كيفية قسمة الكسور غير الصحيحة. الأفعال مع الكسور

باستخدام الكسور ، يمكنك تنفيذ جميع الإجراءات ، بما في ذلك القسمة. يوضح هذا المقال التقسيم الكسور العادية. سيتم تقديم التعاريف ، وسيتم النظر في الأمثلة. دعونا نتناول قسمة الكسور على الأعداد الطبيعية والعكس صحيح. سيتم النظر في قسمة الكسر العادي على عدد كسري.

قسمة الكسور العادية

القسمة هي معكوس الضرب. عند القسمة ، يكون العامل المجهول في المنتج المعروف وعامل آخر ، حيث يتم الاحتفاظ بمعناه المعطى مع الكسور العادية.

إذا كان من الضروري قسمة الكسر العادي أ ب على ج د ، ثم لتحديد هذا الرقم ، تحتاج إلى الضرب في المقسوم عليه ج د ، وهذا سيعطي المقسوم في النهاية أ ب. لنحصل على رقم ونكتبه a b · d c ، حيث d c هو مقلوب c d number. يمكن كتابة المعادلات باستخدام خواص الضرب ، وهي: أ ب د ج ج د = أ ب د ج ج د = أ ب 1 = أ ب ، حيث التعبير أ ب د ج هو حاصل قسمة أ ب على ج د.

من هنا نحصل على قاعدة قسمة الكسور العادية ونصيغها:

التعريف 1

لقسمة كسر عادي أ ب على ج د ، من الضروري ضرب المقسوم في مقلوب المقسوم عليه.

لنكتب القاعدة في صورة تعبير: أ ب: ج د = أ ب د ج

يتم تقليل قواعد القسمة إلى الضرب. للالتزام بها ، يجب أن تكون على دراية جيدة بإجراء عملية ضرب الكسور العادية.

دعنا ننتقل إلى قسمة الكسور العادية.

مثال 1

نفذ قسمة 9 7 على 5 3. اكتب النتيجة على شكل كسر.

المحلول

العدد 5 3 هو مقلوب 3 5. يجب عليك استخدام قاعدة قسمة الكسور العادية. نكتب هذا التعبير على النحو التالي: 9 7: 5 3 \ u003d 9 7 3 5 \ u003d 9 3 7 5 \ u003d 27 35.

إجابه: 9 7: 5 3 = 27 35 .

عند اختزال الكسور ، يجب أن تبرز الجزء كله إذا كان البسط أكبر من المقام.

مثال 2

قسّم 8 15: 24 65. اكتب الإجابة في صورة كسر.

المحلول

الحل هو التبديل من القسمة إلى الضرب. نكتبها على هذا النحو: 8 15: 24 65 = 2 2 2 5 13 3 5 2 2 2 3 = 13 3 3 = 13 9

من الضروري إجراء تخفيض ، ويتم ذلك على النحو التالي: 8 65 15 24 \ u003d 2 2 2 5 13 3 5 2 2 2 3 \ u003d 13 3 3 \ u003d 13 9

نختار الجزء الصحيح ونحصل على 13 9 = 1 4 9.

إجابه: 8 15: 24 65 = 1 4 9 .

قسمة كسر غير عادي على عدد طبيعي

نستخدم قاعدة قسمة الكسر على عدد طبيعي: لقسمة a b على عدد طبيعي n ، تحتاج فقط إلى ضرب المقام في n. من هنا نحصل على التعبير: أ ب: ن = أ ب ن.

قاعدة القسمة هي نتيجة لقاعدة الضرب. لذلك ، فإن تمثيل رقم طبيعي ككسر سيعطي مساواة من هذا النوع: أ ب: n \ u003d أ ب: n 1 \ u003d أ ب 1 n \ u003d أ ب ن.

ضع في اعتبارك قسمة الكسر على رقم.

مثال 3

اقسم الكسر 1645 على الرقم 12.

المحلول

طبق قاعدة قسمة الكسر على رقم. نحصل على تعبير مثل 16 45: 12 = 16 45 12.

لنختصر الكسر. نحصل على 16 45 12 = 2 2 2 2 (3 3 5) (2 2 3) = 2 2 3 3 3 5 = 4135.

إجابه: 16 45: 12 = 4 135 .

قسمة عدد طبيعي على كسر مشترك

قاعدة القسمة متشابهة حولقاعدة قسمة عدد طبيعي على كسر عادي: لقسمة عدد طبيعي n على رقم عادي a b ، من الضروري ضرب الرقم n بمقلوب الكسر a b.

بناءً على القاعدة ، لدينا n: a b \ u003d n b a ، وبفضل قاعدة ضرب عدد طبيعي في كسر عادي ، نحصل على تعبيرنا بالصيغة n: a b \ u003d n b a. من الضروري النظر في هذا التقسيم بمثال.

مثال 4

قسّم 25 على 15 28.

المحلول

علينا الانتقال من القسمة إلى الضرب. نكتب في صورة تعبير 25: 15 28 = 25 28 15 = 25 28 15. لنختصر الكسر ونحصل على النتيجة في صورة كسر 46 2 3.

إجابه: 25: 15 28 = 46 2 3 .

قسمة الكسر المشترك على عدد كسري

عند قسمة كسر عادي على عدد كسري ، يمكنك بسهولة أن تتألق لتقسيم الكسور العادية. بحاجة للترجمة عدد كسريإلى كسر غير فعلي.

مثال 5

قسّم الكسر 35 16 على 3 1 8.

المحلول

بما أن 3 1 8 عدد كسري ، فلنقم بتمثيله في صورة كسر غير فعلي. ثم نحصل على 3 1 8 = 3 8 + 1 8 = 25 8. الآن دعونا نقسم الكسور. نحصل على 35 16: 3 1 8 = 35 16: 25 8 = 35 16 8 25 = 35 8 16 25 = 5 7 2 2 2 2 2 2 2 (5 5) = 7 10

إجابه: 35 16: 3 1 8 = 7 10 .

تتم قسمة عدد كسري بنفس طريقة قسمة الأرقام العادية.

إذا لاحظت وجود خطأ في النص ، فيرجى تمييزه والضغط على Ctrl + Enter

لحل المهام المختلفة من مسار الرياضيات ، يجب على الفيزياء قسمة الكسور. من السهل جدًا القيام بذلك إذا كنت تعرف قواعد معينةقم بإجراء هذه العملية الحسابية.

قبل الانتقال إلى صياغة قاعدة حول كيفية قسمة الكسور ، دعنا نتذكر بعض المصطلحات الرياضية:

1. يسمى الجزء العلوي من الكسر بالبسط ويسمى الجزء السفلي المقام.
2. عند القسمة ، تسمى الأرقام على النحو التالي: المقسوم: المقسوم عليه \ u003d الحاصل

كيفية قسمة الكسور: الكسور البسيطة

لقسمة كسرين بسيطين ، اضرب المقسوم في مقلوب المقسوم عليه. يسمى هذا الكسر أيضًا بطريقة أخرى ، لأنه يتم الحصول عليه نتيجة تبديل البسط والمقام. فمثلا:

3/77: 1/11 = 3 /77 * 11 /1 = 3/7

كيفية قسمة الكسور: الكسور المختلطة

إذا كان علينا قسمة الكسور المختلطة ، فسيكون كل شيء أيضًا بسيطًا وواضحًا هنا. أولاً ، قم بتحويل الكسر المختلط إلى كسر عادي غير فعلي. للقيام بذلك ، نضرب مقام هذا الكسر في عدد صحيح ونضيف البسط إلى الناتج الناتج. نتيجة لذلك ، حصلنا على بسط جديد للكسر المختلط ، وسيظل مقامه كما هو. سيتم إجراء قسمة أخرى للكسور بنفس طريقة قسمة الكسور البسيطة. فمثلا:

10 2/3: 4/15 = 32/3: 4/15 = 32/3 * 15 /4 = 40/1 = 40

كيفية قسمة الكسر على رقم

من أجل قسمة كسر بسيط على رقم ، يجب كتابة الأخير ككسر (غير لائق). من السهل جدًا القيام بذلك: هذا الرقم مكتوب بدلاً من البسط ، ومقام هذا الكسر يساوي واحدًا. يتم إجراء مزيد من التقسيم بالطريقة المعتادة. لنلقِ نظرة على هذا بمثال:

5/11: 7 = 5/11: 7/1 = 5/11 * 1/7 = 5/77

كيفية قسمة الكسور العشرية

في كثير من الأحيان ، يواجه الشخص البالغ صعوبة ، إذا لزم الأمر ، دون مساعدة الآلة الحاسبة ، في تقسيم عدد صحيح أو كسر عشري إلى كسر عشري.

لذلك ، من أجل قسمة الكسور العشرية ، ما عليك سوى شطب الفاصلة في المقسوم عليه والتوقف عن الالتفات إليها. في القسم القابل للقسمة ، يجب نقل الفاصلة إلى اليمين تمامًا بعدد الأحرف الذي كان عليه في الجزء الكسري من المقسوم عليه ، مع إضافة الأصفار إذا لزم الأمر. ثم ننتج القسمة المعتادة على عدد صحيح. لتوضيح ذلك ، لنأخذ المثال التالي.

) والمقام بالمقام (نحصل على مقام حاصل الضرب).

صيغة ضرب الكسر:

فمثلا:

قبل الشروع في ضرب البسط والمقام ، من الضروري التحقق من إمكانية تقليل الكسر. إذا تمكنت من تقليل الكسر ، فسيكون من السهل عليك الاستمرار في إجراء الحسابات.

قسمة كسر عادي على كسر.

قسمة الكسور التي تتضمن عددًا طبيعيًا.

إنه ليس مخيفًا كما يبدو. كما في حالة الجمع ، نحول عددًا صحيحًا إلى كسر بوحدة في المقام. فمثلا:

ضرب الكسور المختلطة.

قواعد ضرب الكسور (مختلطة):

• تحويل الكسور المختلطة إلى غير صحيحة ؛
• اضرب البسط والمقام في الكسور ؛
• نقوم بتقليل الكسر.
• إذا حصلنا على كسر غير فعلي ، فسنحول الكسر غير الفعلي إلى كسر مختلط.

ملحوظة!لضرب كسر مختلط في كسر مختلط آخر ، عليك أولًا إحضاره إلى صورة الكسور غير الفعلية ، ثم الضرب وفقًا لقاعدة ضرب الكسور العادية.

الطريقة الثانية لضرب الكسر في عدد طبيعي.

من الأنسب استخدام الطريقة الثانية لضرب الكسر العادي في رقم.

ملحوظة!لضرب كسر في رقم طبيعي ، من الضروري قسمة مقام الكسر على هذا الرقم ، وترك البسط دون تغيير.

من المثال أعلاه ، من الواضح أن هذا الخيار يكون أكثر ملاءمة للاستخدام عندما يتم قسمة مقام الكسر بدون الباقي على رقم طبيعي.

كسور متعددة المستويات.

في المدرسة الثانوية ، غالبًا ما توجد كسور من ثلاثة طوابق (أو أكثر). مثال:

لإحضار هذا الكسر إلى شكله المعتاد ، يتم استخدام القسمة على نقطتين:

ملحوظة!عند قسمة الكسور ، فإن ترتيب القسمة مهم جدًا. كن حذرًا ، من السهل الخلط هنا.

ملحوظة، فمثلا:

عند قسمة واحد على أي كسر ، ستكون النتيجة هي نفس الكسر ، مقلوبًا فقط:

نصائح عملية لضرب الكسور وتقسيمها:

1. أهم شيء في التعامل مع التعبيرات الكسرية هو الدقة والانتباه. قم بإجراء جميع العمليات الحسابية بحذر ودقة وتركيز ووضوح. من الأفضل أن تكتب بضعة سطور إضافية في المسودة بدلاً من الخلط بين الحسابات في رأسك.

2. في المهام مع أنواع مختلفة من الكسور - انتقل إلى نوع الكسور العادية.

3. نقوم بتقليل جميع الكسور حتى يصبح من غير الممكن تصغيرها.

4. نقوم بإدخال التعبيرات الكسرية متعددة المستويات إلى التعبيرات العادية ، باستخدام القسمة على نقطتين.

5. نقسم الوحدة إلى كسر في أذهاننا ، وذلك ببساطة عن طريق قلب الكسر.

الكسر هو جزء أو أكثر من الكل ، والذي يؤخذ عادةً كوحدة (1). كما هو الحال مع الأعداد الطبيعية ، يمكنك إجراء جميع العمليات الحسابية الأساسية مع الكسور (الجمع والطرح والقسمة والضرب) ، لذلك تحتاج إلى معرفة ميزات العمل مع الكسور والتمييز بين أنواعها. هناك عدة أنواع من الكسور: عشرية وعادية ، أو بسيطة. كل نوع من الكسور له خصائصه الخاصة ، ولكن بمجرد أن تكتشف جيدًا كيفية التعامل معها مرة واحدة ، ستتمكن من حل أي أمثلة مع الكسور ، حيث ستعرف المبادئ الأساسية لإجراء العمليات الحسابية باستخدام الكسور. دعنا نلقي نظرة على أمثلة حول كيفية قسمة كسر على عدد صحيح باستخدام أنواع مختلفةكسور.

كيف نقسم كسر على عدد طبيعي؟
تسمى الكسور العادية أو البسيطة الكسور التي تتم كتابتها على هذا النحو نسبة الأرقام التي يشار فيها إلى المقسوم (البسط) في الجزء العلوي من الكسر ، والمقسوم (المقام) على الكسر موضح أدناه. كيف تقسم مثل هذا الكسر على عدد صحيح؟ لنلقي نظرة على مثال! لنفترض أننا بحاجة إلى قسمة 8/12 على 2.

للقيام بذلك ، يجب علينا تنفيذ سلسلة من الإجراءات:
وبالتالي ، إذا واجهنا مهمة قسمة كسر على عدد صحيح ، فإن مخطط الحل سيبدو كما يلي:

وبالمثل ، يمكنك قسمة أي كسر عادي (بسيط) على عدد صحيح.

كيف تقسم عشري على عدد صحيح؟
الكسر العشري هو كسر يتم الحصول عليه بتقسيم الوحدة إلى عشرة وألف وهكذا على أجزاء. العمليات الحسابية مع الكسور العشرية بسيطة للغاية.

ضع في اعتبارك مثالاً عن كيفية قسمة كسر على عدد صحيح. لنفترض أننا بحاجة إلى قسمة الكسر العشري 0.925 على العدد الطبيعي 5.

بإيجاز ، سنركز على نقطتين رئيسيتين مهمتين عند إجراء عملية قسمة الكسور العشرية على عدد صحيح:

• لفصل كسر عشرييتم تطبيق التقسيم إلى عمود على عدد طبيعي ؛
  
• يتم وضع الفاصلة في الوضع الخاص عند اكتمال تقسيم الجزء الصحيح من المقسوم.
  

تطبيق هذه قواعد بسيطة، يمكنك دائمًا بسهولة قسمة أي كسر عشري أو بسيط على عدد صحيح. محتوى الدرس

جمع الكسور من نفس القواسم

جمع الكسور نوعان:

1. جمع الكسور من نفس القواسم
2. جمع الكسور ذات القواسم المختلفة

لنبدأ بإضافة كسور لها نفس المقامات. كل شيء بسيط هنا. لإضافة كسور لها نفس المقامات ، عليك أن تجمع البسط وتترك المقام دون تغيير. على سبيل المثال ، لنجمع الكسور و. نجمع البسط ونترك المقام كما هو:

يمكن فهم هذا المثال بسهولة إذا فكرنا في بيتزا مقسمة إلى أربعة أجزاء. إذا أضفت بيتزا إلى البيتزا ، تحصل على بيتزا:

مثال 2اجمع الكسور و.

الجواب هو كسر غير فعلي. إذا جاءت نهاية المهمة ، فمن المعتاد التخلص من الكسور غير الصحيحة. للتخلص من الكسر غير الصحيح ، تحتاج إلى تحديد الجزء بأكمله فيه. في حالتنا ، يتم تخصيص الجزء الصحيح بسهولة - اثنان مقسومًا على اثنين يساوي واحدًا:

يمكن فهم هذا المثال بسهولة إذا فكرنا في بيتزا مقسمة إلى قسمين. إذا أضفت المزيد من البيتزا إلى البيتزا ، فستحصل على بيتزا واحدة كاملة:

مثال 3. اجمع الكسور و.

اجمع البسط مجددًا واترك المقام كما هو:

يمكن فهم هذا المثال بسهولة إذا فكرنا في بيتزا مقسمة إلى ثلاثة أجزاء. إذا أضفت المزيد من البيتزا إلى البيتزا ، ستحصل على البيتزا:

مثال 4أوجد قيمة التعبير

تم حل هذا المثال بنفس الطريقة تمامًا مثل المثال السابق. يجب إضافة البسط وترك المقام دون تغيير:

دعنا نحاول تصوير الحل باستخدام صورة. إذا أضفت بيتزا إلى بيتزا وأضفت المزيد من البيتزا ، ستحصل على بيتزا واحدة كاملة والمزيد من البيتزا.

كما ترى ، فإن جمع الكسور بنفس القواسم ليس بالأمر الصعب. يكفي فهم القواعد التالية:

1. لإضافة كسور من نفس المقام ، تحتاج إلى إضافة البسط ، وترك المقام دون تغيير ؛

جمع الكسور ذات القواسم المختلفة

الآن سوف نتعلم كيفية جمع كسور ذات مقامات مختلفة. عند جمع الكسور ، يجب أن تكون مقامات تلك الكسور متطابقة. لكنهم ليسوا دائما نفس الشيء.

على سبيل المثال ، يمكن أيضًا إضافة الكسور لأنها تحتوي على نفس القواسم.

لكن لا يمكن إضافة الكسور على الفور ، لأن هذه الكسور لها قواسم مختلفة. في مثل هذه الحالات ، يجب اختزال الكسور إلى نفس المقام (المشترك).

توجد عدة طرق لتقليل الكسور إلى نفس المقام. اليوم سننظر في واحدة منها فقط ، لأن باقي الطرق قد تبدو معقدة بالنسبة للمبتدئين.

يكمن جوهر هذه الطريقة في حقيقة أنه تم البحث عن أول (LCM) من مقامات كلا الكسرين. ثم يتم قسمة المضاعف المشترك الأصغر على مقام الكسر الأول ويتم الحصول على العامل الإضافي الأول. يفعلون الشيء نفسه مع الكسر الثاني - يتم قسمة المضاعف المشترك الأصغر على مقام الكسر الثاني ويتم الحصول على العامل الإضافي الثاني.

ثم يتم ضرب البسط والمقام في الكسور في عواملها الإضافية. نتيجة لهذه الإجراءات ، تتحول الكسور التي لها قواسم مختلفة إلى كسور لها نفس القواسم. ونحن نعلم بالفعل كيفية جمع هذه الكسور.

مثال 1. اجمع الكسور و

أولًا ، نجد المضاعف المشترك الأصغر لمقام كلا الكسرين. مقام الكسر الأول هو الرقم 3 ، ومقام الكسر الثاني هو الرقم 2. والمضاعف المشترك الأصغر لهذه الأعداد هو 6

المضاعف المشترك الأصغر (2 و 3) = 6

الآن نعود إلى الكسور و. أولًا ، نقسم المضاعف المشترك الأصغر على مقام الكسر الأول ونحصل على العامل الإضافي الأول. المضاعف المشترك الأصغر هو الرقم 6 ، ومقام الكسر الأول هو الرقم 3. قسّم 6 على 3 ، نحصل على 2.

الرقم الناتج 2 هو العامل الإضافي الأول. نكتبه حتى الكسر الأول. للقيام بذلك ، نقوم بعمل خط مائل صغير فوق الكسر ونكتب العامل الإضافي الموجود فوقه:

نفعل الشيء نفسه مع الكسر الثاني. نقسم المضاعف المشترك الأصغر على مقام الكسر الثاني ونحصل على العامل الإضافي الثاني. المضاعف المشترك الأصغر هو الرقم 6 ، ومقام الكسر الثاني هو الرقم 2. قسّم 6 على 2 ، نحصل على 3.

الرقم الناتج 3 هو العامل الإضافي الثاني. نكتبه في الكسر الثاني. مرة أخرى ، نصنع خطًا مائلًا صغيرًا فوق الكسر الثاني ونكتب العامل الإضافي الموجود فوقه:

الآن نحن جاهزون للإضافة. يبقى ضرب البسط والمقام في الكسور بعواملها الإضافية:

انظر عن كثب إلى ما وصلنا إليه. توصلنا إلى استنتاج مفاده أن الكسور التي لها مقامات مختلفة تحولت إلى كسور لها نفس القواسم. ونحن نعلم بالفعل كيفية جمع هذه الكسور. لنكمل هذا المثال حتى النهاية:

وهكذا ينتهي المثال. لإضافته اتضح.

دعنا نحاول تصوير الحل باستخدام صورة. إذا أضفت بيتزا إلى بيتزا ، فستحصل على بيتزا كاملة وسدس بيتزا أخرى:

يمكن أيضًا تصوير اختزال الكسور إلى نفس المقام (المشترك) باستخدام صورة. بإحضار الكسور والمقام المشترك ، نحصل على الكسور و. سيتم تمثيل هذين الكسرين بنفس شرائح البيتزا. سيكون الاختلاف الوحيد هو أنه سيتم تقسيمها هذه المرة إلى حصص متساوية (يتم تقليلها إلى نفس المقام).

يُظهر الرسم الأول كسرًا (أربع قطع من ستة) والصورة الثانية تُظهر كسرًا (ثلاث قطع من ستة). بتجميع هذه القطع معًا نحصل على (سبع قطع من ستة). هذا الكسر غير صحيح ، لذلك قمنا بتمييز الجزء الصحيح فيه. وكانت النتيجة (بيتزا واحدة كاملة وبيتزا سادسة أخرى).

لاحظ أننا رسمنا هذا المثال بتفاصيل أكثر من اللازم. في المؤسسات التعليميةليس من المعتاد أن تكتب بهذه الطريقة التفصيلية. يجب أن تكون قادرًا على العثور بسرعة على المضاعف المشترك الأصغر لكل من المقامات والعوامل الإضافية لهما ، بالإضافة إلى مضاعفة العوامل الإضافية الموجودة في البسط والمقام بسرعة. أثناء وجودنا في المدرسة ، يجب أن نكتب هذا المثال على النحو التالي:

ولكن هناك أيضًا الوجه الآخر للعملة. إذا لم يتم تدوين الملاحظات التفصيلية في المراحل الأولى من دراسة الرياضيات ، فعندئذ أسئلة من هذا النوع "من أين يأتي هذا العدد؟" ، "لماذا تتحول الكسور فجأة إلى كسور مختلفة تمامًا؟ «.

لتسهيل إضافة الكسور ذات القواسم المختلفة ، يمكنك استخدام التعليمات التالية خطوة بخطوة:

1. أوجد المضاعف المشترك الأصغر لمقام الكسور ؛
2. اقسم المضاعف المشترك الأصغر على مقام كل كسر واحصل على مضاعف إضافي لكل كسر ؛
3. اضرب البسط والمقام في الكسور في عواملها الإضافية ؛
4. أضف الكسور التي لها نفس القواسم ؛
5. إذا تبين أن الإجابة هي كسر غير لائق ، فحدد الجزء بالكامل ؛

مثال 2أوجد قيمة التعبير .

دعنا نستخدم التعليمات أعلاه.

الخطوة 1. أوجد المضاعف المشترك الأصغر لمقام الكسور

أوجد المضاعف المشترك الأصغر لمقام كلا الكسرين. مقامات الكسور هي الأعداد 2 و 3 و 4

الخطوة 2. قسّم المضاعف المشترك الأصغر على مقام كل كسر واحصل على مضاعف إضافي لكل كسر

اقسم المضاعف المشترك الأصغر على مقام الكسر الأول. المضاعف المشترك الأصغر هو الرقم 12 ، ومقام الكسر الأول هو الرقم 2. نقسم 12 على 2 ، نحصل على 6. حصلنا على العامل الإضافي الأول 6. نكتبه على الكسر الأول:

الآن نقسم المضاعف المشترك الأصغر على مقام الكسر الثاني. المضاعف المشترك الأصغر هو الرقم 12 ، ومقام الكسر الثاني هو الرقم 3. نقسم 12 على 3 ، نحصل على 4. حصلنا على العامل الإضافي الثاني 4. نكتبه على الكسر الثاني:

الآن نقسم المضاعف المشترك الأصغر على مقام الكسر الثالث. المضاعف المشترك الأصغر هو الرقم 12 ، ومقام الكسر الثالث هو الرقم 4. اقسم 12 على 4 ، نحصل على 3. حصلنا على العامل الإضافي الثالث 3. نكتبه على الكسر الثالث:

الخطوة 3. اضرب البسط والمقام في العوامل الإضافية

نضرب البسط والمقام في العوامل الإضافية:

الخطوة 4. أضف الكسور التي لها نفس المقامات

توصلنا إلى استنتاج مفاده أن الكسور التي لها قواسم مختلفة تحولت إلى كسور لها نفس القواسم (المشتركة). يبقى إضافة هذه الكسور. أضف:

لم يتم احتواء الإضافة في سطر واحد ، لذلك نقلنا المقدار المتبقي إلى السطر التالي. هذا مسموح به في الرياضيات. عندما لا يتلاءم التعبير مع سطر واحد ، يتم نقله إلى السطر التالي ، ومن الضروري وضع علامة مساوية (=) في نهاية السطر الأول وفي بداية السطر الجديد. تشير علامة التساوي في السطر الثاني إلى أن هذا استمرار للتعبير الذي كان في السطر الأول.

الخطوة 5. إذا تبين أن الإجابة هي كسر غير فعلي ، فحدد الجزء بالكامل فيها

إجابتنا كسر غير فعلي. يجب أن نفرد كل جزء منه. نبرز:

حصلت على إجابة

طرح كسور لها نفس القواسم

هناك نوعان من طرح الكسور:

1. طرح كسور لها نفس القواسم
2. طرح الكسور ذات القواسم المختلفة

أولًا ، لنتعلم كيفية طرح الكسور ذات المقامات نفسها. كل شيء بسيط هنا. لطرح آخر من كسر واحد ، عليك طرح بسط الكسر الثاني من بسط الكسر الأول ، وترك المقام كما هو.

على سبيل المثال ، لنجد قيمة التعبير. لحل هذا المثال ، من الضروري طرح بسط الكسر الثاني من بسط الكسر الأول وترك المقام دون تغيير. هيا بنا نقوم بذلك:

يمكن فهم هذا المثال بسهولة إذا فكرنا في بيتزا مقسمة إلى أربعة أجزاء. إذا قطعت البيتزا من البيتزا ، ستحصل على البيتزا:

مثال 2أوجد قيمة التعبير.

مرة أخرى ، من بسط الكسر الأول ، اطرح بسط الكسر الثاني ، واترك المقام دون تغيير:

يمكن فهم هذا المثال بسهولة إذا فكرنا في بيتزا مقسمة إلى ثلاثة أجزاء. إذا قطعت البيتزا من البيتزا ، ستحصل على البيتزا:

مثال 3أوجد قيمة التعبير

تم حل هذا المثال بنفس الطريقة تمامًا مثل المثال السابق. من بسط الكسر الأول ، عليك طرح بسط الكسور المتبقية:

كما ترى ، لا يوجد شيء معقد في طرح الكسور التي لها نفس المقامات. يكفي فهم القواعد التالية:

1. لطرح آخر من كسر واحد ، عليك طرح بسط الكسر الثاني من بسط الكسر الأول وترك المقام دون تغيير ؛
2. إذا تبين أن الإجابة كانت كسرًا غير لائق ، فأنت بحاجة إلى تحديد الجزء بالكامل فيه.

طرح الكسور ذات القواسم المختلفة

على سبيل المثال ، يمكن طرح كسر من كسر ، لأن هذه الكسور لها نفس المقامات. لكن لا يمكن طرح الكسر من الكسر ، لأن هذه الكسور لها مقامات مختلفة. في مثل هذه الحالات ، يجب اختزال الكسور إلى نفس المقام (المشترك).

تم إيجاد المقام المشترك وفقًا لنفس المبدأ الذي استخدمناه عند جمع الكسور ذات المقامات المختلفة. أولًا ، أوجد المضاعف المشترك الأصغر لمقام كلا الكسرين. ثم يتم قسمة المضاعف المشترك الأصغر على مقام الكسر الأول ويتم الحصول على العامل الإضافي الأول ، والذي يتم كتابته على الكسر الأول. وبالمثل ، يتم قسمة المضاعف المشترك الأصغر على مقام الكسر الثاني ويتم الحصول على عامل إضافي آخر ، يتم كتابته على الكسر الثاني.

ثم يتم ضرب الكسور في عواملها الإضافية. نتيجة لهذه العمليات ، تتحول الكسور ذات المقامات المختلفة إلى كسور لها نفس القواسم. ونحن نعلم بالفعل كيفية طرح مثل هذه الكسور.

مثال 1أوجد قيمة التعبير:

هذه الكسور لها قواسم مختلفة ، لذا عليك تقريبها إلى نفس المقام (المشترك).

أولًا ، نوجد المضاعف المشترك الأصغر لمقامتي الكسرين. مقام الكسر الأول هو الرقم 3 ، ومقام الكسر الثاني هو الرقم 4. المضاعف المشترك الأصغر لهذه الأعداد هو 12

المضاعف المشترك الأصغر (3 و 4) = 12

الآن نعود إلى الكسور و

لنجد عاملًا إضافيًا للكسر الأول. للقيام بذلك ، نقسم المضاعف المشترك الأصغر على مقام الكسر الأول. المضاعف المشترك الأصغر هو الرقم 12 ، ومقام الكسر الأول هو الرقم 3. نقسم 12 على 3 ، نحصل على 4. نكتب الأربعة على الكسر الأول:

نفعل الشيء نفسه مع الكسر الثاني. نقسم المضاعف المشترك الأصغر على مقام الكسر الثاني. المضاعف المشترك الأصغر هو الرقم 12 ، ومقام الكسر الثاني هو الرقم 4. اقسم 12 على 4 ، نحصل على 3. اكتب ثلاثية على الكسر الثاني:

الآن نحن جاهزون للطرح. يبقى ضرب الكسور بعواملها الإضافية:

توصلنا إلى استنتاج مفاده أن الكسور التي لها مقامات مختلفة تحولت إلى كسور لها نفس القواسم. ونحن نعلم بالفعل كيفية طرح مثل هذه الكسور. لنكمل هذا المثال حتى النهاية:

حصلت على إجابة

دعنا نحاول تصوير الحل باستخدام صورة. إذا قطعت البيتزا من البيتزا ، تحصل عليها.

هذه هي النسخة التفصيلية للحل. كوننا في المدرسة ، سيتعين علينا حل هذا المثال بطريقة أقصر. سيبدو هذا الحل كما يلي:

يمكن أيضًا تصوير اختزال الكسور إلى قاسم مشترك باستخدام صورة. بوصل هذين الكسور إلى مقام مشترك ، نحصل على الكسور و. سيتم تمثيل هذه الكسور بنفس شرائح البيتزا ، ولكن هذه المرة سيتم تقسيمها إلى نفس الكسور (يتم اختزالها إلى نفس المقام):

يُظهر الرسم الأول كسرًا (ثماني قطع من اثني عشر) ، والصورة الثانية تُظهر كسرًا (ثلاث قطع من اثني عشر). بقطع ثلاث قطع من ثماني قطع ، نحصل على خمس قطع من اثني عشر. يصف الكسر هذه الأجزاء الخمس.

مثال 2أوجد قيمة التعبير

هذه الكسور لها مقامات مختلفة ، لذا عليك أولًا تقريبها إلى نفس المقام (المشترك).

أوجد المضاعف المشترك الأصغر لمقام هذه الكسور.

مقامات الكسور هي الأعداد 10 و 3 و 5. المضاعف المشترك الأصغر لهذه الأعداد هو 30

المضاعف المشترك الأصغر (10، 3، 5) = 30

الآن نجد عوامل إضافية لكل كسر. للقيام بذلك ، نقسم المضاعف المشترك الأصغر على مقام كل كسر.

لنجد عاملًا إضافيًا للكسر الأول. المضاعف المشترك الأصغر هو الرقم 30 ، ومقام الكسر الأول هو الرقم 10. نقسم 30 على 10 ، نحصل على العامل الإضافي الأول 3. نكتبه على الكسر الأول:

نوجد الآن عاملًا إضافيًا للكسر الثاني. اقسم المضاعف المشترك الأصغر على مقام الكسر الثاني. المضاعف المشترك الأصغر هو الرقم 30 ، ومقام الكسر الثاني هو الرقم 3. نقسم 30 على 3 ، نحصل على العامل الإضافي الثاني 10. نكتبه على الكسر الثاني:

نوجد الآن عاملًا إضافيًا للكسر الثالث. اقسم المضاعف المشترك الأصغر على مقام الكسر الثالث. المضاعف المشترك الأصغر هو الرقم 30 ، ومقام الكسر الثالث هو الرقم 5. نقسم 30 على 5 ، نحصل على العامل الإضافي الثالث 6. نكتبه على الكسر الثالث:

الآن كل شيء جاهز للطرح. يبقى ضرب الكسور بعواملها الإضافية:

توصلنا إلى استنتاج مفاده أن الكسور التي لها قواسم مختلفة تحولت إلى كسور لها نفس القواسم (المشتركة). ونحن نعلم بالفعل كيفية طرح مثل هذه الكسور. لننهي هذا المثال.

لن يتناسب استمرار المثال مع سطر واحد ، لذلك ننقل المتابعة إلى السطر التالي. لا تنسَ علامة المساواة (=) في السطر الجديد:

تبين أن الإجابة هي جزء صحيح ، ويبدو أن كل شيء يناسبنا ، لكنه مرهق وقبيح للغاية. يجب أن نجعلها أسهل. ماذا يمكن ان يفعل؟ يمكنك تقليل هذا الكسر.

لتقليل الكسر ، تحتاج إلى قسمة البسط والمقام على (gcd) العددين 20 و 30.

إذن ، نجد GCD للأرقام 20 و 30:

نعود الآن إلى مثالنا ونقسم بسط الكسر ومقامه على GCD الموجود ، أي على 10

حصلت على إجابة

ضرب الكسر في رقم

لضرب كسر في رقم ، تحتاج إلى ضرب بسط الكسر المعطى في هذا الرقم ، وترك المقام كما هو.

مثال 1. اضرب الكسر بالرقم 1.

اضرب بسط الكسر بالرقم 1

يمكن فهم الإدخال على أنه يستغرق نصف مرة. على سبيل المثال ، إذا تناولت البيتزا مرة واحدة ، فستحصل على البيتزا

من قوانين الضرب ، نعلم أنه إذا تم تبادل المضاعف والمضاعف ، فلن يتغير المنتج. إذا تمت كتابة التعبير كـ ، فسيظل المنتج مساويًا لـ. مرة أخرى ، تعمل قاعدة ضرب عدد صحيح وكسر:

يمكن فهم هذا الإدخال على أنه يأخذ نصف الوحدة. على سبيل المثال ، إذا كان هناك بيتزا واحدة كاملة وأخذنا نصفها ، فسنحصل على بيتزا:

مثال 2. أوجد قيمة التعبير

اضرب بسط الكسر في 4

الجواب هو كسر غير فعلي. لنأخذ جزءًا كاملاً منه:

يمكن فهم التعبير على أنه أخذ ربعين أربع مرات. على سبيل المثال ، إذا تناولت البيتزا 4 مرات ، فستحصل على اثنين من البيتزا الكاملة.

وإذا قمنا بتبديل المضاعف والمضاعف في أماكن ، فسنحصل على المقدار. سيكون أيضًا مساويًا لـ 2. يمكن فهم هذا التعبير على أنه أخذ اثنين من البيتزا من أربع بيتزا كاملة:

ضرب الكسور

لضرب الكسور ، عليك ضرب البسط والمقام. إذا كانت الإجابة كسرًا غير فعلي ، فأنت بحاجة إلى تحديد الجزء بالكامل فيه.

مثال 1أوجد قيمة التعبير.

حصلت على إجابة. من المستحسن تقليل هذا الكسر. يمكن تصغير الكسر بمقدار 2. ثم يأخذ الحل النهائي الشكل التالي:

يمكن فهم التعبير على أنه أخذ بيتزا من نصف بيتزا. لنفترض أن لدينا نصف بيتزا:

كيف تأخذ الثلثين من هذا النصف؟ تحتاج أولاً إلى تقسيم هذا النصف إلى ثلاثة أجزاء متساوية:

وخذ قطعتين من هذه القطع الثلاث:

سنحصل على بيتزا. تذكر كيف تبدو البيتزا مقسمة إلى ثلاثة أجزاء:

شريحة واحدة من هذه البيتزا والشريحتين اللتين أخذناهما سيكون لها نفس الأبعاد:

بعبارة أخرى ، نحن نتحدث عن نفس حجم البيتزا. لذلك ، فإن قيمة التعبير هي

مثال 2. أوجد قيمة التعبير

اضرب بسط الكسر الأول في بسط الكسر الثاني ، واضرب مقام الكسر الأول في مقام الكسر الثاني:

الجواب هو كسر غير فعلي. لنأخذ جزءًا كاملاً منه:

مثال 3أوجد قيمة التعبير

اضرب بسط الكسر الأول في بسط الكسر الثاني ، واضرب مقام الكسر الأول في مقام الكسر الثاني:

تبين أن الإجابة هي كسر صحيح ، لكنها ستكون جيدة إذا تم تقليلها. لتقليل هذا الكسر ، عليك قسمة بسط هذا الكسر ومقامه على الأكبر القاسم المشترك(gcd) أرقام 105 و 450.

إذن ، لنجد GCD للرقمين 105 و 450:

نقسم الآن بسط ومقام إجابتنا على GCD التي وجدناها الآن ، أي على 15

تمثيل عدد صحيح في صورة كسر

يمكن تمثيل أي عدد صحيح في صورة كسر. على سبيل المثال ، يمكن تمثيل الرقم 5 كـ. من هنا لن يغير الخمسة معناها ، لأن التعبير يعني "العدد خمسة مقسومًا على واحد" ، وهذا كما تعلمون يساوي خمسة:

أرقام عكسية

الآن سوف نتعرف على موضوع مثير للاهتمام للغاية في الرياضيات. يطلق عليه "الأرقام العكسية".

تعريف. عكس الرقمأ هو الرقم الذي عند ضربهأ يعطي وحدة.

لنعوض بهذا التعريف بدلاً من المتغير أرقم 5 وحاول قراءة التعريف:

عكس الرقم 5 هو الرقم الذي عند ضربه 5 يعطي وحدة.

هل من الممكن إيجاد رقم يعطي واحدًا عند ضربه في 5؟ اتضح أنك تستطيع. دعنا نمثل خمسة في صورة كسر:

ثم اضرب هذا الكسر في نفسه ، فقط بدل البسط والمقام. بعبارة أخرى ، دعونا نضرب الكسر في نفسه ، مقلوبًا فقط:

ماذا ستكون نتيجة هذا؟ إذا واصلنا حل هذا المثال ، فسنحصل على واحد:

هذا يعني أن معكوس الرقم 5 هو الرقم ، لأنه عندما يتم ضرب 5 في واحد ، يتم الحصول على واحد.

يمكن أيضًا العثور على المقلوب لأي عدد صحيح آخر.

يمكنك أيضًا إيجاد مقلوب أي كسر آخر. للقيام بذلك ، يكفي قلبه.

قسمة الكسر على رقم

لنفترض أن لدينا نصف بيتزا:

دعنا نقسمها بالتساوي بين اثنين. كم عدد البيتزا التي سيحصل عليها كل واحد؟

يمكن ملاحظة أنه بعد تقسيم نصف البيتزا ، تم الحصول على قطعتين متساويتين ، تشكل كل منهما بيتزا. حتى يحصل الجميع على بيتزا.

قسمة الكسور تتم باستخدام المعاملة بالمثل. تسمح لك المبادلات باستبدال القسمة بالضرب.

لقسمة كسر على رقم ، تحتاج إلى ضرب هذا الكسر في مقلوب المقسوم عليه.

باستخدام هذه القاعدة ، سنكتب قسمة نصف البيتزا إلى قسمين.

لذلك ، تحتاج إلى قسمة الكسر على الرقم 2. هنا المقسوم كسر والمقسوم عليه 2.

لقسمة كسر على الرقم 2 ، تحتاج إلى ضرب هذا الكسر في مقلوب المقسوم عليه 2. مقلوب المقسوم عليه 2 هو كسر. لذلك تحتاج إلى الضرب في