Skriv en ligning for tangenten til grafen for f. Ligning for en tangent til grafen for en funktion. The Comprehensive Guide (2019)

Instruktioner

Vi bestemmer vinkelkoefficienten for tangenten til kurven i punktet M.
Kurven, der repræsenterer grafen for funktionen y = f(x) er kontinuert i et bestemt område af punktet M (inklusive selve punktet M).

Hvis værdien f'(x0) ikke eksisterer, er der enten ingen tangent, eller også løber den lodret. I lyset af dette skyldes tilstedeværelsen af en afledet af funktionen i punktet x0 eksistensen af en ikke-lodret tangent til funktionens graf i punktet (x0, f(x0)). I dette tilfælde vil tangentens vinkelkoefficient være lig med f "(x0). Således bliver den geometriske betydning af den afledte klar - beregningen af tangentens vinkelkoefficient.

Find abscisseværdien af tangentpunktet, som er angivet med bogstavet "a". Hvis det falder sammen med et givet tangentpunkt, så vil "a" være dets x-koordinat. Bestem værdien funktioner f(a) ved at substituere i ligningen funktioner abscisse værdi.

Bestem den første afledede af ligningen funktioner f'(x) og indsæt værdien af punkt "a" i det.

Tag den generelle tangentligning, som er defineret som y = f(a) = f (a)(x – a), og indsæt de fundne værdier af a, f(a), f "(a) i den. Som et resultat vil løsningen til grafen blive fundet og tangere.

Løs opgaven på en anden måde, hvis det givne tangentpunkt ikke falder sammen med tangentpunktet. I dette tilfælde er det nødvendigt at erstatte "a" i stedet for tal i tangentligningen. Efter dette, i stedet for bogstaverne "x" og "y", erstatter værdien af koordinaterne for det givne punkt. Løs den resulterende ligning, hvor "a" er det ukendte. Sæt den resulterende værdi ind i tangentligningen.

Skriv en ligning for en tangent med bogstavet "a", hvis problemformuleringen specificerer ligningen funktioner og ligningen af en parallel linje i forhold til den ønskede tangent. Efter dette har vi brug for den afledte funktioner, til koordinaten i punkt "a". Indsæt den passende værdi i tangentligningen og løs funktionen.

Lad en funktion f være givet, som på et tidspunkt x 0 har en endelig afledt f (x 0). Så kaldes den rette linje, der går gennem punktet (x 0 ; f (x 0)), med en vinkelkoefficient f ’(x 0), en tangent.

Hvad sker der, hvis den afledede ikke eksisterer i punktet x 0? Der er to muligheder:

Der er heller ingen tangent til grafen. Et klassisk eksempel er funktionen y = |x | ved punkt (0; 0).
Tangenten bliver lodret. Dette gælder for eksempel for funktionen y = arcsin x i punktet (1; π /2).

Tangentligning

Enhver ikke-lodret ret linje er givet ved en ligning på formen y = kx + b, hvor k er hældningen. Tangenten er ingen undtagelse, og for at sammensætte dens ligning på et tidspunkt x 0, er det nok at kende værdien af funktionen og den afledede på dette tidspunkt.

Så lad en funktion y = f (x) være givet, som har en afledt y = f ’(x) på segmentet. Derefter kan der ved ethvert punkt x 0 ∈ (a ; b) trækkes en tangent til grafen for denne funktion, som er givet af ligningen:

y = f ’(x 0) (x − x 0) + f (x 0)

Her er f ’(x 0) værdien af den afledede i punktet x 0, og f (x 0) er værdien af selve funktionen.

Opgave. Givet funktionen y = x 3 . Skriv en ligning for tangenten til grafen for denne funktion i punktet x 0 = 2.

Tangentligning: y = f ’(x 0) · (x − x 0) + f (x 0). Punktet x 0 = 2 er givet til os, men værdierne f (x 0) og f '(x 0) skal beregnes.

Lad os først finde værdien af funktionen. Alt er nemt her: f (x 0) = f (2) = 2 3 = 8;
Lad os nu finde den afledede: f '(x) = (x 3)' = 3x 2;
Vi erstatter x 0 = 2 i den afledede: f ’(x 0) = f ’(2) = 3 2 2 = 12;
I alt får vi: y = 12 · (x − 2) + 8 = 12x − 24 + 8 = 12x − 16.
Dette er tangentligningen.

Opgave. Skriv en ligning for tangenten til grafen for funktionen f (x) = 2sin x + 5 i punktet x 0 = π /2.

Denne gang vil vi ikke beskrive hver handling i detaljer - vi vil kun angive de vigtigste trin. Vi har:

f (x 0) = f (π/2) = 2sin (π/2) + 5 = 2 + 5 = 7;
f '(x) = (2sin x + 5)' = 2cos x;
f ’(x 0) = f ’(π /2) = 2cos (π /2) = 0;

Tangentligning:

y = 0 · (x − π /2) + 7 ⇒ y = 7

I sidstnævnte tilfælde viste den lige linje sig at være vandret, fordi dens vinkelkoefficient k = 0. Der er ikke noget galt med dette - vi faldt lige over et ekstremum.

Det er vigtigt for os at bevare dit privatliv. Af denne grund har vi udviklet en privatlivspolitik, der beskriver, hvordan vi bruger og opbevarer dine oplysninger. Gennemgå venligst vores privatlivspraksis og fortæl os, hvis du har spørgsmål.

Indsamling og brug af personlige oplysninger

Personoplysninger refererer til data, der kan bruges til at identificere eller kontakte en bestemt person.

Du kan blive bedt om at give dine personlige oplysninger til enhver tid, når du kontakter os.

Nedenfor er nogle eksempler på de typer af personlige oplysninger, vi kan indsamle, og hvordan vi kan bruge sådanne oplysninger.

Hvilke personlige oplysninger indsamler vi:

Når du indsender en ansøgning på siden, kan vi indsamle forskellige oplysninger, herunder dit navn, telefonnummer, adresse E-mail etc.

Sådan bruger vi dine personlige oplysninger:

De personlige oplysninger, vi indsamler, giver os mulighed for at kontakte dig og informere dig om unikke tilbud, kampagner og andre begivenheder og kommende begivenheder.
Fra tid til anden kan vi bruge dine personlige oplysninger til at sende vigtige meddelelser og kommunikationer.
Vi kan også bruge personlige oplysninger til interne formål, såsom at udføre revisioner, dataanalyse og forskellige undersøgelser for at forbedre de tjenester, vi leverer, og give dig anbefalinger vedrørende vores tjenester.
Hvis du deltager i en præmielodtrækning, konkurrence eller lignende kampagne, kan vi bruge de oplysninger, du giver, til at administrere sådanne programmer.

Videregivelse af oplysninger til tredjemand

Vi videregiver ikke oplysningerne modtaget fra dig til tredjeparter.

Undtagelser:

Om nødvendigt - i overensstemmelse med loven, retsproceduren, retssager og/eller baseret på offentlige anmodninger eller anmodninger fra regerings kontorer på Den Russiske Føderations område - videregive dine personlige oplysninger. Vi kan også videregive oplysninger om dig, hvis vi fastslår, at en sådan videregivelse er nødvendig eller passende af hensyn til sikkerhed, retshåndhævelse eller andre offentlige formål.
I tilfælde af en omorganisering, fusion eller salg kan vi overføre de personlige oplysninger, vi indsamler, til den relevante efterfølgende tredjepart.

Beskyttelse af personlige oplysninger

Vi tager forholdsregler - herunder administrative, tekniske og fysiske - for at beskytte dine personlige oplysninger mod tab, tyveri og misbrug, samt uautoriseret adgang, offentliggørelse, ændring og ødelæggelse.

Respekter dit privatliv på virksomhedsniveau

For at sikre, at dine personlige oplysninger er sikre, kommunikerer vi privatlivs- og sikkerhedsstandarder til vores medarbejdere og håndhæver strengt privatlivspraksis.

I denne artikel vil vi analysere alle typer problemer for at finde

Lad os huske geometrisk betydning af afledt: hvis en tangent tegnes til grafen for en funktion i et punkt, så er hældningskoefficienten for tangenten (lig med tangenten af vinklen mellem tangenten og den positive retning af aksen) lig med den afledede af funktionen på punktet.

Lad os tage et vilkårligt punkt på tangenten med koordinater:

Og overvej en retvinklet trekant:

I denne trekant

Herfra

Dette er ligningen for tangenten tegnet til grafen for funktionen i punktet.

For at skrive tangentligningen behøver vi kun at kende funktionens ligning og det punkt, hvor tangenten er tegnet. Så kan vi finde og .

Der er tre hovedtyper af tangentligningsproblemer.

1. Givet et kontaktpunkt

2. Tangenthældningskoefficienten er givet, det vil sige værdien af den afledede af funktionen i punktet.

3. Givet er koordinaterne for det punkt, som tangenten trækkes igennem, men som ikke er tangenspunktet.

Lad os se på hver type opgave.

1 . Skriv ligningen for tangenten til grafen for funktionen på punktet .

b) Find værdien af den afledte i punkt . Lad os først finde den afledede af funktionen

Lad os erstatte de fundne værdier i tangentligningen:

Lad os åbne parenteserne i højre side af ligningen. Vi får:

Svar: .

2. Find abscissen af de punkter, hvor funktionerne tangerer grafen parallelt med x-aksen.

Hvis tangenten er parallel med x-aksen, derfor er vinklen mellem tangenten og den positive retning af aksen nul, derfor er tangenten til tangentvinklen nul. Det betyder, at værdien af den afledede af funktionen ved kontaktpunkterne er nul.

a) Find den afledede af funktionen .

b) Lad os sidestille den afledede til nul og finde de værdier, hvor tangenten er parallel med aksen:

Ved at sidestille hver faktor med nul får vi:

Svar: 0;3;5

3. Skriv ligninger for tangenter til grafen for en funktion , parallel lige .

En tangent er parallel med en linje. Hældningen af denne linje er -1. Da tangenten er parallel med denne linje, er hældningen af tangenten derfor også -1. Det er vi kender tangentens hældning, og derved, afledt værdi ved tangenspunktet.

Dette er den anden type problem for at finde tangentligningen.

Så vi får givet funktionen og værdien af den afledte på tangenspunktet.

a) Find de punkter, hvor den afledede af funktionen er lig med -1.

Lad os først finde den afledede ligning.

Lad os sidestille den afledede med tallet -1.

Lad os finde værdien af funktionen ved punktet.

(efter tilstand)

b) Find ligningen for tangenten til grafen for funktionen i punktet .

Lad os finde værdien af funktionen ved punktet.

(efter betingelse).

Lad os erstatte disse værdier i tangentligningen:

Svar:

4 . Skriv ligningen for tangenten til kurven , passerer gennem et punkt

Lad os først kontrollere, om punktet er et tangentpunkt. Hvis et punkt er et tangentpunkt, så hører det til funktionens graf, og dets koordinater skal opfylde funktionens ligning. Lad os erstatte punktets koordinater i funktionens ligning.

Title="1sqrt(8-3^2)">. Мы получили под корнем !} et negativt tal, ligheden er ikke sand, og punktet hører ikke til grafen for funktionen og er ikke et kontaktpunkt.

Dette er den sidste type opgave til at finde tangentligningen. Første ting vi skal finde abscissen af tangentpunktet.

Lad os finde værdien.

Lad være kontaktpunktet. Punktet hører til tangenten til funktionens graf. Hvis vi erstatter koordinaterne for dette punkt i tangentligningen, får vi den korrekte lighed:

Værdien af funktionen i et punkt er .

Lad os finde værdien af den afledede af funktionen i punktet.

Lad os først finde den afledede af funktionen. Det her .

Den afledte i et punkt er lig med .

Lad os erstatte udtrykkene med og ind i tangentligningen. Vi får ligningen for:

Lad os løse denne ligning.

Reducer brøkens tæller og nævner med 2:

Lad os reducere højre side af ligningen til fællesnævner. Vi får:

Lad os forenkle brøkens tæller og gange begge sider med - dette udtryk er strengt taget større end nul.

Vi får ligningen

Lad os løse det. For at gøre dette, lad os firkante begge dele og gå videre til systemet.

Title="delim(lbrace)(matrix(2)(1)((64-48(x_0)+9(x_0)^2=8-(x_0)^2) (8-3x_0>=0) ) ))( )">!}

Lad os løse den første ligning.

Lad os bestemme andengradsligning, vi får

Den anden rod opfylder ikke betingelsen title="8-3x_0>=0">, следовательно, у нас только одна точка касания и её абсцисса равна .!}

Lad os skrive ligningen for tangenten til kurven i punktet. For at gøre dette skal du erstatte værdien i ligningen - Vi har allerede optaget det.

Svar:
.

Y = f(x) og hvis der på dette punkt kan trækkes en tangent til grafen for funktionen, som ikke er vinkelret på abscisseaksen, så er tangentens vinkelkoefficient lig f"(a). Vi har allerede brugt dette flere gange For eksempel blev det i § 33 fastslået, at grafen for funktionen y = sin x (sinusformet) ved origo danner en vinkel på 45° med x-aksen (mere præcist, tangenten til den. graf ved origo danner en vinkel på 45° med x-aksens positive retning), og i eksempel 5 blev § 33 punkter fundet på skema givet funktioner, hvor tangenten er parallel med x-aksen. I eksempel 2 i § 33 blev der udarbejdet en ligning for tangenten til grafen for funktionen y = x 2 i punktet x = 1 (mere præcist i punktet (1; 1), men oftere er det kun abscisseværdien, der er angivet, idet man tror, at hvis abscisseværdien er kendt, så kan ordinatværdien findes ud fra ligningen y = f(x)). I dette afsnit vil vi udvikle en algoritme til at sammensætte en tangentligning til grafen for enhver funktion.

Lad funktionen y = f(x) og punktet M (a; f(a)) være givet, og det er også kendt, at f"(a) eksisterer. Lad os lave en ligning for tangenten til grafen for den givet funktion i givet point. Denne ligning har ligesom ligningen for enhver ret linje, der ikke er parallel med ordinataksen, formen y = kx+m, så opgaven er at finde værdierne af koefficienterne k og m.

Der er ingen problemer med vinkelkoefficienten k: vi ved, at k = f "(a). For at beregne værdien af m bruger vi det faktum, at den ønskede rette linje går gennem punktet M(a; f (a)) Det betyder, at hvis vi erstatter koordinatpunktet M i ligningen for den rette linje, får vi den rigtige lighed: f(a) = ka+m, hvorfra vi finder, at m = f(a) - ka.
Det er tilbage at erstatte de fundne værdier af kitkoefficienterne i ligningen lige:

Vi har fået ligningen for tangenten til grafen for funktionen y = f(x) i punktet x=a.
Hvis f.eks.
Ved at erstatte de fundne værdier a = 1, f(a) = 1 f"(a) = 2 i ligning (1), får vi: y = 1+2(x-f), dvs. y = 2x-1.
Sammenlign dette resultat med det opnåede i eksempel 2 fra § 33. Naturligvis skete det samme.
Lad os lave en ligning for tangenten til grafen for funktionen y = tan x ved origo. Vi har: dette betyder cos x f"(0) = 1. Ved at erstatte de fundne værdier a = 0, f(a) = 0, f"(a) = 1 i ligning (1), får vi: y = x.
Derfor tegnede vi tangentoiden i § 15 (se fig. 62) gennem koordinaternes begyndelse i en vinkel på 45° i forhold til abscisseaksen.
Når vi løser disse ret simple eksempler, brugte vi faktisk en bestemt algoritme, som er indeholdt i formel (1). Lad os gøre denne algoritme eksplicit.

ALGORIME TIL UDVIKLING AF EN LIGNING FOR EN TANGENT TIL GRAFEN FOR FUNKTIONEN y = f(x)

1) Udpeg abscissen af tangenspunktet med bogstavet a.
2) Beregn 1 (a).
3) Find f"(x) og beregn f"(a).
4) Erstat de fundne tal a, f(a), (a) med formel (1).

Eksempel 1. Skriv en ligning for tangenten til grafen for funktionen i punktet x = 1.
Lad os bruge algoritmen, idet vi tager højde for det i dette eksempel

I fig. 126 er en hyperbel afbildet, en ret linje y = 2 er konstrueret.
Tegningen bekræfter ovenstående beregninger: faktisk rører linjen y = 2 hyperbelen ved punktet (1; 1).

Svar: y = 2-x.
Eksempel 2. Tegn en tangent til grafen for funktionen, så den er parallel med linjen y = 4x - 5.
Lad os afklare problemformuleringen. Kravet om at "tegne en tangent" betyder normalt "at danne en ligning for tangenten." Dette er logisk, for hvis en person var i stand til at skabe en ligning for en tangent, så er det usandsynligt, at han har svært ved at konstruere en ret linje på koordinatplanet ved hjælp af dens ligning.
Lad os bruge algoritmen til at sammensætte tangentligningen, idet vi tager højde for, at i dette eksempel. Men i modsætning til det foregående eksempel er der tvetydighed: tangentpunktets abscisse er ikke eksplicit angivet.
Lad os begynde at tænke sådan her. Den ønskede tangent skal være parallel med den rette linje y = 4x-5. To linjer er parallelle, hvis og kun hvis deres hældninger er lige store. Det betyder, at tangentens vinkelkoefficient skal være lig med hældning givet ret linje: Således kan vi finde værdien af a ud fra ligningen f"(a) = 4.
Vi har:
Ud fra ligningen Det betyder, at der er to tangenter, der opfylder problemets betingelser: den ene i punktet med abscisse 2, den anden i punktet med abscisse -2.
Nu kan du følge algoritmen.

Eksempel 3. Fra punkt (0; 1) tegnes en tangent til grafen for funktionen
Lad os bruge algoritmen til at sammensætte tangentligningen, idet vi tager højde for, at i dette eksempel, Bemærk, at her, som i eksempel 2, er abscissen af tangentpunktet ikke eksplicit angivet. Ikke desto mindre følger vi algoritmen.

Ved betingelse passerer tangenten gennem punktet (0; 1). Ved at erstatte værdierne x = 0, y = 1 i ligning (2), får vi:
Som du kan se, i dette eksempel, lykkedes det kun på det fjerde trin af algoritmen at finde abscissen af tangentpunktet. Ved at erstatte værdien a =4 i ligning (2), får vi:

I fig. 127 præsenterer en geometrisk illustration af det betragtede eksempel: en graf over funktionen er plottet

I § 32 bemærkede vi, at for en funktion y = f(x) med en afledt i et fast punkt x, er den omtrentlige lighed gyldig:

For at gøre det nemmere for yderligere ræsonnementer, lad os ændre notationen: i stedet for x skriver vi a, i stedet for vil vi skrive x og følgelig i stedet for vil vi skrive x-a. Så vil den omtrentlige lighed skrevet ovenfor have formen:

Se nu på fig. 128. Der tegnes en tangent til grafen for funktionen y = f(x) i punktet M (a; f (a)). Punkt x er markeret på x-aksen tæt på a. Det er tydeligt, at f(x) er ordinaten til grafen for funktionen i det angivne punkt x. Hvad er f(a) + f"(a) (x-a)? Dette er ordinaten af tangenten svarende til det samme punkt x - se formel (1). Hvad er meningen med den omtrentlige lighed (3)? Faktum at For at beregne den omtrentlige værdi af funktionen, tag ordinatværdien af tangenten.

Eksempel 4. Find den omtrentlige værdi numerisk udtryk 1,02 7 .
Vi taler om at finde værdien af funktionen y = x 7 i punktet x = 1,02. Lad os bruge formel (3), idet vi tager højde for det i dette eksempel
Som et resultat får vi:

Hvis vi bruger en lommeregner, får vi: 1,02 7 = 1,148685667...
Som du kan se, er tilnærmelsesnøjagtigheden ganske acceptabel.
Svar: 1,02 7 =1,14.

A.G. Mordkovich Algebra 10 klasse

Kalendertematisk planlægning i matematik, video i matematik online, Matematik i skolen download

Lektionens indhold lektionsnotater understøttende frame lektion præsentation acceleration metoder interaktive teknologier Øve sig opgaver og øvelser selvtest workshops, træninger, cases, quests lektier diskussion spørgsmål retoriske spørgsmål fra elever Illustrationer lyd, videoklip og multimedier fotografier, billeder, grafik, tabeller, diagrammer, humor, anekdoter, vittigheder, tegneserier, lignelser, ordsprog, krydsord, citater Tilføjelser abstracts artikler tricks for de nysgerrige krybber lærebøger grundlæggende og yderligere ordbog over begreber andet Forbedring af lærebøger og lektionerrette fejl i lærebogen opdatering af et fragment i en lærebog, elementer af innovation i lektionen, udskiftning af forældet viden med ny Kun for lærere perfekte lektioner kalenderplan for året retningslinier diskussionsprogrammer Integrerede lektioner