Vietas sætning (mere præcist, sætningen omvendt til Vietas sætning) giver dig mulighed for at reducere tiden til at løse andengradsligninger. Du skal bare vide, hvordan du bruger det. Hvordan lærer man at løse andengradsligninger ved hjælp af Vietas sætning? Det er ikke svært, hvis man tænker sig lidt om.

Nu vil vi kun tale om at løse den reducerede andengradsligning ved hjælp af Vietas sætning En reduceret andengradsligning er en ligning, hvor a, det vil sige koefficienten af ​​x², er lig med én. Det er også muligt at løse andengradsligninger, der ikke er givet ved hjælp af Vietas sætning, men mindst en af ​​rødderne er ikke et heltal. De er sværere at gætte.

Den omvendte sætning til Vietas sætning siger: hvis tallene x1 og x2 er sådan, at

så er x1 og x2 rødderne til andengradsligningen

Når man løser en andengradsligning ved hjælp af Vietas sætning, er der kun 4 muligheder. Hvis du husker ræsonnementet, kan du lære at finde hele rødder meget hurtigt.

I. Hvis q er et positivt tal,

det betyder, at rødderne x1 og x2 er tal med samme fortegn (da kun gange tal med de samme fortegn giver et positivt tal).

Bl.a. Hvis -p er et positivt tal, (henholdsvis s<0), то оба корня x1 и x2 — положительные числа (поскольку складывали числа одного знака и получили положительное число).

I.b. Hvis -p - et negativt tal, (henholdsvis p>0), så er begge rødder negative tal (vi tilføjede tal med samme fortegn og fik et negativt tal).

II. Hvis q er et negativt tal,

det betyder, at rødderne x1 og x2 har forskellige fortegn (når man multiplicerer tal, opnås kun et negativt tal, når fortegnene for faktorerne er forskellige). I dette tilfælde er x1+x2 ikke længere en sum, men en forskel (når man lægger tal sammen med forskellige tegn vi trækker det mindre fra det større). Derfor viser x1+x2, hvor meget rødderne x1 og x2 adskiller sig, det vil sige hvor meget den ene rod er større end den anden (i absolut værdi).

II.a. Hvis -p er et positivt tal, (det vil sige s<0), то больший (по модулю) корень — положительное число.

II.b. Hvis -p er et negativt tal, (p>0), så er den større (modulo) rod et negativt tal.

Lad os overveje at løse andengradsligninger ved hjælp af Vietas sætning ved hjælp af eksempler.

Løs den givne andengradsligning ved hjælp af Vietas sætning:

Her er q=12>0, så rødderne x1 og x2 er tal med samme fortegn. Deres sum er -p=7>0, så begge rødder er positive tal. Vi udvælger heltal, hvis produkt er lig med 12. Disse er 1 og 12, 2 og 6, 3 og 4. Summen er 7 for parret 3 og 4. Det betyder, at 3 og 4 er ligningens rødder.

I dette eksempel er q=16>0, hvilket betyder, at rødderne x1 og x2 er tal med samme fortegn. Deres sum er -p=-10<0, поэтому оба корня — отрицательные числа. Подбираем числа, произведение которых равно 16. Это 1 и 16, 2 и 8, 4 и 4. Сумма 2 и 8 равна 10, а раз нужны отрицательные числа, то искомые корни — это -2 и -8.

Her er q=-15<0, что означает, что корни x1 и x2 — числа разных знаков. Поэтому 2 — это уже не их сумма, а разность, то есть числа отличаются на 2. Подбираем числа, произведение которых равно 15, отличающиеся на 2. Произведение равно 15 у 1 и 15, 3 и 5. Отличаются на 2 числа в паре 3 и 5. Поскольку -p=2>0, så er det større tal positivt. Så rødderne er 5 og -3.

q=-36<0, значит, корни x1 и x2 имеют разные знаки. Тогда 5 — это то, насколько отличаются x1 и x2 (по модулю, то есть пока что без учета знака). Среди чисел, произведение которых равно 36: 1 и 36, 2 и 18, 3 и 12, 4 и 9 — выбираем пару, в которой числа отличаются на 5. Это 4 и 9. Осталось определить их знаки. Поскольку -p=-5<0, бОльшее число имеет знак минус. Поэтому корни данного уравнения равны -9 и 4.

I dag fortjener hun at blive sunget i poesi
Vietas sætning om røddernes egenskaber.
Hvad er bedre, fortæl mig, konsistens som denne:
Du multiplicerede rødderne – og brøken er klar
I tælleren Med, i nævneren EN.
Og summen af ​​brøkens rødder er også lig
Selv med minus denne brøkdel
Sikke et problem
I tællere V, i nævneren EN.
(Fra skolefolklore)

I epigrafen er François Vietas bemærkelsesværdige teorem ikke givet helt nøjagtigt. Faktisk kan vi nedskrive en andengradsligning, der ikke har nogen rødder, og nedskrive deres sum og produkt. For eksempel har ligningen x 2 + 2x + 12 = 0 ingen reelle rødder. Men med en formel tilgang kan vi skrive deres produkt (x 1 · x 2 = 12) og summen (x 1 + x 2 = -2) ned. Vores versene vil svare til sætningen med forbeholdet: "hvis ligningen har rødder", dvs. D ≥ 0.

Den første praktiske anvendelse af denne sætning er at konstruere en andengradsligning, der har givet rødder. For det andet giver det dig mulighed for at løse mange andengradsligninger mundtligt. Skolebøger fokuserer primært på at udvikle disse færdigheder.

Her vil vi overveje mere komplekse problemer løst ved hjælp af Vietas sætning.

Eksempel 1.

En af rødderne til ligningen 5x 2 – 12x + c = 0 er tre gange større end den anden. Find s.

Løsning.

Lad den anden rod være x 2.

Så den første rod x1 = 3x 2.

Ifølge Vietas sætning er summen af ​​rødderne 12/5 = 2,4.

Lad os lave ligningen 3x 2 + x 2 = 2,4.

Derfor x 2 = 0,6. Derfor x 1 = 1,8.

Svar: c = (x 1 x 2) a = 0,6 1,8 5 = 5,4.

Eksempel 2.

Det er kendt, at x 1 og x 2 er rødderne til ligningen x 2 – 8x + p = 0, med 3x 1 + 4x 2 = 29. Find p.

Løsning.

Ifølge Vietas sætning er x 1 + x 2 = 8, og ved betingelse 3x 1 + 4x 2 = 29.

Efter at have løst systemet af disse to ligninger finder vi værdien x 1 = 3, x 2 = 5.

Og derfor er p = 15.

Svar: p = 15.

Eksempel 3.

Uden at beregne rødderne af ligningen 3x 2 + 8 x – 1 = 0, find x 1 4 + x 2 4

Løsning.

Bemærk, at ved Vietas sætning x 1 + x 2 = -8/3 og x 1 x 2 = -1/3 og transformer udtrykket

a) x 1 4 + x 2 4 = (x 1 2 + x 2 2) 2 – 2x 1 2 x 2 2 = ((x 1 + x 2) 2 – 2x 1 x 2) 2 – 2(x 1 x 2) 2 = ((-8/3) 2 – 2 · (-1/3)) 2 – 2 · (-1/3) 2 = 4898/9

Svar: 4898/9.

Eksempel 4.

Ved hvilke værdier af parameteren a er forskellen mellem de største og mindste rødder af ligningen
2x 2 – (a + 1)x + (a – 1) = 0 er lig med deres produkt.

Løsning.

Dette er en andengradsligning. Det vil have 2 forskellige rødder, hvis D > 0. Med andre ord, (a + 1) 2 – 8(a – 1) > 0 eller (a – 3) 2 > 0. Derfor har vi 2 rødder for alle a, for bortset fra a = 3.

For bestemthed vil vi antage, at x 1 > x 2 og få x 1 + x 2 = (a + 1)/2 og x 1 x 2 = (a – 1)/2. Baseret på problemets betingelser x 1 – x 2 = (a – 1)/2. Alle tre betingelser skal være opfyldt samtidigt. Lad os betragte den første og sidste ligning som et system. Det kan let løses ved algebraisk addition.

Vi får x 1 = a/2, x 2 = 1/2. Lad os se på hvad EN den anden lighed vil være opfyldt: x 1 · x 2 = (a – 1)/2. Lad os erstatte de opnåede værdier, og vi vil have: a/4 = (a – 1)/2. Så er a = 2. Det er indlysende, at hvis a = 2, så er alle betingelser opfyldt.

Svar: når a = 2.

Eksempel 5.

Hvad er den mindste værdi af a, hvor summen af ​​ligningens rødder
x 2 – 2a(x – 1) – 1 = 0 er lig med summen af ​​kvadraterne af dens rødder.

Løsning.

Lad os først og fremmest bringe ligningen til kanonisk form: x 2 – 2ax + 2a – 1 = 0. Den vil have rødder, hvis D/4 ≥ 0. Derfor: a 2 – (2a – 1) ≥ 0. Eller (a – 1 ) 2 ≥ 0. Og denne betingelse er gyldig for enhver a.

Lad os anvende Vietas sætning: x 1 + x 2 = 2a, x 1 x 2 = 2a – 1. Lad os beregne

x 1 2 + x 2 2 = (x 1 + x 2) 2 – 2x 1 x 2. Eller efter substitution x 1 2 + x 2 2 = (2a) 2 – 2 · (2a – 1) = 4a 2 – 4a + 2. Tilbage står at skabe en lighed, der svarer til problemets betingelser: x 1 + x 2 = x 1 2 + x 2 2 . Vi får: 2a = 4a 2 – 4a + 2. Denne andengradsligning har 2 rødder: a 1 = 1 og a 2 = 1/2. Den mindste af dem er –1/2.

Svar: 1/2.

Eksempel 6.

Find sammenhængen mellem koefficienterne for ligningen ax 2 + bx + c = 0, hvis summen af ​​terningerne af dens rødder er lig med produktet af kvadraterne af disse rødder.

Løsning.

Vi vil antage, at denne ligning har rødder, og derfor kan Vietas sætning anvendes på den.

Så vil problemets tilstand blive skrevet som følger: x 1 3 + x 2 3 = x 1 2 · x 2 2. Eller: (x 1 + x 2)(x 1 2 – x 1 x 2 + x 2 2) = (x 1 x 2) 2.

Den anden faktor skal konverteres. x 1 2 – x 1 x 2 + x 2 2 = ((x 1 + x 2) 2 – 2x 1 x 2) – x 1 x 2.

Vi får (x 1 + x 2)((x 1 + x 2) 2 – 3x 1 x 2) = (x 1 x 2) 2. Det er tilbage at erstatte summen og produkterne af rødderne gennem koefficienterne.

(-b/a)((b/a) 2 – 3 c/a) = (c/a) 2 . Dette udtryk kan nemt konverteres til formen b(3ac – b 2)/a = c 2. Forholdet er fundet.

Kommentar. Det skal tages i betragtning, at den resulterende relation giver mening kun at blive overvejet, når den anden er opfyldt: D ≥ 0.

Eksempel 7.

Find værdien af ​​variablen a, for hvilken summen af ​​kvadraterne af ligningens rødder x 2 + 2ax + 3a 2 – 6a – 2 = 0 er den største værdi.

Løsning.

Hvis denne ligning har rødder x 1 og x 2, så er deres sum x 1 + x 2 = -2a, og produktet x 1 x 2 = 3a 2 – 6a – 2.

Vi beregner x 1 2 + x 2 2 = (x 1 + x 2) 2 – 2x 1 x 2 = (-2a) 2 – 2(3a 2 – 6a – 2) = -2a 2 + 12a + 4 = -2 (a – 3) 2 + 22.

Nu er det indlysende, at dette udtryk tager højeste værdi ved a = 3.

Tilbage er at kontrollere, om den oprindelige andengradsligning faktisk har rødder ved a = 3. Vi tjekker ved substitution og får: x 2 + 6x + 7 = 0 og for den D = 36 – 28 > 0.

Derfor er svaret: for a = 3.

Eksempel 8.

Ligningen 2x 2 – 7x – 3 = 0 har rødder x 1 og x 2. Find den tredobbelte sum af koefficienterne for den givne andengradsligning, hvis rødder er tallene X 1 = 1/x 1 og X 2 = 1/x 2. (*)

Løsning.

Det er klart, x 1 + x 2 = 7/2 og x 1 x 2 = -3/2. Lad os sammensætte den anden ligning ud fra dens rødder i formen x 2 + px + q = 0. For at gøre dette bruger vi det modsatte af Vietas sætning. Vi får: p = -(X 1 + X 2) og q = X 1 · X 2.

Efter at have foretaget substitutionen i disse formler baseret på (*), så: p = -(x 1 + x 2)/(x 1 x 2) = 7/3 og q = 1/(x 1 x 2) = - 2 /3.

Den påkrævede ligning vil have formen: x 2 + 7/3 x – 2/3 = 0. Nu kan vi nemt beregne den tredobbelte sum af dens koefficienter:

3(1 + 7/3 – 2/3) = 8. Svaret modtages.

Har du stadig spørgsmål? Ikke sikker på, hvordan man bruger Vietas sætning?
For at få hjælp fra en vejleder -.
Den første lektion er gratis!

blog.site, ved kopiering af materiale helt eller delvist kræves et link til den originale kilde.

Enhver komplet andengradsligning ax 2 + bx + c = 0 kan bringes i tankerne x 2 + (b/a)x + (c/a) = 0, hvis du først dividerer hvert led med koefficienten a før x 2. Og hvis vi introducerer nye notationer (b/a) = s Og (c/a) = q, så vil vi have ligningen x 2 + px + q = 0, som i matematik hedder givet andengradsligning.

Rødder af den reducerede andengradsligning og koefficienter s Og q forbundet med hinanden. Det er bekræftet Vietas sætning, opkaldt efter den franske matematiker François Vieta, som boede i sent XVIårhundrede.

Sætning. Summen af ​​rødderne af den reducerede andengradsligning x 2 + px + q = 0 lig med den anden koefficient s, taget med modsat fortegn, og produktet af rødderne - til det frie udtryk q.

Lad os skrive disse relationer i følgende form:

Lade x 1 Og x 2 forskellige rødder af den givne ligning x 2 + px + q = 0. Ifølge Vietas sætning x 1 + x 2 = -p Og x 1 x 2 = q.

For at bevise dette, lad os erstatte hver af rødderne x 1 og x 2 i ligningen. Vi får to sande ligheder:

x 1 2 + px 1 + q = 0

x 2 2 + px 2 + q = 0

Lad os trække den anden fra den første lighed. Vi får:

x 1 2 – x 2 2 + p(x 1 – x 2) = 0

Vi udvider de to første led ved at bruge kvadratforskellens formel:

(x 1 – x 2)(x 1 – x 2) + p(x 1 – x 2) = 0

Efter betingelse er rødderne x 1 og x 2 forskellige. Derfor kan vi reducere ligheden til (x 1 – x 2) ≠ 0 og udtrykke p.

(x 1 + x 2) + p = 0;

(x 1 + x 2) = -p.

Den første ligestilling er blevet bevist.

For at bevise den anden ligning erstatter vi den første ligning

x 1 2 + px 1 + q = 0 i stedet for koefficienten p, et lige tal er (x 1 + x 2):

x 1 2 – (x 1 + x 2) x 1 + q = 0

Transformerer venstre side ligninger får vi:

x 1 2 – x 2 2 – x 1 x 2 + q = 0;

x 1 x 2 = q, hvilket er det, der skulle bevises.

Vietas sætning er god, fordi Selv uden at kende rødderne til en andengradsligning, kan vi beregne deres sum og produkt .

Vietas sætning hjælper med at bestemme heltalsrødderne af en given andengradsligning. Men for mange elever giver dette vanskeligheder på grund af det faktum, at de ikke kender en klar handlingsalgoritme, især hvis ligningens rødder har forskellige fortegn.

Så ovenstående andengradsligning har formen x 2 + px + q = 0, hvor x 1 og x 2 er dens rødder. Ifølge Vietas sætning er x 1 + x 2 = -p og x 1 x 2 = q.

Følgende konklusion kan drages.

Hvis der i ligningen er et minustegn før sidste led, så har rødderne x 1 og x 2 forskellige tegn. Derudover falder fortegnet for den mindre rod sammen med fortegnet for den anden koefficient i ligningen.

Baseret på det faktum, at når man tilføjer tal med forskellige fortegn, trækkes deres moduler fra, og det resulterende resultat foranstilles af tegnet for det større tal i absolut værdi, skal du fortsætte som følger:

1. bestemme faktorerne for tallet q, således at deres forskel er lig med tallet p;
2. sæt tegnet for den anden koefficient af ligningen foran det mindste af de resulterende tal; den anden rod vil have det modsatte fortegn.

Lad os se på nogle eksempler.

Eksempel 1.

Løs ligningen x 2 – 2x – 15 = 0.

Løsning.

Lad os prøve at løse denne ligning ved hjælp af reglerne foreslået ovenfor. Så kan vi med sikkerhed sige, at denne ligning vil have to forskellige rødder, fordi D = b 2 – 4ac = 4 – 4 · (-15) = 64 > 0.

Nu, fra alle faktorerne for tallet 15 (1 og 15, 3 og 5), vælger vi dem, hvis forskel er 2. Det vil være tallene 3 og 5. Vi sætter et minustegn foran det mindre tal, dvs. fortegn på ligningens anden koefficient. Således får vi rødderne af ligningen x 1 = -3 og x 2 = 5.

Svar. x 1 = -3 og x 2 = 5.

Eksempel 2.

Løs ligningen x 2 + 5x – 6 = 0.

Løsning.

Lad os tjekke, om denne ligning har rødder. For at gøre dette finder vi en diskriminant:

D = b 2 – 4ac = 25 + 24 = 49 > 0. Ligningen har to forskellige rødder.

Mulige faktorer for tallet 6 er 2 og 3, 6 og 1. Forskellen er 5 for parret 6 og 1. I dette eksempel har koefficienten for det andet led et plustegn, så det mindre tal vil have samme fortegn . Men før det andet tal vil der være et minustegn.

Svar: x 1 = -6 og x 2 = 1.

Vietas sætning kan også skrives til en komplet andengradsligning. Så hvis andengradsligningen ax 2 + bx + c = 0 har rødder x 1 og x 2, så holder lighederne for dem

x 1 + x 2 = -(b/a) Og x 1 x 2 = (c/a). Imidlertid er anvendelsen af ​​denne sætning i en komplet andengradsligning ret problematisk, fordi hvis der er rødder, er mindst én af dem et brøktal. Og det er ret svært at arbejde med at udvælge brøker. Men der er stadig en vej ud.

Betragt den komplette andengradsligning ax 2 + bx + c = 0. Multiplicer dens venstre og højre side med koefficienten a. Ligningen vil have formen (ax) 2 + b(ax) + ac = 0. Lad os nu introducere en ny variabel, for eksempel t = ax.

I dette tilfælde vil den resulterende ligning blive til en reduceret andengradsligning af formen t 2 + bt + ac = 0, hvis rødder t 1 og t 2 (hvis nogen) kan bestemmes af Vietas sætning.

I dette tilfælde vil rødderne af den oprindelige andengradsligning være

x 1 = (t 1 / a) og x 2 = ( t 2 / a).

Eksempel 3.

Løs ligningen 15x 2 – 11x + 2 = 0.

Løsning.

Lad os lave en hjælpeligning. Lad os gange hvert led i ligningen med 15:

15 2 x 2 – 11 15x + 15 2 = 0.

Vi laver udskiftningen t = 15x. Vi har:

t 2 – 11t + 30 = 0.

Ifølge Vietas sætning vil rødderne til denne ligning være t 1 = 5 og t 2 = 6.

Vi vender tilbage til erstatningen t = 15x:

5 = 15x eller 6 = 15x. Så x 1 = 5/15 og x 2 = 6/15. Vi reducerer og får det endelige svar: x 1 = 1/3 og x 2 = 2/5.

Svar. x 1 = 1/3 og x 2 = 2/5.

For at mestre løsning af andengradsligninger ved hjælp af Vietas sætning skal eleverne øve sig så meget som muligt. Dette er netop hemmeligheden bag succes.

hjemmeside, ved kopiering af materiale helt eller delvist kræves et link til kilden.

Første niveau

Kvadratiske ligninger. Omfattende guide (2019)

I udtrykket "andengradsligning" er nøgleordet "kvadrat". Det betyder, at ligningen nødvendigvis skal indeholde en variabel (det samme x) i anden potens, og der bør ikke være x'er til den tredje (eller større) potens.

Løsningen af ​​mange ligninger kommer ned til at løse andengradsligninger.

Lad os lære at bestemme, at dette er en andengradsligning og ikke en anden ligning.

Eksempel 1.

Lad os slippe af med nævneren og gange hvert led i ligningen med

Lad os flytte alt til venstre side og arrangere termerne i faldende rækkefølge af potenser af X

Nu kan vi med tillid sige, at denne ligning er kvadratisk!

Eksempel 2.

Multiplicer venstre og højre side med:

Denne ligning, selvom den oprindeligt var i den, er ikke kvadratisk!

Eksempel 3.

Lad os gange alt med:

Skræmmende? Den fjerde og anden grad... Men hvis vi laver en erstatning, vil vi se, at vi har en simpel andengradsligning:

Eksempel 4.

Det ser ud til at være der, men lad os se nærmere. Lad os flytte alt til venstre side:

Se, det er reduceret - og nu er det en simpel lineær ligning!

Prøv nu selv at bestemme, hvilke af følgende ligninger der er kvadratiske, og hvilke der ikke er:

Eksempler:

Svar:

1. firkant;
2. firkant;
3. ikke firkantet;
4. ikke firkantet;
5. ikke firkantet;
6. firkant;
7. ikke firkantet;
8. firkant.

Matematikere opdeler konventionelt alle andengradsligninger i følgende typer:

• Fuldfør andengradsligninger- ligninger, hvor koefficienterne og, samt det frie led c, ikke er lig med nul (som i eksemplet). Derudover er der blandt komplette andengradsligninger givet- dette er ligninger, hvor koefficienten (ligningen fra eksempel 1 er ikke kun komplet, men også reduceret!)

• Ufuldstændige andengradsligninger- ligninger, hvor koefficienten og eller det frie led c er lig med nul:

  De er ufuldstændige, fordi de mangler et eller andet element. Men ligningen skal altid indeholde X i kvadrat!!! Ellers vil det ikke længere være en andengradsligning, men en anden ligning.

Hvorfor fandt de på sådan en opdeling? Det ser ud til, at der er et X i kvadrat, og okay. Denne opdeling bestemmes af løsningsmetoderne. Lad os se på hver af dem mere detaljeret.

Løsning af ufuldstændige andengradsligninger

Lad os først fokusere på at løse ufuldstændige andengradsligninger - de er meget enklere!

Der er typer af ufuldstændige andengradsligninger:

1. , i denne ligning er koefficienten lig.
2. , i denne ligning er frileddet lig med.
3. , i denne ligning er koefficienten og det frie led ens.

1. i. Fordi vi ved, hvordan man udvinder Kvadrat rod, så lad os udtrykke fra denne ligning

Udtrykket kan enten være negativt eller positivt. Et kvadreret tal kan ikke være negativt, for når man multiplicerer to negative eller to positive tal, vil resultatet altid være et positivt tal, så: hvis, så har ligningen ingen løsninger.

Og hvis, så får vi to rødder. Der er ingen grund til at huske disse formler. Det vigtigste er, at du skal vide og altid huske, at det ikke kan være mindre.

Lad os prøve at løse nogle eksempler.

Eksempel 5:

Løs ligningen

Nu er der kun tilbage at udtrække roden fra venstre og højre side. Når alt kommer til alt, kan du huske, hvordan man udvinder rødder?

Svar:

Glem aldrig rødder med et negativt fortegn!!!

Eksempel 6:

Løs ligningen

Svar:

Eksempel 7:

Løs ligningen

Åh! Kvadratet af et tal kan ikke være negativt, hvilket betyder, at ligningen

ingen rødder!

For sådanne ligninger, der ikke har nogen rødder, kom matematikere med et særligt ikon - (tomt sæt). Og svaret kan skrives sådan:

Svar:

Således har denne andengradsligning to rødder. Der er ingen begrænsninger her, da vi ikke har udtrukket roden.
Eksempel 8:

Løs ligningen

Lad os tage den fælles faktor ud af parentes:

Dermed,

Denne ligning har to rødder.

Svar:

Den enkleste type ufuldstændige andengradsligninger (selvom de alle er simple, ikke?). Det er klart, at denne ligning altid kun har én rod:

Vi vil undvære eksempler her.

Løsning af komplette andengradsligninger

Vi minder dig om, at en komplet andengradsligning er en ligning af formen ligning, hvor

At løse komplette andengradsligninger er lidt sværere (bare lidt) end disse.

Husk, Enhver andengradsligning kan løses ved hjælp af en diskriminant! Selv ufuldstændig.

De andre metoder vil hjælpe dig med at gøre det hurtigere, men hvis du har problemer med andengradsligninger, skal du først mestre løsningen ved hjælp af diskriminanten.

1. Løsning af andengradsligninger ved hjælp af en diskriminant.

At løse andengradsligninger ved hjælp af denne metode er meget simpelt, det vigtigste er at huske rækkefølgen af ​​handlinger og et par formler.

Hvis, så har ligningen en rod. Særlig opmærksomhed tage et skridt. Diskriminant () fortæller os antallet af rødder af ligningen.

• Hvis, så vil formlen i trinnet blive reduceret til. Således vil ligningen kun have en rod.
• Hvis, så vil vi ikke være i stand til at udvinde roden af ​​diskriminanten på trinnet. Dette indikerer, at ligningen ikke har nogen rødder.

Lad os gå tilbage til vores ligninger og se på nogle eksempler.

Eksempel 9:

Løs ligningen

Trin 1 vi springer over.

Trin 2.

Vi finder diskriminanten:

Det betyder, at ligningen har to rødder.

Trin 3.

Svar:

Eksempel 10:

Løs ligningen

Ligningen er præsenteret i standardform, så Trin 1 vi springer over.

Trin 2.

Vi finder diskriminanten:

Det betyder, at ligningen har én rod.

Svar:

Eksempel 11:

Løs ligningen

Ligningen er præsenteret i standardform, så Trin 1 vi springer over.

Trin 2.

Vi finder diskriminanten:

Det betyder, at vi ikke vil være i stand til at udvinde roden til diskriminanten. Der er ingen rødder til ligningen.

Nu ved vi, hvordan man korrekt skriver sådanne svar ned.

Svar: ingen rødder

2. Løsning af andengradsligninger ved hjælp af Vietas sætning.

Hvis du husker, er der en form for ligning, der kaldes reduceret (når koefficienten a er lig med):

Sådanne ligninger er meget nemme at løse ved hjælp af Vietas sætning:

Summen af ​​rødder givet andengradsligningen er lig, og produktet af rødderne er lig.

Eksempel 12:

Løs ligningen

Denne ligning kan løses ved hjælp af Vietas sætning pga .

Summen af ​​ligningens rødder er lig, dvs. vi får den første ligning:

Og produktet er lig med:

Lad os sammensætte og løse systemet:

• Og. Beløbet er lig med;
• Og. Beløbet er lig med;
• Og. Beløbet er lige meget.

og er løsningen på systemet:

Svar: ; .

Eksempel 13:

Løs ligningen

Svar:

Eksempel 14:

Løs ligningen

Ligningen er givet, hvilket betyder:

Svar:

KVADRATISKE LIGNINGER. GENNEMSNIVEAU

Hvad er en andengradsligning?

Med andre ord er en andengradsligning en ligning af formen, hvor - det ukendte, - nogle tal, og.

Nummeret kaldes det højeste eller første koefficient andengradsligning, - anden koefficient, A - gratis medlem.

Hvorfor? For hvis ligningen straks bliver lineær, fordi vil forsvinde.

I dette tilfælde kan og være lig med nul. I denne stol kaldes ligningen ufuldstændig. Hvis alle vilkårene er på plads, det vil sige, at ligningen er komplet.

Løsninger til forskellige typer andengradsligninger

Metoder til løsning af ufuldstændige andengradsligninger:

Lad os først se på metoder til løsning af ufuldstændige andengradsligninger - de er enklere.

Vi kan skelne mellem følgende ligningstyper:

I., i denne ligning er koefficienten og det frie led ens.

II. , i denne ligning er koefficienten lig.

III. , i denne ligning er frileddet lig med.

Lad os nu se på løsningen til hver af disse undertyper.

Det er klart, at denne ligning altid kun har én rod:

Et kvadreret tal kan ikke være negativt, for når man ganger to negative eller to positive tal, vil resultatet altid være et positivt tal. Derfor:

hvis, så har ligningen ingen løsninger;

hvis vi har to rødder

Der er ingen grund til at huske disse formler. Det vigtigste at huske er, at det ikke kan være mindre.

Eksempler:

Løsninger:

Svar:

Glem aldrig rødder med et negativt fortegn!

Kvadratet af et tal kan ikke være negativt, hvilket betyder, at ligningen

ingen rødder.

For kort at skrive ned, at et problem ikke har nogen løsninger, bruger vi det tomme sæt-ikon.

Svar:

Så denne ligning har to rødder: og.

Svar:

Lad os tage den fælles faktor ud af parentes:

Produktet er lig nul, hvis mindst en af ​​faktorerne er lig nul. Det betyder, at ligningen har en løsning, når:

Så denne andengradsligning har to rødder: og.

Eksempel:

Løs ligningen.

Løsning:

Lad os faktorisere venstre side af ligningen og finde rødderne:

Svar:

Metoder til løsning af komplette andengradsligninger:

1. Diskriminerende

At løse andengradsligninger på denne måde er let, det vigtigste er at huske rækkefølgen af ​​handlinger og et par formler. Husk, at enhver andengradsligning kan løses ved hjælp af en diskriminant! Selv ufuldstændig.

Lagde du mærke til roden fra diskriminanten i formlen for rødder? Men diskriminanten kan være negativ. Hvad skal man gøre? Vi skal være særligt opmærksomme på trin 2. Diskriminanten fortæller os antallet af rødder i ligningen.

• Hvis, så har ligningen rødder:
• Hvis ligningen har de samme rødder, og faktisk én rod:

  Sådanne rødder kaldes dobbeltrødder.

• Hvis, så er roden til diskriminanten ikke udvundet. Dette indikerer, at ligningen ikke har nogen rødder.

Hvorfor er forskellige antal rødder mulige? Lad os vende os til den geometriske betydning af andengradsligningen. Grafen for funktionen er en parabel:

I et særligt tilfælde, som er en andengradsligning, . Det betyder, at rødderne af en andengradsligning er skæringspunkterne med abscisseaksen (aksen). En parabel kan slet ikke skære aksen eller skære den ved et (når parablens toppunkt ligger på aksen) eller to punkter.

Derudover er koefficienten ansvarlig for retningen af ​​parablens grene. Hvis, så er grenene af parablen rettet opad, og hvis, så nedad.

Eksempler:

Løsninger:

Svar:

Svar: .

Svar:

Det betyder, at der ikke er nogen løsninger.

Svar: .

2. Vietas sætning

Det er meget nemt at bruge Vietas sætning: du skal blot vælge et talpar, hvis produkt er lig med ligningens frie led, og summen er lig med den anden koefficient taget med det modsatte fortegn.

Det er vigtigt at huske, at Vietas sætning kun kan anvendes i reducerede andengradsligninger ().

Lad os se på et par eksempler:

Eksempel #1:

Løs ligningen.

Løsning:

Denne ligning kan løses ved hjælp af Vietas sætning pga . Andre koefficienter: ; .

Summen af ​​ligningens rødder er:

Og produktet er lig med:

Lad os vælge par af tal, hvis produkt er ens og kontrollere, om deres sum er lig:

• Og. Beløbet er lig med;
• Og. Beløbet er lig med;
• Og. Beløbet er lige meget.

og er løsningen på systemet:

Således og er rødderne til vores ligning.

Svar: ; .

Eksempel #2:

Løsning:

Lad os vælge talpar, der giver i produktet, og derefter kontrollere, om deres sum er lig:

og: de giver i alt.

og: de giver i alt. For at opnå det er det nok blot at ændre tegnene på de formodede rødder: og trods alt produktet.

Svar:

Eksempel #3:

Løsning:

Det frie led i ligningen er negativ, og derfor er produktet af rødderne et negativt tal. Dette er kun muligt, hvis en af ​​rødderne er negativ, og den anden er positiv. Derfor er summen af ​​rødderne lig med forskelle i deres moduler.

Lad os vælge sådanne par tal, der giver i produktet, og hvis forskel er lig med:

og: deres forskel er lige - passer ikke;

og: - ikke egnet;

og: - ikke egnet;

og: - passende. Tilbage er blot at huske, at en af ​​rødderne er negativ. Da deres sum skal være lig, skal roden med det mindre modul være negativ: . Vi tjekker:

Svar:

Eksempel #4:

Løs ligningen.

Løsning:

Ligningen er givet, hvilket betyder:

Det frie led er negativt, og derfor er produktet af rødderne negativt. Og dette er kun muligt, når den ene rod af ligningen er negativ, og den anden er positiv.

Lad os vælge talpar, hvis produkt er ens, og derefter bestemme, hvilke rødder der skal have et negativt fortegn:

Det er klart, kun rødderne og er egnede til den første betingelse:

Svar:

Eksempel #5:

Løs ligningen.

Løsning:

Ligningen er givet, hvilket betyder:

Summen af ​​rødderne er negativ, hvilket betyder, at mindst én af rødderne er negativ. Men da deres produkt er positivt, betyder det, at begge rødder har et minustegn.

Lad os vælge talpar, hvis produkt er lig med:

Det er klart, at rødderne er tallene og.

Svar:

Enig, det er meget praktisk at komme med rødder mundtligt i stedet for at tælle denne grimme diskriminant. Prøv at bruge Vietas sætning så ofte som muligt.

Men Vietas teorem er nødvendig for at lette og fremskynde at finde rødderne. For at du kan få gavn af at bruge det, skal du bringe handlingerne til automatik. Og for dette, løs fem flere eksempler. Men snyd ikke: du kan ikke bruge en diskriminant! Kun Vietas sætning:

Løsninger på opgaver til selvstændigt arbejde:

Opgave 1. ((x)^(2))-8x+12=0

Ifølge Vietas sætning:

Som sædvanlig starter vi udvælgelsen med stykket:

Ikke egnet, fordi mængden;

: mængden er lige hvad du har brug for.

Svar: ; .

Opgave 2.

Og igen vores foretrukne Vieta-sætning: summen skal være lig, og produktet skal være lig.

Men da det ikke skal være, men, ændrer vi røddernes tegn: og (i alt).

Svar: ; .

Opgave 3.

Hmm... Hvor er det?

Du skal flytte alle termerne til én del:

Summen af ​​rødderne er lig med produktet.

Okay, stop! Ligningen er ikke givet. Men Vietas sætning er kun anvendelig i de givne ligninger. Så først skal du give en ligning. Hvis du ikke kan lede, så opgiv denne idé og løs den på en anden måde (for eksempel gennem en diskriminant). Lad mig minde dig om, at at give en andengradsligning betyder at gøre den førende koefficient lig:

Store. Så er summen af ​​rødderne lig med og produktet.

Her er det lige så nemt som at beskyde pærer at vælge: Det er trods alt et primtal (undskyld tautologien).

Svar: ; .

Opgave 4.

Det gratis medlem er negativt. Hvad er specielt ved dette? Og faktum er, at rødderne vil have forskellige tegn. Og nu, under udvælgelsen, kontrollerer vi ikke summen af ​​rødderne, men forskellen i deres moduler: denne forskel er lig, men et produkt.

Så rødderne er lig med og, men en af ​​dem er minus. Vietas sætning fortæller os, at summen af ​​rødderne er lig med den anden koefficient med modsat fortegn, dvs. Det betyder, at den mindre rod vil have et minus: og, siden.

Svar: ; .

Opgave 5.

Hvad skal du gøre først? Det er rigtigt, giv ligningen:

Igen: vi vælger faktorerne for tallet, og deres forskel skal være lig med:

Rødderne er lig med og, men en af ​​dem er minus. Hvilken? Deres sum skal være lig, hvilket betyder, at minus vil have en større rod.

Svar: ; .

Lad mig opsummere:

1. Vietas sætning bruges kun i de angivne andengradsligninger.
2. Ved hjælp af Vietas sætning kan du finde rødderne ved udvælgelse, mundtligt.
3. Hvis ligningen ikke er givet, eller der ikke findes et passende par af faktorer i det frie led, så er der ingen hele rødder, og du skal løse det på en anden måde (for eksempel gennem en diskriminant).

3. Metode til at vælge en komplet firkant

Hvis alle led, der indeholder det ukendte, er repræsenteret i form af led fra forkortede multiplikationsformler - kvadratet på summen eller forskellen - så kan ligningen efter at have erstattet variablerne præsenteres i form af en ufuldstændig andengradsligning af typen.

For eksempel:

Eksempel 1:

Løs ligningen:.

Løsning:

Svar:

Eksempel 2:

Løs ligningen:.

Løsning:

Svar:

I generel opfattelse transformationen vil se sådan ud:

Dette indebærer:.

Minder du dig ikke om noget? Dette er en diskriminerende ting! Det er præcis sådan, vi fik diskriminantformlen.

KVADRATISKE LIGNINGER. KORT OM DE VIGTIGSTE TING

Kvadratisk ligning er en ligning af formen, hvor er det ukendte, er andengradsligningens koefficienter og er det frie led.

Komplet andengradsligning- en ligning, hvor koefficienterne ikke er lig med nul.

Reduceret andengradsligning- en ligning, hvor koefficienten, dvs.: .

Ufuldstændig andengradsligning- en ligning, hvor koefficienten og eller det frie led c er lig med nul:

• hvis koefficienten ser ligningen sådan ud: ,
• hvis der er et frit led, har ligningen formen: ,
• hvis og, ser ligningen sådan ud: .

1. Algoritme til løsning af ufuldstændige andengradsligninger

1.1. En ufuldstændig andengradsligning af formen, hvor:

1) Lad os udtrykke det ukendte: ,

2) Tjek udtrykkets tegn:

• hvis, så har ligningen ingen løsninger,
• hvis, så har ligningen to rødder.

1.2. En ufuldstændig andengradsligning af formen, hvor:

1) Lad os tage den fælles faktor ud af parentes: ,

2) Produktet er lig nul, hvis mindst en af ​​faktorerne er lig nul. Derfor har ligningen to rødder:

1.3. Ufuldstændig andengradsligning af formen, hvor:

Denne ligning har altid kun én rod: .

2. Algoritme til løsning af komplette andengradsligninger på formen hvor

2.1. Løsning ved hjælp af diskriminant

1) Lad os reducere ligningen til standard visning: ,

2) Lad os beregne diskriminanten ved hjælp af formlen: , som angiver antallet af rødder i ligningen:

3) Find rødderne til ligningen:

• hvis, så har ligningen rødder, som findes ved formlen:
• hvis, så har ligningen en rod, som findes ved formlen:
• hvis, så har ligningen ingen rødder.

2.2. Løsning ved hjælp af Vietas sætning

Summen af ​​rødderne af den reducerede andengradsligning (formens ligning hvor) er lig, og produktet af rødderne er lig, dvs. , A.

2.3. Løsning ved at vælge en komplet firkant

I. Vietas sætning for den reducerede andengradsligning.

Summen af ​​rødderne af den reducerede andengradsligning x 2 +px+q=0 er lig med den anden koefficient taget med det modsatte fortegn, og produktet af rødderne er lig med det frie led:

xl + x2 = -p; x 1 ∙ x 2 =q.

Find rødderne til den givne andengradsligning ved hjælp af Vietas sætning.

Eksempel 1) x 2 -x-30=0. Dette er den reducerede andengradsligning ( x 2 +px+q=0), anden koefficient p=-1, og det gratis medlem q=-30. Lad os først sikre os, at denne ligning har rødder, og at rødderne (hvis nogen) vil blive udtrykt i heltal. For at gøre dette er det nok, at diskriminanten er et perfekt kvadrat af et heltal.

At finde diskriminanten D=b 2 — 4ac=(-1) 2 -4∙1∙(-30)=1+120=121= 11 2 .

Nu skal summen af ​​rødderne ifølge Vietas sætning være lig med den anden koefficient taget med det modsatte fortegn, dvs. ( -s), og produktet er lig med fritiden, dvs. ( q). Derefter:

x 1 + x 2 = 1; x 1 ∙ x 2 =-30. Vi skal vælge to tal, så deres produkt er lig med -30 , og beløbet er enhed. Det er tal -5 Og 6 . Svar: -5; 6.

Eksempel 2) x 2 +6x+8=0. Vi har den reducerede andengradsligning med den anden koefficient p=6 og gratis medlem q=8. Lad os sikre os, at der er heltalsrødder. Lad os finde diskriminanten D 1 D 1=3 2 -1∙8=9-8=1=1 2 . Diskriminanten D 1 er det perfekte kvadrat af tallet 1 , hvilket betyder, at rødderne til denne ligning er heltal. Lad os vælge rødderne ved hjælp af Vietas sætning: summen af ​​rødderne er lig med –р=-6, og produktet af rødderne er lig med q=8. Det er tal -4 Og -2 .

Faktisk: -4-2=-6=-р; -4∙(-2)=8=q. Svar: -4; -2.

Eksempel 3) x 2 +2x-4=0. I denne reducerede andengradsligning er den anden koefficient p=2, og det gratis medlem q=-4. Lad os finde diskriminanten D 1, da den anden koefficient er et lige tal. D 1=1 2 -1∙(-4)=1+4=5. Diskriminanten er ikke et perfekt kvadrat af tallet, så det gør vi konklusion: Rødderne til denne ligning er ikke heltal og kan ikke findes ved hjælp af Vietas sætning. Det betyder, at vi løser denne ligning som sædvanligt ved hjælp af formlerne (i I dette tilfælde ifølge formler). Vi får:

Eksempel 4). Skriv en andengradsligning ved hjælp af dens rødder if x 1 = -7, x 2 = 4.

Løsning. Den påkrævede ligning vil blive skrevet i formen: x 2 +px+q=0, og baseret på Vietas sætning –p=x 1 + x 2=-7+4=-3 → p=3; q=x 1 ∙x 2=-7∙4=-28 . Så vil ligningen antage formen: x 2 +3x-28=0.

Eksempel 5). Skriv en andengradsligning ved hjælp af dens rødder, hvis:

II. Vietas sætning for en komplet andengradsligning ax 2 +bx+c=0.

Summen af ​​rødderne er minus b, divideret med EN, produktet af rødderne er lig med Med, divideret med EN:

xl + x2 = -b/a; x 1 ∙ x 2 =c/a.