 570 Ja 36 algtegurite abil saame 78=2·3·13,294=2·3·7·7, 570=2 3 5 19, 36=2·2·3·3. Kõigi antud nelja arvu ühised algtegurid on arvud 2 Ja 3 . Seega GCD(78; 294; 570; 36) = 2 · 3 = 6.
Vastus:
GCD(78; 294; 570; 36)=6.
Lehe ülaosa
Negatiivsete arvude GCD leidmine
Kui üks, mitu või kõik numbrid, suurim jagaja mis tuleb leida on negatiivsed arvud, siis nende gcd on võrdne nende arvude moodulite suurima ühisjagajaga. See on tingitud asjaolust, et vastupidised numbrid a Ja −a neil on samad jagajad, nagu arutasime jaguvuse omadusi uurides.
Näide.
Leidke negatiivsete täisarvude gcd −231 Ja −140 .
Lahendus.
Arvu absoluutväärtus −231 võrdub 231 ja arvu moodul −140 võrdub 140 , Ja GCD(-231, -140)=GCD(231, 140). Eukleidiline algoritm annab meile järgmised võrdsused: 231=140 1+91; 140=91 1+49; 91=49 1+42; 49=42 1+7 Ja 42=7 6. Seega GCD(231, 140)=7. Siis on negatiivsete arvude soovitud suurim ühisjagaja −231 Ja −140 võrdub 7 .
Vastus:
GCD(-231, -140)=7.
Näide.
Määrake kolme arvu gcd −585 , 81 Ja −189 .
Lahendus.
Suurima ühisjagaja leidmisel negatiivsed arvud saate need asendada absoluutväärtustega, st GCD(-585; 81; -189)=GCD(585; 81; 189). Numbrilaiendid 585 , 81 Ja 189 algteguriteks on vorm 585=3·3·5·13, 81=3·3·3·3 Ja 189=3·3·3·7. Nende kolme arvu ühised algtegurid on 3 Ja 3 . Siis GCD(585; 81; 189)=3·3=9, seega, GCD(−585, 81, −189)=9.
Vastus:
GCD(−585, 81, −189)=9.
35. Polünoomi juured. Bezouti teoreem. (33 ja rohkem)
36. Mitu juurt, juurte paljususe kriteerium.
Definitsioon. Nimetatakse suurimat naturaalarvu, millega arvud a ja b jagatakse ilma jäägita suurim ühisjagaja (GCD) need numbrid.
Leiame arvude 24 ja 35 suurima ühisjagaja.
24 jagajad on arvud 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24 ja 35 jagajad on arvud 1, 5, 7, 35.
Näeme, et arvudel 24 ja 35 on ainult üks ühine jagaja – arv 1. Selliseid numbreid nimetatakse vastastikku prime.
Definitsioon. Naturaalarvudeks nimetatakse vastastikku prime, kui nende suurim ühisjagaja (GCD) on 1.
Suurim ühine jagaja (GCD) võib leida ilma kõiki antud arvude jagajaid välja kirjutamata.
Korrutame arvud 48 ja 36 ning saame:
48 = 2 * 2 * 2 * 2 * 3, 36 = 2 * 2 * 3 * 3.
Nendest arvudest esimese laiendamises sisalduvate tegurite hulgast kriipsutame välja need, mida teise arvu laiendamine ei hõlma (st kaks kahelist).
Ülejäänud tegurid on 2 * 2 * 3. Nende korrutis on 12. See arv on arvude 48 ja 36 suurim ühisjagaja. Leitakse ka kolme või enama arvu suurim ühisjagaja.
Leidma suurim ühine jagaja
2) ühe nende arvude laiendamisel sisalduvate tegurite hulgast kriipsutada maha need, mis ei kuulu teiste arvude laiendamisse;
3) leida ülejäänud tegurite korrutis.
Kui kõik antud arvud jaguvad ühega neist, siis see arv on suurim ühine jagaja antud numbrid.
Näiteks arvude 15, 45, 75 ja 180 suurim ühisjagaja on arv 15, kuna kõik teised arvud jaguvad sellega: 45, 75 ja 180.
Vähim levinud kordne (LCM)
Definitsioon. Vähim levinud kordne (LCM) naturaalarvud a ja b on väikseim naturaalarv, mis on arvu a ja b kordne. Arvude 75 ja 60 vähim ühiskordne (LCM) on leitav ilma nende arvude kordajaid järjest üles kirjutamata. Selleks arvutame 75 ja 60 algteguriteks: 75 = 3 * 5 * 5 ja 60 = 2 * 2 * 3 * 5.
Paneme kirja neist arvudest esimese laienduses sisalduvad tegurid ja lisame neile teise arvu laiendusest puuduvad tegurid 2 ja 2 (s.t. tegurid ühendame).
Saame viis tegurit 2 * 2 * 3 * 5 * 5, mille korrutis on 300. See arv on arvude 75 ja 60 vähim ühiskordne.
Samuti leiavad nad kolme või enama arvu vähima ühiskordse.
To leida vähim ühiskordne mitu naturaalarvu, vajate:
1) arvutada need algteguriteks;
2) pane kirja ühe arvu laienduses sisalduvad tegurid;
3) lisab neile ülejäänud arvude laiendustest puuduvad tegurid;
4) leida saadud tegurite korrutis.
Pange tähele, et kui üks neist arvudest jagub kõigi teiste arvudega, on see arv nende arvude vähim ühiskordne.
Näiteks arvude 12, 15, 20 ja 60 vähim ühiskordne on 60, kuna see jagub kõigi nende arvudega.
Pythagoras (VI sajand eKr) uuris koos õpilastega arvude jaguvuse küsimust. Nad nimetasid arvu, mis võrdub kõigi selle jagajate summaga (ilma arvu endata), täiuslikuks arvuks. Näiteks numbrid 6 (6 = 1 + 2 + 3), 28 (28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14) on täiuslikud. Järgmised täiuslikud arvud on 496, 8128, 33 550 336. Pythagoreanid teadsid ainult kolme esimest täiuslikku numbrit. Neljas – 8128 – sai tuntuks 1. sajandil. n. e. Viies – 33 550 336 – leiti 15. sajandil. 1983. aastaks oli teada juba 27 täiuslikku numbrit. Kuid teadlased ei tea ikka veel, kas on paarituid täiuslikke numbreid või kas on olemas suurim täiuslik arv.
Muistsete matemaatikute huvi algarvude vastu tuleneb asjaolust, et iga arv on kas algarv või seda saab esitada korrutisena algarvud, st algarvud on nagu tellised, millest on ehitatud ülejäänud naturaalarvud.
Tõenäoliselt märkasite, et naturaalarvude reas esinevad algarvud ebaühtlaselt - mõnes rea osas on neid rohkem, teistes - vähem. Kuid mida edasi liigume mööda arvujadasid, seda vähem levinud on algarvud. Tekib küsimus: kas on olemas viimane (suurim) algarv? Vana-Kreeka matemaatik Euclid (3. sajand eKr) tõestas oma raamatus “Elements”, mis oli matemaatika põhiõpik kaks tuhat aastat, et algarve on lõpmatult palju, s.t iga algarvu taga on veel suurem algarv. number.
Algarvude leidmiseks tuli selle meetodi välja teine samaaegne Kreeka matemaatik Eratosthenes. Ta kirjutas üles kõik arvud 1-st mõne arvuni ja seejärel kriipsutas läbi ühe, mis ei ole alg- ega liitarv, ja seejärel kriipsutas läbi ühe kõik arvud, mis tulevad pärast 2 (arvud, mis on 2 kordsed, st 4, 6, 8 jne). Esimene järelejäänud arv pärast 2 oli 3. Seejärel tõmmati pärast kahte maha kõik arvud, mis tulevad pärast 3 (arvud, mis on 3-kordsed, st 6, 9, 12 jne). lõpuks jäid ristimata vaid algarvud.
Palju jagajaid
Vaatleme järgmist ülesannet: leidke arvu 140 jagaja. Ilmselgelt on arvul 140 mitte üks jagaja, vaid mitu. Sellistel juhtudel väidetakse, et probleem on olemas trobikond otsuseid. Otsime need kõik üles. Kõigepealt arvestame selle arvu lihtsate teguritega:
140 = 2 ∙ 2 ∙ 5 ∙ 7.
Nüüd saame kõik jagajad lihtsalt üles kirjutada. Alustame algteguritega, st nendega, mis esinevad ülaltoodud laienduses:
Seejärel kirjutame üles need, mis saadakse algjagajate paarikaupa korrutamisel:
2∙2 = 4, 2∙5 = 10, 2∙7 = 14, 5∙7 = 35.
Siis - need, mis sisaldavad kolme algjagajat:
2∙2∙5 = 20, 2∙2∙7 = 28, 2∙5∙7 = 70.
Lõpuks ärgem unustagem ühikut ja lagunenud arvu ennast:
Kõik meie leitud jagajad moodustavad trobikond arvu 140 jagajad, mis on kirjutatud lokkis sulgudes:
Arvu 140 jagajate hulk =
{1, 2, 4, 5, 7, 10, 14, 20, 28, 35, 70, 140}.
Tajumise hõlbustamiseks oleme siia kirja pannud jagajad ( komplekti elemendid) kasvavas järjekorras, kuid üldiselt pole see vajalik. Lisaks tutvustame lühendit. “Arvu 140 jagajate komplekt” asemel kirjutame “D(140)”. Seega
Samamoodi võite leida jagajate hulga mis tahes muu naturaalarvu jaoks. Näiteks lagunemisest
105 = 3 ∙ 5 ∙ 7
saame:
D(105) = (1, 3, 5, 7, 15, 21, 35, 105).
Kõigi jagajate hulgast tuleks eristada lihtjagajate kogumit, mis arvude 140 ja 105 puhul on vastavalt võrdsed:
PD(140) = (2, 5, 7).
PD(105) = (3, 5, 7).
Eriti tuleb rõhutada, et arvu 140 dekomponeerimisel algteguriteks esinevad need kaks kaks korda, samas kui hulgas PD(140) on ainult üks. PD(140) hulk on sisuliselt kõik vastused ülesandele: "Leia arvu 140 algtegur." On selge, et sama vastust ei tohiks korrata rohkem kui üks kord.
Fraktsioonide vähendamine. Suurim ühine jagaja
Kaaluge murdosa
Teame, et seda murdosa saab taandada arvuga, mis on nii lugeja (105) kui ka nimetaja (140) jagaja. Vaatame hulki D(105) ja D(140) ning paneme kirja nende ühised elemendid.
D(105) = (1, 3, 5, 7, 15, 21, 35, 105);
D(140) = (1, 2, 4, 5, 7, 10, 14, 20, 28, 35, 70, 140).
Hulkade D(105) ja D(140) ühised elemendid =
Viimase võrdsuse võib kirjutada lühemalt, nimelt:
D(105) ∩ D(140) = (1, 5, 7, 35).
Siin näitab spetsiaalne ikoon “∩” (“aukuga kott”), et kahest selle vastasküljele kirjutatud komplektist tuleb valida ainult ühised elemendid. Kirje "D(105) ∩ D(140)" on " ristmik komplektid De alates 105 ja De alates 140.
[Pange tähele, et komplektidega saate teha mitmesuguseid kahendtoiminguid, peaaegu nagu numbritega. Teine levinud kahendoperatsioon on liit, mida tähistab ikoon “∪” (“kott auguga ülespoole”). Kahe hulga liit sisaldab mõlema komplekti kõiki elemente:
PD(105) = (3, 5, 7);
PD(140) = (2, 5, 7);
PD(105) ∪ PD(140) = (2, 3, 5, 7). ]
Niisiis, saime teada, et murdosa
saab vähendada mis tahes komplekti kuuluva numbri võrra
D(105) ∩ D(140) = (1, 5, 7, 35)
ja seda ei saa taandada ühegi teise naturaalarvuga. See on kõik võimalikud viisid lühendid (välja arvatud ebahuvitav lühend ühega):
Ilmselgelt on kõige otstarbekam murdosa vähendada võimalikult suure arvu võrra. IN sel juhul see on number 35, mida nad ütlevad suurim ühine jagaja (GCD) numbrid 105 ja 140. See on kirjutatud kui
GCD(105; 140) = 35.
Kuid praktikas, kui meile antakse kaks arvu ja peame leidma nende suurima ühise jagaja, ei tohiks me ühtegi hulka konstrueerida. Piisab, kui jagada mõlemad arvud lihtsalt algteguriteks ja tõsta esile need tegurid, mis on ühised mõlemale lagunemisele, näiteks:
105 = 3 ∙ 5 ∙ 7 ;
140 = 2 ∙ 2 ∙ 5 ∙ 7 .
Korrutades allajoonitud arvud (mis tahes laienduses), saame:
gcd(105, 140) = 5 ∙ 7 = 35.
Muidugi on võimalik, et allajoonitud tegurit on rohkem kui kaks:
168 = 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 7;
396 = 2 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 3 ∙ 11.
Sellest on selge, et
gcd(168, 396) = 2 ∙ 2 ∙ 3 = 12.
Eraldi äramärkimist väärib olukord, kus ühiseid tegureid üldse pole ja pole ka midagi rõhutada, näiteks:
42 = 2 ∙ 3 ∙ 7;
Sel juhul,
GCD(42; 55) = 1.
Kutsutakse kahte naturaalarvu, mille puhul GCD on võrdne ühega vastastikku prime. Kui teete sellistest arvudest murdosa, näiteks
siis selline murd on taandamatu.
Üldiselt võib murdude vähendamise reegli kirjutada järgmiselt:
|
a/ gcd ( a, b) |
|||
|
b/ gcd ( a, b) |
Siin eeldatakse, et a Ja b on naturaalarvud ja kogu murd on positiivne. Kui nüüd lisada selle võrdsuse mõlemale poolele miinusmärk, saame negatiivsete murdude jaoks vastava reegli.
Murdude liitmine ja lahutamine. Vähim ühine kordne
Oletame, et peate arvutama kahe murdosa summa:
Teame juba, kuidas nimetajad algteguriteks on arvestatud:
105 = 3 ∙ 5 ∙ 7 ;
140 = 2 ∙ 2 ∙ 5 ∙ 7 .
Sellest laiendusest järeldub kohe, et murdude vähendamiseks kuni ühine nimetaja, piisab, kui korrutada esimese murru lugeja ja nimetaja 2∙ 2-ga (teise nimetaja rõhutamata algtegurite korrutis) ning teise murru lugeja ja nimetaja 3-ga (murru korrutis). esimese nimetaja rõhutamata algtegurid). Selle tulemusel muutuvad mõlema murru nimetajad võrdseks arvuga, mida saab esitada järgmiselt:
2 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 5 ∙ 7 = 105 ∙ 2 ∙ 2 = 140 ∙ 3 = 420.
On lihtne mõista, et mõlemad algnimetajad (nii 105 kui ka 140) on arvu 420 jagajad ja arv 420 on omakorda mõlema nimetaja kordne - ja mitte ainult kordne, see on vähim ühiskordne (NOC) numbrid 105 ja 140. See on kirjutatud nii:
LCM(105; 140) = 420.
Arvude 105 ja 140 lagunemist lähemalt vaadeldes näeme, et
105 ∙ 140 = GCD(105, 140) ∙ GCD(105, 140).
Samamoodi suvaliste naturaalarvude puhul b Ja d:
b ∙ d= LOC( b, d) ∙ GCD( b, d).
Nüüd lõpetame oma murdude liitmise:
|
3 ∙ 5 ∙ 7 |
2 ∙ 2 ∙ 5 ∙ 7 |
|
2 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 5 ∙ 7 |
2 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 5 ∙ 7 |
|
2 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 5 ∙ 7 |
|
2 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 5 ∙ 7 |
|
2 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 5 |
|
Märge. Mõne probleemi lahendamiseks peate teadma, milline on arvu ruut. Arv ruutu a helistatud number a, korrutatuna iseendaga, see tähendab a∙a. (Nagu on lihtne näha, on see võrdne küljega ruudu pindalaga a). |
Laadimine...