من المستحيل أن تدعي أنك تعرف الرياضيات إذا كنت لا تعرف كيفية بناء الرسوم البيانية ، وتصور عدم المساواة على خط إحداثيات ، والعمل مع محاور الإحداثيات. المكون المرئي في العلم أمر حيوي ، لأنه بدون أمثلة مرئية في الصيغ والحسابات ، في بعض الأحيان قد تشعر بالارتباك الشديد. في هذه المقالة ، سنرى كيفية العمل مع محاور الإحداثيات ومعرفة كيفية إنشاء الرسوم البيانية للوظائف البسيطة.
طلب
خط الإحداثيات هو أساس أبسط أنواع الرسوم البيانية التي يصادفها الطالب في مساره التعليمي. يتم استخدامه في كل موضوع رياضي تقريبًا: عند حساب السرعة والوقت ، وإسقاط حجم الكائنات وحساب مساحتها ، في علم المثلثات عند العمل باستخدام الجيب وجيب التمام.
القيمة الرئيسية لمثل هذا الخط المباشر هي الرؤية. نظرًا لأن الرياضيات علم يتطلب مستوى عالٍ من التفكير المجرد ، فإن الرسوم البيانية تساعد في تمثيل كائن ما في العالم الحقيقي. كيف يتصرف؟ في أي نقطة في الفضاء ستكون في بضع ثوان ، دقائق ، ساعات؟ ماذا يمكن أن يقال عنها بالمقارنة مع الأشياء الأخرى؟ ما هي سرعته في وقت تم اختياره بشكل عشوائي؟ كيف يميز حركته؟
ونحن نتحدث عن السرعة لسبب ما - غالبًا ما تكون الرسوم البيانية للوظائف هي التي تعرضها. ويمكنهم أيضًا عرض التغييرات في درجة الحرارة أو الضغط داخل الجسم وحجمه واتجاهه بالنسبة إلى الأفق. وبالتالي ، غالبًا ما يكون إنشاء خط إحداثيات مطلوبًا في الفيزياء أيضًا.
1D الرسم البياني
هناك مفهوم متعدد الأبعاد. برقم واحد فقط يكفي لتحديد موقع النقطة. هذا هو الحال بالضبط مع استخدام خط الإحداثيات. إذا كانت المساحة ثنائية الأبعاد ، فسيكون مطلوبًا وجود رقمين. يتم استخدام المخططات من هذا النوع في كثير من الأحيان ، وسندرسها بالتأكيد بشكل أكبر قليلاً في المقالة.
ما الذي يمكن رؤيته بمساعدة النقاط على المحور ، إذا كانت واحدة فقط؟ يمكنك أن ترى حجم الكائن ، وموضعه في الفضاء بالنسبة لبعض "الصفر" ، أي النقطة المختارة كأصل.
لن يكون من الممكن رؤية التغيير في المعلمات بمرور الوقت ، حيث سيتم عرض جميع القراءات للحظة واحدة محددة. ومع ذلك ، عليك أن تبدأ من مكان ما! اذا هيا بنا نبدأ.
كيفية بناء محور إحداثيات
تحتاج أولاً إلى رسم خط أفقي - سيكون هذا هو محورنا. على الجانب الأيمن ، "شحذ" بحيث يبدو كسهم. وبالتالي ، فإننا نشير إلى الاتجاه الذي ستزيد فيه الأرقام. في الاتجاه الهابط ، لا يتم وضع السهم عادةً. تقليديا ، يتم توجيه المحور إلى اليمين ، لذلك سنتبع هذه القاعدة ببساطة.
لنضع علامة الصفر ، والتي ستعرض أصل الإحداثيات. هذا هو المكان الذي يتم منه العد التنازلي ، سواء كان الحجم أو الوزن أو السرعة أو أي شيء آخر. بالإضافة إلى الصفر ، يجب علينا بالضرورة تحديد ما يسمى بسعر القسمة ، أي إدخال معيار الوحدة ، والذي بموجبه سنرسم كميات معينة على المحور. يجب القيام بذلك حتى تتمكن من إيجاد طول المقطع على خط الإحداثيات.
من خلال مسافة متساوية من بعضنا البعض ، نضع النقاط أو "الشقوق" على الخط ، وتحتها نكتب 1 ، 2 ، 3 ، على التوالي ، وهكذا. والآن ، كل شيء جاهز. ولكن مع الجدول الناتج ، ما زلت بحاجة إلى تعلم كيفية العمل.
أنواع النقاط على خط الإحداثيات
للوهلة الأولى على الرسومات المقترحة في الكتب المدرسية ، يصبح من الواضح: النقاط الموجودة على المحور يمكن ملؤها أو عدم ملؤها. هل تعتقد أنها مصادفة؟ مُطْلَقاً! يتم استخدام النقطة "الصلبة" لعدم المساواة غير الصارمة - النقطة التي تقرأ "أكبر من أو يساوي". إذا احتجنا إلى تقييد الفترة الزمنية (على سبيل المثال ، يمكن أن تأخذ "x" قيمًا من صفر إلى واحد ، ولكنها لا تشملها) ، فسنستخدم نقطة "مجوفة" ، أي في الواقع ، دائرة صغيرة على المحور. تجدر الإشارة إلى أن الطلاب لا يحبون حقًا عدم المساواة الصارمة ، لأن التعامل معهم أكثر صعوبة.
اعتمادًا على النقاط التي تستخدمها على الرسم البياني ، سيتم تسمية الفترات الزمنية أيضًا. إذا كانت المتباينة في كلا الطرفين غير صارمة ، فسنحصل على جزء. إذا اتضح من ناحية أنه "مفتوح" ، فسيتم استدعاؤه بنصف فترة. أخيرًا ، إذا تم تقييد جزء من الخط على كلا الجانبين بنقاط مجوفة ، فسيتم تسميته بالفاصل الزمني.
طائرة
عند إنشاء خطين ، يمكننا بالفعل النظر في الرسوم البيانية للوظائف. لنفترض أن الخط الأفقي هو محور الوقت والخط العمودي هو المسافة. والآن يمكننا تحديد المسافة التي سيتغلب عليها الجسم في دقيقة أو ساعة من السفر. وبالتالي ، فإن العمل باستخدام مستوى يجعل من الممكن مراقبة التغيير في حالة الكائن. هذا أكثر إثارة للاهتمام من استكشاف حالة ثابتة.
أبسط رسم بياني على مثل هذا المستوى هو خط مستقيم ؛ فهو يعكس الوظيفة Y (X) = aX + b. هل الخط ينحني؟ هذا يعني أن الكائن يغير خصائصه في عملية البحث.
تخيل أنك تقف على سطح مبنى ممسكًا بحجر في يدك الممدودة. عندما تحرره ، سوف يطير لأسفل ، ويبدأ حركته من الصفر. لكنه سيتغلب في ثانية على 36 كيلومترًا في الساعة. سيستمر الحجر في التسارع أكثر ، ومن أجل رسم حركته على الرسم البياني ، ستحتاج إلى قياس سرعته في عدة نقاط زمنية عن طريق تحديد نقاط على المحور في الأماكن المناسبة.
يتم تسمية العلامات الموجودة على خط الإحداثيات الأفقي افتراضيًا X1 و X2 و X3 وعلى العمود الرأسي - Y1 و Y2 و Y3 على التوالي. بإسقاطها على مستوى وإيجاد التقاطعات ، نجد شظايا من النمط الناتج. من خلال ربطهم بخط واحد ، نحصل على رسم بياني للوظيفة. في حالة سقوط الحجر ، ستبدو الدالة التربيعية كما يلي: Y (X) = aX * X + bX + c.
حجم
بالطبع ، ليس من الضروري تعيين قيم صحيحة بجانب الأقسام بخط مستقيم. إذا كنت تفكر في حركة حلزون يزحف بسرعة 0.03 متر في الدقيقة ، فقم بتعيين القيم على خط الإحداثيات المستقيم. في هذه الحالة ، اضبط قيمة القسمة على 0.01 متر.
من الملائم بشكل خاص تنفيذ مثل هذه الرسومات في دفتر ملاحظات في قفص - هنا يمكنك على الفور معرفة ما إذا كانت هناك مساحة كافية على الورقة لجدولك الزمني ، وما إذا كنت ستتجاوز الهوامش. ليس من الصعب حساب قوتك ، لأن عرض الخلية في مثل هذا الكمبيوتر المحمول يبلغ 0.5 سم. استغرق الأمر - تقليل الصورة. من خلال تغيير مقياس الرسم البياني ، فإنه لن يفقد أو يغير خصائصه.
إحداثيات النقطة والخط
عندما يتم إعطاء مشكلة رياضية في الدرس ، فقد تحتوي على معلمات لأشكال هندسية مختلفة ، سواء في شكل أطوال الأضلاع ، والمحيط ، والمساحة ، وفي شكل إحداثيات. في هذه الحالة ، قد تحتاج إلى إنشاء شكل والحصول على بعض البيانات المرتبطة به. السؤال الذي يطرح نفسه: كيف تجد المعلومات المطلوبة على خط الإحداثيات؟ وكيف نبني الشكل؟
على سبيل المثال ، نحن نتحدث عن نقطة. ثم سيظهر حرف كبير في حالة المشكلة ، وستظهر عدة أرقام بين قوسين ، وغالبًا ما يكون رقمان (وهذا يعني أننا سنعد في الفضاء ثنائي الأبعاد). إذا كان هناك ثلاثة أرقام بين قوسين ، مفصولة بفاصلة منقوطة أو فاصلة ، فهذا يعد مسافة ثلاثية الأبعاد. كل قيمة هي إحداثيات على المحور المقابل: أولاً على طول الأفقي (X) ، ثم على طول المحور الرأسي (Y).
تذكر كيف ترسم قطعة؟ لقد مررتها على الهندسة. إذا كانت هناك نقطتان ، فيمكن رسم خط بينهما. يشار إلى إحداثياتها بين قوسين إذا ظهر مقطع في المشكلة. على سبيل المثال: أ (15 ، 13) - ب (1 ، 4). لإنشاء مثل هذا الخط ، تحتاج إلى البحث عن النقاط ووضع علامة عليها على مستوى الإحداثيات ، ثم توصيلها. هذا كل شئ!
وأي مضلعات ، كما تعلم ، يمكن رسمها باستخدام المقاطع. تم حل المشكلة.
العمليات الحسابية
لنفترض أن هناك شيئًا ما يتميز موقعه على طول المحور X برقمين: يبدأ من النقطة بالإحداثيات (-3) وينتهي عند (+2). إذا أردنا معرفة طول هذا الكائن ، فعلينا طرح الرقم الأصغر من العدد الأكبر. لاحظ أن العدد السالب يمتص علامة الطرح ، لأن "a ناقص في a ناقص يساوي a زائد". فنضيف (2 + 3) ونحصل على 5. هذه هي النتيجة المطلوبة.
مثال آخر: حصلنا على نقطة النهاية وطول الكائن ، ولكن ليس نقطة البداية (ونحتاج إلى العثور عليها). اجعل موضع النقطة المعروفة (6) ، ويكون حجم الشيء قيد الدراسة (4). بطرح الطول من الإحداثي النهائي ، نحصل على الإجابة. المجموع: (6-4) = 2.
الأعداد السالبة
غالبًا ما يكون مطلوبًا من الناحية العملية العمل مع القيم السلبية. في هذه الحالة ، سوف نتحرك على طول محور الإحداثيات إلى اليسار. على سبيل المثال ، يطفو جسم ارتفاعه 3 سم في الماء. ثلثه مغمور في السائل ، وثلثا في الهواء. بعد ذلك ، باختيار سطح الماء كمحور ، نحصل على رقمين باستخدام أبسط الحسابات الحسابية: إحداثي النقطة العلوية للكائن (+2) ، والنقطة السفلية - (-1) سم.
من السهل ملاحظة أنه في حالة المستوى ، لدينا أربعة أرباع خط الإحداثيات. كل واحد منهم لديه رقمه الخاص. في الجزء الأول (أعلى اليمين) ستكون هناك نقاط لها إحداثيان موجبان ، في الجزء الثاني - من أعلى اليسار - ستكون قيم المحور X سالبة ، وعلى طول المحور Y - موجبة. يتم حساب الثالث والرابع بشكل أكبر عكس اتجاه عقارب الساعة.
خاصية مهمة
أنت تعلم أنه يمكن تمثيل الخط بعدد لا نهائي من النقاط. يمكننا أن ننظر بعناية كما نحب أي عدد من القيم في كل اتجاه للمحور ، لكننا لن نلتقي بالقيم المتكررة. يبدو الأمر ساذجًا ومفهومًا ، لكن هذا البيان ينبع من حقيقة مهمة: كل رقم يتوافق مع نقطة واحدة فقط على خط الإحداثيات.
خاتمة
تذكر أن أي محاور وأشكال ، وإذا أمكن ، رسومات يجب أن تُبنى على مسطرة. وحدات القياس لم يخترعها الإنسان بالصدفة - إذا ارتكبت خطأ أثناء الرسم ، فإنك تخاطر برؤية صورة لم تكن الصورة التي كان ينبغي أن تكون.
كن حذرًا ودقيقًا في رسم الرسوم البيانية والحسابات. الرياضيات مثل أي علم يدرس في المدرسة تحب الدقة. ضع القليل من الجهد ولن تستغرق الدرجات الجيدة وقتًا طويلاً.
هذه المقالة مخصصة لتحليل مفاهيم مثل شعاع الإحداثيات وخط الإحداثيات. سنركز على كل مفهوم وننظر في الأمثلة بالتفصيل. بفضل هذه المقالة ، يمكنك تحديث معلوماتك أو التعرف على موضوع ما دون مساعدة المعلم.
من أجل تحديد مفهوم الشعاع الإحداثي ، يجب أن يكون لدى المرء فكرة عن ماهية الشعاع.
التعريف 1
شعاع- هذا شكل هندسي له أصل الشعاع الإحداثي واتجاه الحركة. عادة ما يتم تصوير الخط المستقيم أفقيًا ، مما يشير إلى الاتجاه إلى اليمين.
في المثال ، نرى أن O هي بداية الحزمة.
مثال 1
يتم تصوير شعاع الإحداثيات وفقًا لنفس المخطط ، ولكنه يختلف اختلافًا كبيرًا. نضع نقطة مرجعية ونقيس قطعة واحدة.
مثال 2
التعريف 2
قطعة واحدةهي المسافة من 0 إلى النقطة المحددة للقياس.
مثال 3
من نهاية مقطع واحد ، تحتاج إلى وضع القليل من الضربات جانبًا وعمل ترميز.
بفضل التلاعب الذي قمنا به مع الشعاع ، أصبح تنسيقًا إحداثيًا. قم بتوقيع الحدود بأرقام طبيعية بالتسلسل من 1 - على سبيل المثال ، 2 ، 3 ، 4 ، 5 ...
مثال 4
التعريف 3
هو مقياس يمكن أن يستمر إلى أجل غير مسمى.
غالبًا ما يتم تصويره على أنه شعاع مع بدايته عند النقطة O ، ويتم وضع جزء واحد من الوحدة جانبًا. ويرد مثال في الشكل.
مثال 5
على أي حال ، سنتمكن من مواصلة المقياس حتى الرقم الذي نحتاجه. يمكنك كتابة الأرقام كما تريد - تحت الشعاع أو فوقه.
مثال 6
يمكن استخدام كل من الأحرف الكبيرة والصغيرة لعرض إحداثيات الأشعة.
مبدأ صورة خط الإحداثيات هو عمليا نفس صورة الحزمة. الأمر بسيط - ارسم شعاعًا وأكمله إلى خط مستقيم ، مع إعطاء اتجاه إيجابي ، يُشار إليه بسهم.
مثال 7
ارسم شعاعًا في الاتجاه المعاكس ، وقم بإضافته إلى خط مستقيم
المثال 8
ضع جانبًا شرائح فردية وفقًا للمثال أعلاه
اكتب على الجانب الأيسر الأعداد الطبيعية 1 ، 2 ، 3 ، 4 ، 5 ... مع الإشارة المعاكسة. انتبه إلى المثال.
المثال 9
يمكنك وضع علامة على الأصل وشرائح مفردة فقط. انظر إلى مثال لترى كيف سيبدو.
المثال 10
التعريف 4
- هذا خط مستقيم ، يتم تصويره بنقطة مرجعية محددة ، والتي يتم أخذها على أنها 0 ، مقطع واحد واتجاه حركة معين.
المراسلات بين نقاط خط إحداثيات وأرقام حقيقية
يمكن أن يحتوي خط الإحداثيات على العديد من النقاط. ترتبط ارتباطًا مباشرًا بالأرقام الحقيقية. يمكن تعريف هذا على أنه مراسلات واحد لواحد.
التعريف 5
تتوافق كل نقطة على خط الإحداثيات مع رقم حقيقي واحد ، وكل رقم حقيقي يتوافق مع نقطة واحدة على خط الإحداثيات.
من أجل فهم القاعدة بشكل أفضل ، يجب على المرء تحديد نقطة على خط الإحداثيات ومعرفة الرقم الطبيعي الذي يتوافق مع العلامة. إذا تزامنت هذه النقطة مع الأصل ، فسيتم تمييزها بصفر. إذا كانت النقطة لا تتطابق مع الأصل ، فإننا نخصص العدد المطلوب من مقاطع الوحدة جانبًا حتى نصل إلى العلامة المحددة. الرقم المكتوب أدناه يتوافق مع هذه النقطة. في المثال أدناه ، سنعرض لك هذه القاعدة بصريًا.
المثال 11
إذا لم نتمكن من العثور على نقطة عن طريق وضع أجزاء مفردة جانبًا ، فيجب علينا أيضًا تحديد النقاط التي تشكل عُشرًا أو جزءً من مائة أو جزء من الألف من المقطع الفردي. يمكن رؤية هذه القاعدة بالتفصيل مع مثال.
من خلال وضع العديد من هذه المقاطع جانبًا ، لا يمكننا الحصول على عدد صحيح فحسب ، بل أيضًا عدد كسري - موجب وسالب.
ستساعدنا المقاطع المميزة في العثور على النقطة الضرورية على خط الإحداثيات. يمكن أن يكون كلا من الأعداد الصحيحة والكسرية. ومع ذلك ، هناك نقاط على الخط يصعب العثور عليها باستخدام مقاطع فردية. هذه النقاط تتوافق مع الكسور العشرية. من أجل البحث عن نقطة مماثلة ، سيتعين عليك تخصيص جزء واحد ، الجزء العاشر ، والمائة ، والألف ، والعشرة آلاف وأجزاء أخرى منه. الرقم غير النسبي π (= 3 ، 141592...) يتوافق مع نقطة واحدة من خط الإحداثيات.
تتضمن مجموعة الأعداد الحقيقية جميع الأعداد التي يمكن كتابتها في صورة كسر. هذا يسمح بتحديد القاعدة.
التعريف 6
تتوافق كل نقطة من خط الإحداثيات مع رقم حقيقي محدد. تحدد النقاط المختلفة أرقامًا حقيقية مختلفة.
هذه المراسلات فريدة - كل نقطة تتوافق مع رقم حقيقي معين. لكنها تعمل أيضًا في الاتجاه المعاكس. يمكننا أيضًا تحديد نقطة معينة على خط الإحداثيات تشير إلى رقم حقيقي محدد. إذا لم يكن الرقم عددًا صحيحًا ، فسنحتاج إلى تحديد عدة مقاطع فردية ، وكذلك أعشار ، ومئات في اتجاه معين. على سبيل المثال ، الرقم 400350 يتوافق مع نقطة على خط الإحداثيات ، والتي يمكن الوصول إليها من الأصل عن طريق وضع جانباً 400 قطعة وحدة في الاتجاه الإيجابي ، و 3 أجزاء تشكل عُشر وحدة ، و 5 أجزاء - جزء من ألف .
في هذا الدرس ، سوف نتعرف على مفهوم خط الإحداثيات ، ونشتق خصائصه وخصائصه الرئيسية. دعونا نصيغ ونتعلم كيفية حل المهام الرئيسية. دعنا نحل بعض الأمثلة على مجموعة من هذه المسائل.
من مسار الهندسة ، نعرف ما هو الخط المستقيم ، ولكن ما الذي يجب فعله بخط مستقيم عادي لجعله إحداثيًا؟
1) حدد نقطة البداية ؛
2) اختر الاتجاه.
3) حدد النطاق ؛
يوضح الشكل 1 خطًا مستقيمًا عاديًا ، ويوضح الشكل 2 خط إحداثيات.
خط الإحداثيات هو مثل هذا الخط المستقيم l ، حيث يتم اختيار النقطة الأولية O - الأصل ، والمقياس عبارة عن جزء من الوحدة ، أي ، مثل هذا المقطع ، والذي يعتبر طوله مساوياً لواحد ، و اتجاه إيجابي.
يسمى خط الإحداثيات أيضًا محور الإحداثيات أو المحور السيني.
دعنا نتعرف على سبب حاجتنا إلى خط إحداثيات ، لذلك نحدد خاصيته الرئيسية. يُنشئ خط الإحداثيات تطابقًا واحدًا لواحد بين مجموعة جميع الأرقام ومجموعة جميع النقاط على هذا الخط. وهنا بعض الأمثلة:
تم إعطاء رقمين: (علامة "+" ، المقياس ثلاثة) و (علامة "-" ، المقياس ثلاثة) لنرسم هذه الأرقام على خط الإحداثيات:
هنا يسمى الرقم إحداثي أ ، الرقم هو إحداثي ب.
يقولون أيضًا أن صورة الرقم هي النقطة C ذات الإحداثيات ، وصورة الرقم هي النقطة D ذات الإحداثيات:
لذلك ، نظرًا لأن الخاصية الرئيسية لخط الإحداثيات هي إنشاء تطابق واحد لواحد بين النقاط والأرقام ، تنشأ مهمتان رئيسيتان: للإشارة إلى نقطة برقم معين ، لقد فعلنا ذلك بالفعل أعلاه ، والإشارة رقم بنقطة معينة. ضع في اعتبارك مثالًا للمهمة الثانية:
دع النقطة M تعطى:
لتحديد الرقم من نقطة معينة ، يجب عليك أولاً تحديد المسافة من النقاط المرجعية إلى النقطة. في هذه الحالة ، المسافة هي اثنان. أنت الآن بحاجة إلى تحديد علامة الرقم ، أي في أي شعاع من الخط المستقيم تقع النقطة M. في هذه الحالة ، تقع النقطة على يمين النقطة المرجعية ، في الشعاع الموجب ، وهو ما يعني الرقم سيكون لها علامة "+".
لنأخذ نقطة أخرى ونحدد الرقم منها:
المسافة من النقطة المرجعية إلى النقطة ، على غرار المثال السابق ، تساوي اثنين ، ولكن في هذه الحالة تقع النقطة على يسار النقطة المرجعية ، على الشعاع السالب ، مما يعني أن النقطة N تميز الرقم
ترتبط جميع المشكلات النموذجية المرتبطة بخط الإحداثيات بطريقة ما بخصائصه الرئيسية والمشكلتين الرئيسيتين اللتين قمنا بصياغتهما وحلهما.
تشمل المهام النموذجية ما يلي:
-تكون قادرة على وضع النقاط وإحداثياتها;
-فهم مقارنة الأرقام:
يعني التعبير أن النقطة C ذات الإحداثيات 4 تقع على يمين النقطة M مع التنسيق 2:
والعكس صحيح ، إذا حصلنا على موقع النقاط على خط الإحداثيات ، يجب أن نفهم أن إحداثياتها مرتبطة بنسبة معينة:
دع النقاط M (x M) و N (x N) تعطى:
نرى أن النقطة M تقع على يمين النقطة n ، مما يعني أن إحداثياتها مرتبطة
-تحديد المسافة بين النقاط.
نعلم أن المسافة بين النقطتين X و A تساوي مقياس العدد. دعنا نعطي نقطتين:
ثم تكون المسافة بينهما:
مهمة أخرى مهمة للغاية وصف هندسي للمجموعات العددية.
ضع في اعتبارك أن شعاعًا يقع على محور الإحداثيات ، ولا يشمل أصله ، ولكنه يشمل جميع النقاط الأخرى:
إذن ، لدينا مجموعة من النقاط تقع على محور الإحداثيات. دعونا نصف مجموعة الأرقام التي تتميز بمجموعة معينة من النقاط. يوجد عدد لا حصر له من هذه الأرقام والنقاط ، لذا يبدو هذا الإدخال كالتالي:
دعونا نقدم شرحًا: في الإصدار الثاني من الترميز ، إذا وضعوا قوسًا دائريًا "(" يعني الرقم المتطرف - في هذه الحالة ، الرقم 3 ، غير مدرج في المجموعة ، ولكن إذا وضعت قوسًا مربعًا " ["، فسيتم تضمين الرقم الأقصى في المجموعة.
لذلك ، فقد كتبنا تحليليًا مجموعة عددية تميز مجموعة معينة من النقاط. يتم تنفيذ الترميز التحليلي ، كما قلنا ، إما في شكل متباينة أو في شكل فترة.
يتم إعطاء مجموعة من النقاط:
في هذه الحالة ، يتم تضمين النقطة أ = 3 في المجموعة. دعونا نصف تحليليًا مجموعة الأرقام:
لاحظ أنه بعد علامة اللانهاية أو قبلها ، يتم وضع قوس دائمًا ، لأننا لن نصل أبدًا إلى اللانهاية ، ويمكن أن يكون الرقم إما قوسًا دائريًا أو قوسًا مربعًا ، اعتمادًا على ظروف المهمة.
ضع في اعتبارك مثالًا لمشكلة معكوسة.
نظرا لخط الإحداثيات. ارسم عليها مجموعة من النقاط المقابلة للمجموعة العددية و:
يقوم خط الإحداثيات بإنشاء مراسلات فردية بين أي نقطة ورقم ، وبالتالي بين المجموعات العددية ومجموعات النقاط. لقد درسنا الأشعة الموجهة في كلا الاتجاهين الموجب والسالب ، بما في ذلك الرأس وعدم تضمينه. الآن دعونا نلقي نظرة على الشرائح.
المثال 10:
يتم إعطاء مجموعة من الأرقام. ارسم مجموعة النقاط المقابلة
المثال 11:
يتم إعطاء مجموعة من الأرقام. ارسم مجموعة من النقاط:
في بعض الأحيان ، لإظهار عدم تضمين نهايات المقطع في المجموعة ، يتم رسم الأسهم:
المثال 12:
نظرا لمجموعة عدد. بناء نموذجها الهندسي:
ابحث عن أصغر رقم من الفترة الزمنية:
ابحث عن أكبر رقم من الفترة الزمنية ، إذا كان موجودًا:
يمكننا طرح عدد صغير عشوائيًا من ثمانية ونقول إن النتيجة ستكون أكبر رقم ، لكننا سنجد على الفور عددًا أصغر ، وستزيد نتيجة الطرح ، لذلك من المستحيل إيجاد أكبر رقم في هذه الفترة .
دعونا ننتبه إلى حقيقة أنه من المستحيل العثور على أقرب رقم لأي رقم على خط الإحداثيات ، لأنه سيكون هناك دائمًا رقم أقرب.
كم عدد الأعداد الطبيعية في الفترة المحددة؟
من الفاصل الزمني نختار الأعداد الطبيعية التالية: 4 ، 5 ، 6 ، 7 - أربعة أعداد طبيعية.
تذكر أن الأعداد الطبيعية هي الأعداد المستخدمة للعد.
لنأخذ مجموعة أخرى.
المثال 13:
نظرا لمجموعة من الأرقام
بناء نموذجها الهندسي:
موضوع الدرس:
« ينسق على خط مستقيم»
الغرض من الدرس:
تعريف الطلاب بخط الإحداثيات والأرقام السالبة.
أهداف الدرس:
التدريب: تعريف الطلاب بخط الإحداثيات والأرقام السالبة.
التطوير: تنمية التفكير المنطقي ، توسيع آفاق المرء.
التربوية: تنمية الاهتمام المعرفي ، تعليم ثقافة المعلومات.
خطة الدرس:
لحظة تنظيمية.التحقق من استعداد الطلاب للدرس.
تحديث المعرفة الأساسية.مسح شفوي للطلاب حول الموضوع المغطى.
شرح مادة جديدة.
4. توحيد المادة المدروسة.
5. تلخيص.ملخص لما تم تعلمه في الدرس. أسئلة من الطلاب.
6. الاستنتاجات.تلخيص النقاط الرئيسية للدرس. تقييم المعرفة. وضع العلامات.
7. العمل في المنزل. العمل المستقل للطلاب مع المادة المدروسة.
المعدات: الطباشير ،لوح ، شرائح.
مخطط تفصيلي موسع
اسم المرحلة والمحتوى
نشاط
نشاط
طلاب
أنا مرحلة
لحظة تنظيمية. تحيات.
ملء المجلة.
يحيي الفصل ، يعطي رئيس الفصل قائمة بالغائبين.
الق التحية على
مدرس
المرحلة الثانية
تحديث المعرفة الأساسية.
قال العالم اليوناني القديم فيثاغورس: "الأرقام تحكم العالم". نحن نعيش في عالم الأرقام هذا ، وفي سنوات دراستنا نتعلم العمل بأرقام مختلفة.
1 ما هي الأرقام التي نعرفها بالفعل لدرس اليوم؟
2 ما هي المشاكل التي تساعدنا هذه الأرقام في حلها؟
ننتقل اليوم إلى دراسة الفصل الثاني من كتابنا "الأعداد المنطقية" ، حيث سنوسع معرفتنا بالأرقام ، وبعد دراسة الفصل بأكمله "الأعداد المنطقية" سنتعلم كيفية أداء جميع الإجراءات التي تعرفها معهم. وابدأ بسطر تنسيق الموضوع.
1. الكسور الطبيعية ، الشائعة ، الكسور العشرية
2- الجمع والطرح والضرب والقسمة وإيجاد كسر من رقم ورقم من كسره وحل المعادلات والمسائل المختلفة.
المرحلة الثالثة
شرح مادة جديدة.
لنأخذ الخط AB ونقسمه بالنقطة O إلى شعاعين إضافيين - OA و OB. نختار قطعة واحدة على خط مستقيم ونأخذ النقطة O كأصل واتجاه.
تعريفات:
يسمى الخط المستقيم مع اختيار نقطة مرجعية عليه ، وقطعة الوحدة والاتجاه خط الإحداثيات.
يسمى الرقم الذي يوضح موضع نقطة على خط مستقيم بإحداثيات هذه النقطة.
كيف نبني خط إحداثيات؟
ارسم مباشرة
ضع شريحة واحدة
تشير إلى الاتجاه
يمكن رسم خط الإحداثيات بطرق مختلفة: أفقيًا وعموديًا وفي أي زاوية أخرى في الأفق ، وله بداية ولكن ليس له نهاية.
التمرين 1. أي من الأسطر التالية غير متناسق؟ (شريحة)
دعنا نرسم خط إحداثيات ، ونضع علامة على أصل الإحداثيات ، وقطعة وحدة ونضع جانباً النقاط 1 ، 2 ، 3 ، 4 وهكذا إلى اليسار واليمين.
لنلقِ نظرة على خط الإحداثيات الناتج. لماذا هذا الخط المستقيم غير مريح؟
يُطلق على الاتجاه إلى اليمين من نقطة الأصل اسم موجب ، ويُشار إلى الاتجاه على الخط المستقيم بسهم. الأرقام الموجودة على يمين النقطة O تسمى موجبة. توجد الأرقام السالبة على يسار النقطة O ، والاتجاه على يسار النقطة O يسمى بالسالب (الاتجاه السلبي غير محدد). إذا كان خط الإحداثيات يقع عموديًا ، ثم أعلى من الأصل - أرقام موجبة ، أدناه من الأصل - سالبة. تتم كتابة الأرقام السالبة بعلامة "-". يقرأون: "ناقص واحد" ، "ناقص اثنين" ، "ناقص ثلاثة" ، إلخ. الرقم 0 - الأصل ليس موجبًا ولا سالبًا. يفصل بين الأعداد الموجبة والسالبة.
أدى حل المعادلات ومفهوم "الدين" في حسابات التداول إلى ظهور أرقام سلبية.
ظهرت الأعداد السالبة في وقت متأخر جدًا عن الأعداد الطبيعية والكسور العادية. تم العثور على المعلومات الأولى حول الأرقام السالبة بين علماء الرياضيات الصينيين في القرن الثاني قبل الميلاد. قبل الميلاد ه. ثم فُسرت الأرقام الإيجابية على أنها ملكية ، والأرقام السالبة على أنها ديون ونقص. في أوروبا ، جاء الاعتراف بعد ألف عام ، وحتى ذلك الحين ، كانت الأرقام السالبة تسمى "زائفة" أو "خيالية" أو "سخيفة" لفترة طويلة. في القرن السابع عشر ، تلقت الأرقام السالبة تمثيلًا هندسيًا مرئيًا على خط الأعداد.
يمكنك أيضًا إعطاء أمثلة على خط الإحداثيات: مقياس حرارة ، مقارنة بين قمم الجبال والمنخفضات (مستوى سطح البحر يعتبر صفرًا) ، المسافة على الخريطة ، عمود المصعد ، المنازل ، الرافعات.
يفكرهل تعرف أي أمثلة أخرى لخط الإحداثيات؟
مهام.
المهمة 2. قم بتسمية إحداثيات النقاط.
المهمة 3. ارسم النقاط على خط إحداثيات
المهمة 4 . ارسم خطًا أفقيًا وحدد النقطة O عليه. ضع علامة على النقاط A و B و C و K على هذا الخط إذا عُرف أن:
A هي 9 خلايا على يمين O ؛
B تساوي 6.5 خلية على يسار O ؛
C هي 3½ مسافات على يمين O ؛
K هي 3 مسافات على يسار O .
مسجل في الملاحظات الأساسية.
استمع ، استكمل.
أكمل المهمة في دفتر ملاحظاتك ثم اشرح إجاباتك بصوت عالٍ.
ارسم ، حدد أصل الإحداثيات مقطعًا واحدًا
مثل هذا الخط المستقيم غير مريح لأن نفس الرقم يتوافق مع نقطتين على الخط المستقيم.
التاريخ قبل عصرنا وعصرنا.
المرحلة الرابعة
توحيد المادة المدروسة.
1. ما هو خط الإحداثيات؟
2. كيفية بناء خط تنسيق؟
1. يسمى الخط المستقيم مع اختيار نقطة مرجعية عليه ، وقطعة وحدة واتجاه خط الإحداثيات
2) ارسم خطًا مستقيمًا
بمناسبة بداية العد التنازلي
ضع شريحة واحدة
تشير إلى الاتجاه
المرحلة الخامسة
تلخيص
ما الجديد الذي تعلمناه اليوم؟
تنسيق الخط والأرقام السالبة.
المرحلة السادسة
تقييم المعرفة. وضع العلامات.
العمل في المنزل.
قم بإعداد أسئلة حول الموضوع المغطى (تعرف على إجاباتها)
في نهاية الفصل الأول ، تحدثنا عن حقيقة أنه في سياق الجبر ، أنت وأنا بحاجة إلى تعلم وصف المواقف الحقيقية بالكلمات (نموذج لفظي) ، جبريًا (جبري أو ، كما يقول علماء الرياضيات غالبًا ، نموذج تحليلي) ، بيانيا (نموذج رسومي أو هندسي). القسم الأول بأكمله كتاب مدرسي(الفصول 1-5) خصصت لدراسة اللغة الرياضية التي توصف بها النماذج التحليلية.
بدءًا من الفصل السادس ، سوف ندرس ليس فقط النماذج التحليلية الجديدة ، ولكن أيضًا النماذج الرسومية (الهندسية). تم بناؤها باستخدام خط إحداثيات ، خطة تنسيق. هذه المفاهيم مألوفة لك قليلاً من دورة الرياضيات في الصفوف 5-6.
خط مستقيم / ، على أساسه نقطة O (نقطة مرجعية) ، مقياس (مفرد القطعة المستقيمة، أي المقطع ، الذي يعتبر طوله مساوياً لـ 1) والاتجاه الموجب ، يسمى خط الإحداثيات ، أو محور الإحداثيات (الشكل 7) ؛ مصطلح "x-axis" مستخدم أيضاً.
كل رقم يتوافق مع نقطة واحدة على الخط. على سبيل المثال ، الرقم 3.5 يتوافق مع النقطة M (الشكل 8) ، والتي تمت إزالتها من الأصل ، أي من النقطة O ، على مسافة تساوي 3.5 (على مقياس معين) ، وتأجيلها من النقطة O في اتجاه معين (إيجابي). الرقم -4 يتوافق مع النقطة P (انظر الشكل 8) ، والتي تمت إزالتها من النقطة O على مسافة تساوي 4 ، وتأجيلها من النقطة O في الاتجاه السلبي ، أي في الاتجاه المعاكس للنقطة المعطاة واحد.
العكس صحيح أيضًا: كل نقطة من خط الإحداثيات تتوافق مع رقم واحد.
على سبيل المثال ، النقطة K ، وهي 5.4 من النقطة O في الاتجاه الموجب (المعطى) ، تقابل الرقم 5.4 ، والنقطة N ، وهي 2.1 من النقطة O في الاتجاه السالب ، تقابل الرقم - 2.1 (انظر الشكل 8).
تسمى هذه الأرقام إحداثيات النقاط المقابلة. لذلك ، في الشكل. 8 نقطة K لها إحداثيات 5.4 ؛ النقطة P - تنسيق -4 ؛ النقطة M - تنسيق 3.5 ؛ النقطة N - تنسيق -2.1 ؛ النقطة O - تنسيق 0 (صفر). ومن هنا الاسم - "تنسيق الخط". من الناحية المجازية ، فإن خط الإحداثيات عبارة عن منزل مكتظ بالسكان ، وسكان هذا المنزل هم نقاط ، وإحداثيات النقاط هي عدد الشقق التي يعيش فيها سكان النقاط.
لماذا نحتاج إلى خط إحداثيات؟ لماذا تميز نقطة برقم ورقم بنقطة؟ هل هناك أي فائدة لهذا؟ نعم لدي.
دعنا ، على سبيل المثال ، يتم إعطاء نقطتين على خط الإحداثيات: A - مع الإحداثيات o و B - مع الإحداثيات b (عادةً في مثل هذه الحالات يكتبون أقصر:
أ (أ) ، ب (ب)). لنفترض أننا بحاجة إلى إيجاد المسافة d بين النقطتين A و B ، فقد اتضح أننا بدلًا من القيام بذلك القياسات الهندسية، فقط استخدم الصيغة الجاهزة د \ u003d (أ - ب) (لقد درستها في الصف 6).
لذلك ، في الشكل 8 لدينا:
في محاولة لإيجاز الاستدلال ، وافق علماء الرياضيات بدلاً من العبارة الطويلة "النقطة أ من خط الإحداثيات ، مع تنسيق أ" ، على استخدام عبارة قصيرة: "النقطة أ" ، وبالتالي ، في الرسم ، النقطة الموجودة أسفل يتم الإشارة إلى الاعتبار من خلال تنسيقه. لذلك ، يوضح الشكل 9 خط إحداثيات ، يتم تمييز النقاط عليه - 4 ؛ - 2.1 ؛ 0 ؛ 1 ؛ 3.5 ؛ 5.4.
يمنحنا خط الإحداثيات الفرصة للتبديل بحرية من اللغة الجبرية إلى اللغة الهندسية والعكس صحيح. لنفترض ، على سبيل المثال ، أن الرقم أ أقل من الرقم ب. في اللغة الجبرية ، يكتب هذا على النحو التالي: أ< b; на геометрическом языке это означает, что точка а расположена на координатной прямой левее точки b.
ومع ذلك ، فإن كلا اللغتين الجبرية والهندسية هما نوعان مختلفان من نفس اللغة الرياضية التي ندرسها.
دعنا نتعرف على العديد من عناصر اللغة الرياضية المرتبطة بخط الإحداثيات.
1. دع نقطة يتم تمييزها على خط الإحداثيات. ضع في اعتبارك جميع النقاط التي تقع على الخط الموجود على يمين النقطة أ ، وقم بتمييز الجزء المقابل بظهور خط الإحداثيات (الشكل 10). تسمى هذه المجموعة من النقاط (الأرقام) شعاعًا مفتوحًا ويُشار إليها بالرمز (a ، + oo) ، حيث تقرأ علامة + oo: "plus infinity" ؛ يتميز بعدم المساواة x> a (نعني ب dz أي نقطة في الحزمة).
يرجى ملاحظة: النقطة أ لا تنتمي إلى شعاع مفتوح ، ولكن إذا كانت هذه النقطة بحاجة إلى ربطها بحزمة مفتوحة ، فاكتب x \ u003e a أو ، وفقًا لذلك ، قم بالطلاء فوق النقطة b على الرسم (الشكل 13) ؛
بالنسبة إلى (-oo، b) سنستخدم أيضًا مصطلح ray.
3. دع النقطتين أ و ب يتم تعليمهما على خط الإحداثيات ، و< b (т. е. точка а расположена на прямой левее точки b). Рассмотрим все точки, которые лежат правее точки а, но левее точки b отметим соответствующую часть координатной прямой штриховкой (рис. 14).
تسمى هذه المجموعة (من الأرقام) بالفاصل الزمني ويُشار إليها بالرمز (أ ، ب).
يتميز بتفاوت مزدوج صارم أ< х < b (под х понимается любая точка интервала).
يرجى ملاحظة: الفاصل الزمني (أ ، ب) هو التقاطع (الجزء المشترك) بين شعاعين مفتوحين (-oo ، ب) و (أ ، + س س) - يظهر هذا بوضوح في الشكل 15.
إذا أضفنا نهاياته إلى الفترة (أ ، ب) ، أي النقطتين أ وب ، فسنحصل على المقطع [أ ، ب] (الشكل 16) ،
التي تتميز بعدم مساواة مزدوجة غير صارمة أ< х < b. Обратите внимание: в обозначении отрезка используют не круглые скобки, как это было в обозначении интервала, а квадратные; на чертеже точки а и b отмечены темными кружками, а не светлыми, как это было в случае интервала.
المقطع [أ ، ب] هو التقاطع (الجزء المشترك) شعاعين (-oo ، ب] والذي يتميز بعدم المساواة المزدوجة: أ< х < b - в первом случае, a < х < b - во втором случае.
لذلك ، قدمنا خمسة مصطلحات جديدة للغة الرياضية: شعاع ، شعاع مفتوح ، فاصل ، مقطع ، نصف فاصل. هناك أيضًا مصطلح عام: الفجوات العددية.
يعتبر خط الإحداثيات نفسه أيضًا فاصلًا رقميًا ؛ تم استخدام الترميز (-oo، + oo) لذلك.
تنزيل الرياضيات للصف السابع مجانًا ، وخطط الدروس ، والاستعداد للمدرسة عبر الإنترنت
A. V. Pogorelov ، الهندسة للصفوف 7-11 ، كتاب مدرسي للمؤسسات التعليمية
محتوى الدرس ملخص الدرسدعم إطار عرض الدرس بأساليب متسارعة تقنيات تفاعلية يمارس مهام وتمارين امتحان ذاتي ورش عمل ، تدريبات ، حالات ، أسئلة ، واجبات منزلية ، أسئلة مناقشة أسئلة بلاغية من الطلاب الرسوم التوضيحية مقاطع الصوت والفيديو والوسائط المتعددةصور فوتوغرافية ، صور رسومات ، جداول ، مخططات فكاهة ، نوادر ، نكت ، أمثال كاريكاتورية ، أقوال ، ألغاز كلمات متقاطعة ، اقتباسات الإضافات الملخصاترقائق المقالات لأوراق الغش الفضولي والكتب المدرسية الأساسية والإضافية معجم مصطلحات أخرى تحسين الكتب المدرسية والدروستصحيح الأخطاء في الكتاب المدرسيتحديث جزء في الكتاب المدرسي من عناصر الابتكار في الدرس واستبدال المعرفة القديمة بأخرى جديدة فقط للمعلمين دروس مثاليةخطة التقويم للسنة التوصيات المنهجية لبرنامج المناقشة دروس متكاملة
تحميل...