Odwrotne funkcje trygonometryczne. Wyraźmy poprzez wszystkie odwrotne funkcje trygonometryczne

Podano definicje odwrotnych funkcji trygonometrycznych i ich wykresy. A także wzory łączące odwrotne funkcje trygonometryczne, wzory na sumy i różnice.

Definicja odwrotnych funkcji trygonometrycznych

Ponieważ funkcje trygonometryczne są okresowe, ich funkcje odwrotne nie są unikalne. Zatem równanie y = grzech x, dla danego , ma nieskończenie wiele pierwiastków. Rzeczywiście, ze względu na okresowość sinusa, jeśli x jest takim pierwiastkiem, to tak jest x + 2πn(gdzie n jest liczbą całkowitą) będzie również pierwiastkiem równania. Zatem, odwrotne funkcje trygonometryczne są wielowartościowe. Aby ułatwić pracę z nimi, wprowadzono koncepcję ich głównych znaczeń. Rozważmy na przykład sinus: y = grzech x. grzech x Jeśli ograniczymy argument x do przedziału , to na nim funkcja y = rośnie monotonicznie. Dlatego ma unikalną funkcję odwrotną, która nazywa się arcsine: x =.

arcsin y

O ile nie zaznaczono inaczej, przez odwrotne funkcje trygonometryczne rozumiemy ich główne wartości, które wyznaczają poniższe definicje. Arcsine ( y=) Arcsin x jest odwrotną funkcją sinusa ( x =

grzech Arcsine ( Cosinus łukowy () Arcos x jest odwrotną funkcją sinusa ( jest odwrotną funkcją cosinusa ( przytulny

), posiadający dziedzinę definicji i zbiór wartości. Arcsine ( Arcus tangens () Arktan x jest odwrotną funkcją sinusa ( jest odwrotną funkcją tangensa ( przytulny

tg y Arcsine ( arckotangens () arcctg x jest odwrotną funkcją sinusa ( jest odwrotną funkcją cotangensu ( przytulny

ctg y

Wykresy odwrotnych funkcji trygonometrycznych

Arcsine ( y=

Arcsine ( Cosinus łukowy (

Arcsine ( Arcus tangens (

Arcsine ( arckotangens (

Wykresy odwrotnych funkcji trygonometrycznych otrzymuje się z wykresów funkcji trygonometrycznych metodą odbicia lustrzanego względem prostej y = x.

Zobacz sekcje Sinus, cosinus, Tangens, cotangens.

Podstawowe formuły Tutaj należy zwrócić szczególną uwagę na przedziały, dla których obowiązują wzory.
arcsin(sin x) = x
Na Tutaj należy zwrócić szczególną uwagę na przedziały, dla których obowiązują wzory.
grzech(arcsin x) = x

arccos(cos x) = x Tutaj należy zwrócić szczególną uwagę na przedziały, dla których obowiązują wzory.
cos(arccos x) = x
arctan(tg x) = x Tutaj należy zwrócić szczególną uwagę na przedziały, dla których obowiązują wzory.
tg(arctg x) = x

arcctg(ctg x) = x

ctg(arcctg x) = x

Wzory dotyczące odwrotnych funkcji trygonometrycznych

Wzory na sumę i różnicę

w lub

w i

w i

Odwrotne funkcje trygonometryczne to funkcje matematyczne będące odwrotnością funkcji trygonometrycznych.
Funkcja y=arcsin(x)
Funkcja у= sin⁡(x) na przedziale [-π/2;π/2] jest ściśle rosnąca i ciągła; dlatego ma funkcję odwrotną, ściśle rosnącą i ciągłą.
Funkcja odwrotna dla funkcji y= sin⁡(x), gdzie x ∈[-π/2;π/2], nazywana jest arcsinusem i oznaczana y=arcsin(x), gdzie x∈[-1;1 ]
Zatem zgodnie z definicją funkcja odwrotna, dziedziną definicji arcsinusa jest odcinek [-1;1], a zbiorem wartości jest odcinek [-π/2;π/2].
Należy zauważyć, że wykres funkcji y=arcsin(x), gdzie x ∈[-1;1], jest symetryczny do wykresu funkcji y= sin(⁡x), gdzie x∈[-π/2;π /2], względem dwusiecznej kątów współrzędnych pierwszej i trzeciej ćwiartki.

Zakres funkcji y=arcsin(x).

Przykład nr 1.

Znajdź arcsin(1/2)?

Ponieważ zakres wartości funkcji arcsin(x) należy do przedziału [-π/2;π/2], wówczas odpowiednia jest tylko wartość π/6. Zatem arcsin(1/2) =π/. 6.
Odpowiedź: π/6

Przykład nr 2.
Znajdź arcsin(-(√3)/2)?

Ponieważ zakres wartości arcsin(x) x ∈[-π/2;π/2], to odpowiednia jest tylko wartość -π/3. Zatem arcsin(-(√3)/2) =- π /3.

Funkcja y=arccos(x)

Cosinus liczby α to liczba α z przedziału, którego cosinus jest równy α.

Wykres funkcji

Funkcja y= cos(⁡x) na segmencie jest ściśle malejąca i ciągła; dlatego ma funkcję odwrotną, ściśle malejącą i ciągłą.
Wywołuje się funkcję odwrotną dla funkcji y= cos⁡x, gdzie x ∈ cosinus łukowy i jest oznaczane przez y=arccos(x), gdzie x ∈[-1;1].
Zatem zgodnie z definicją funkcji odwrotnej dziedziną definicji arcus cosinus jest odcinek [-1;1], a zbiorem wartości jest odcinek.
Należy zauważyć, że wykres funkcji y=arccos(x), gdzie x ∈[-1;1] jest symetryczny do wykresu funkcji y= cos(⁡x), gdzie x ∈, względem dwusiecznej kąty współrzędnych pierwszej i trzeciej ćwiartki.

Zakres funkcji y=arccos(x).

Przykład nr 3.

Znajdź arccos(1/2)?

Ponieważ zakres wartości to arccos(x) x∈, wówczas odpowiednia jest tylko wartość π/3. Zatem arccos(1/2) =π/3.
Przykład nr 4.
Znajdź arccos(-(√2)/2)?

Ponieważ zakres wartości funkcji arccos(x) należy do przedziału, wówczas odpowiednia jest tylko wartość 3π/4. Zatem arccos(-(√2)/2) = 3π/4.

Odpowiedź: 3π/4

Funkcja y=arctg(x)

Arcus tangens liczby α to liczba α z przedziału [-π/2;π/2], której tangens jest równy α.

Wykres funkcji

Funkcja styczna jest ciągła i ściśle rosnąca na przedziale (-π/2;π/2); dlatego ma funkcję odwrotną, która jest ciągła i ściśle rosnąca.
Funkcja odwrotna dla funkcji y= tg⁡(x), gdzie x∈(-π/2;π/2); nazywa się arcus tangensem i oznacza się go przez y=arctg(x), gdzie x∈R.
Zatem zgodnie z definicją funkcji odwrotnej dziedziną definicji arcustangens jest przedział (-∞;+∞), a zbiorem wartości jest przedział
(-π/2;π/2).
Należy zauważyć, że wykres funkcji y=arctg(x), gdzie x∈R, jest symetryczny do wykresu funkcji y= tg⁡x, gdzie x ∈ (-π/2;π/2), względem dwusieczna kątów współrzędnych pierwszej i trzeciej ćwiartki.

Zakres funkcji y=arctg(x).

Przykład nr 5?

Znajdź arctan((√3)/3).

Ponieważ zakres wartości arctg(x) x ∈(-π/2;π/2) to odpowiednia jest tylko wartość π/6. Zatem arctg((√3)/3) =π/6.
Przykład nr 6.
Znajdź arctg(-1)?

Ponieważ zakres wartości arctg(x) x ∈(-π/2;π/2) to odpowiednia jest tylko wartość -π/4. Zatem arctg(-1) = - π/4.

Funkcja y=arcctg(x)

Kotangens łuku liczby α jest liczbą α z przedziału (0; π), którego kotangens jest równy α.

Wykres funkcji

Na przedziale (0;π) funkcja cotangens maleje ściśle; ponadto jest on ciągły w każdym punkcie tego przedziału; zatem na przedziale (0;π) funkcja ta ma funkcję odwrotną, która jest ściśle malejąca i ciągła.
Funkcja odwrotna dla funkcji y=ctg(x), gdzie x ∈(0;π), nazywana jest arccotangens i oznaczana y=arcctg(x), gdzie x∈R.
Zatem zgodnie z definicją funkcji odwrotnej dziedziną definicji kotangensa łuku będzie R i przez zestaw wartości – przedział (0;π). Wykres funkcji y=arcctg(x), gdzie x∈R jest symetryczny do wykresu funkcji y=ctg(x) x∈(0;π), względny do dwusiecznej kątów współrzędnych pierwszej i trzeciej ćwiartki.

Zakres funkcji y=arcctg(x).

Przykład nr 7.
Znajdź arcctg((√3)/3)?

Ponieważ zakres wartości arccctg(x) x ∈(0;π) to odpowiednia jest tylko wartość π/3 Dlatego arccos((√3)/3) =π/3.

Przykład nr 8.
Znajdź arcctg(-(√3)/3)?

Ponieważ zakres wartości to arcctg(x) x∈(0;π), wówczas odpowiednia jest tylko wartość 2π/3. Zatem arccos(-(√3)/3) = 2π/3.

Redaktorzy: Ageeva Lyubov Aleksandrovna, Gavrilina Anna Viktorovna

Odwrotne funkcje trygonometryczne Posiadać szerokie zastosowanie w analizie matematycznej. Jednak dla większości uczniów szkół średnich zadania związane z tego typu funkcją sprawiają znaczne trudności. Wynika to głównie z faktu, że w wielu podręcznikach i podręczniki Problemom tego typu poświęca się zbyt mało uwagi. A jeśli uczniowie przynajmniej w jakiś sposób poradzą sobie z problemami obliczania wartości odwrotnych funkcji trygonometrycznych, wówczas równania i nierówności zawierające takie funkcje w większości wprawiają dzieci w zakłopotanie. Właściwie nie jest to zaskakujące, ponieważ praktycznie żaden podręcznik nie wyjaśnia, jak rozwiązać nawet najprostsze równania i nierówności zawierające odwrotne funkcje trygonometryczne.

Przyjrzyjmy się kilku równaniom i nierównościom obejmującym odwrotne funkcje trygonometryczne i rozwiążmy je, podając szczegółowe wyjaśnienia.

Przykład 1.

Rozwiąż równanie: 3arccos (2x + 3) = 5π/2.

Rozwiązanie.

Wyrażając odwrotną funkcję trygonometryczną z równania, otrzymujemy:

arccos (2x + 3) = 5π/6. Skorzystajmy teraz z definicji arc cosinusa.

Arcus cosinus pewnej liczby a należącej do odcinka od -1 do 1 jest kątem y wychodzącym z odcinka od 0 do π takim, że jego cosinus i równa liczbie X. Dlatego możemy to zapisać w ten sposób:

2x + 3 = cos 5π/6.

Zapiszmy prawą stronę powstałego równania, korzystając ze wzoru redukcyjnego:

2x + 3 = cos (π – π/6).

2x + 3 = -cos π/6;

2x + 3 = -√3/2;

2x = -3 – √3/2.

Sprowadźmy prawą stronę do wspólnego mianownika.

2x = -(6 + √3) / 2;

x = -(6 + √3) / 4.

Odpowiedź: -(6 + √3) / 4 .

Przykład 2.

Rozwiąż równanie: cos (arccos (4x – 9)) = x 2 – 5x + 5.

Rozwiązanie.

Ponieważ cos (arcсos x) = x, gdzie x należy do [-1; 1], to równanie to jest równoważne układowi:

(4x – 9 = x 2 – 5x + 5,
(-1 ≤ 4x – 9 ≤ 1.

Rozwiążmy równanie zawarte w układzie.

4x – 9 = x 2 – 5x + 5.

Jest kwadratowy, więc to rozumiemy

x 2 – 9x + 14 = 0;

D = 81 – 4 14 = 25;

x 1 = (9 + 5) / 2 = 7;

x 2 = (9 – 5) / 2 = 2.

Rozwiążmy podwójną nierówność zawartą w układzie.

1 ≤ 4x – 9 ≤ 1. Dodaj 9 do wszystkich części i otrzymamy:

8 ≤ 4x ≤ 10. Podziel każdą liczbę przez 4, otrzymamy:

2 ≤ x ≤ 2,5.

Połączmy teraz otrzymane odpowiedzi. Łatwo zauważyć, że pierwiastek x = 7 nie spełnia odpowiedzi na nierówność. Zatem jedynym rozwiązaniem równania jest x = 2.

Odpowiedź: 2.

Przykład 3.

Rozwiąż równanie: tg (arctg (0,5 – x)) = x 2 – 4x + 2,5.

Rozwiązanie.

Ponieważ tg (arctg x) = x dla wszystkich liczb rzeczywistych, równanie to jest równoważne równaniu:

0,5 – x = x 2 – 4x + 2,5.

Rozwiążmy wynik równanie kwadratowe używając dyskryminatora, po uprzednim doprowadzeniu go do standardowej formy.

x 2 – 3x + 2 = 0;

re = 9 – 4 2 = 1;

x 1 = (3 + 1) / 2 = 2;

x 2 = (3 – 1) / 2 = 1.

Odpowiedź: 1; 2.

Przykład 4.

Rozwiąż równanie: arcctg (2x – 1) = arcctg (x 2 /2 + x/2).

Rozwiązanie.

Ponieważ arcctg f(x) = arcctg g(x) wtedy i tylko wtedy, gdy f(x) = g(x), to

2x – 1 = x 2 /2 + x/2. Rozwiążmy powstałe równanie kwadratowe:

4x – 2 = x 2 + x;

x 2 – 3x + 2 = 0.

Z twierdzenia Viety otrzymujemy to

x = 1 lub x = 2.

Odpowiedź: 1; 2.

Przykład 5.

Rozwiąż równanie: arcsin (2x – 15) = arcsin (x 2 – 6x – 8).

Rozwiązanie.

Ponieważ równanie w postaci arcsin f(x) = arcsin g(x) jest równoważne układowi

(f(x) = g(x),
(f(x) € [-1; 1],

wówczas pierwotne równanie jest równoważne układowi:

(2x – 15 = x 2 – 6x + 8,
(-1 ≤ 2x – 15 ≤ 1.

Rozwiążmy powstały układ:

(x 2 – 8x + 7 = 0,
(14 ≤ 2x ≤ 16.

Z pierwszego równania, korzystając z twierdzenia Viety, mamy, że x = 1 lub x = 7. Rozwiązując drugą nierówność układu, dowiadujemy się, że 7 ≤ x ≤ 8. Dlatego do końcowego nadaje się tylko pierwiastek x = 7 odpowiedź.

Odpowiedź: 7.

Przykład 6.

Rozwiąż równanie: (arccos x) 2 – 6 arccos x + 8 = 0.

Rozwiązanie.

Niech arccos x = t, wówczas t należy do odcinka i równanie przyjmuje postać:

t 2 – 6t + 8 = 0. Rozwiąż powstałe równanie kwadratowe, korzystając z twierdzenia Viety, stwierdzamy, że t = 2 lub t = 4.

Ponieważ t = 4 nie należy do odcinka, otrzymujemy, że t = 2, tj. arccos x = 2, co oznacza x = cos 2.

Odpowiedź: cos 2.

Przykład 7.

Rozwiąż równanie: (arcsin x) 2 + (arccos x) 2 = 5π 2 /36.

Rozwiązanie.

Skorzystajmy z równości arcsin x + arccos x = π/2 i zapiszmy równanie w postaci

(arcsin x) 2 + (π/2 – arcsin x) 2 = 5π 2 /36.

Niech arcsin x = t, to t należy do odcinka [-π/2; π/2] i równanie przyjmuje postać:

t 2 + (π/2 – t) 2 = 5π 2 /36.

Rozwiążmy powstałe równanie:

t 2 + π 2 /4 – πt + t 2 = 5π 2 /36;

2t 2 – πt + 9π 2 /36 – 5π 2 /36 = 0;

2t 2 – πt + 4π 2 /36 = 0;

2t 2 – πt + π 2 /9 = 0. Mnożąc każdy wyraz przez 9, aby pozbyć się ułamków w równaniu, otrzymujemy:

18t 2 – 9πt + π2 = 0.

Znajdźmy dyskryminator i rozwiążmy powstałe równanie:

re = (-9π) 2 – 4 · 18 · π 2 = 9π 2 .

t = (9π – 3π) / 2 18 lub t = (9π + 3π) / 2 18;

t = 6π/36 lub t = 12π/36.

Po redukcji mamy:

t = π/6 lub t = π/3. Następnie

arcsin x = π/6 lub arcsin x = π/3.

Zatem x = sin π/6 lub x = sin π/3. Oznacza to, że x = 1/2 lub x = √3/2.

Odpowiedź: 1/2; √3/2.

Przykład 8.

Znajdź wartość wyrażenia 5nx 0, gdzie n jest liczbą pierwiastków, a x 0 jest pierwiastkiem ujemnym równania 2 arcsin x = - π – (x + 1) 2.

Rozwiązanie.

Ponieważ -π/2 ≤ arcsin x ≤ π/2, to -π ≤ 2 arcsin x ≤ π. Co więcej, (x + 1) 2 ≥ 0 dla wszystkich rzeczywistych x,
wtedy -(x + 1) 2 ≤ 0 i -π – (x + 1) 2 ≤ -π.

Zatem równanie może mieć rozwiązanie, jeśli obie jego strony są jednocześnie równe –π, tj. równanie jest równoważne układowi:

(2 arcsin x = -π,
(-π – (x + 1) 2 = -π.

Rozwiążmy powstały układ równań:

(arcsin x = -π/2,
((x + 1) 2 = 0.

Z drugiego równania mamy, że x = -1, odpowiednio n = 1, wówczas 5nx 0 = 5 · 1 · (-1) = -5.

Odpowiedź: -5.

Jak pokazuje praktyka, umiejętność rozwiązywania równań z odwrotnymi funkcjami trygonometrycznymi jest warunek konieczny pomyślne zakończenie egzaminy. Dlatego szkolenie w rozwiązywaniu takich problemów jest po prostu konieczne i obowiązkowe podczas przygotowań do jednolitego egzaminu państwowego.

Nadal masz pytania? Nie wiesz jak rozwiązywać równania?
Aby uzyskać pomoc od nauczyciela -.
Pierwsza lekcja jest darmowa!

blog.site, przy kopiowaniu materiału w całości lub w części wymagany jest link do oryginalnego źródła.

Lekcje 32-33. Odwrotne funkcje trygonometryczne

09.07.2015 5917 0

Cel: rozważyć odwrotne funkcje trygonometryczne i ich zastosowanie do zapisywania rozwiązań równań trygonometrycznych.

I. Przekazywanie tematu i celu zajęć

II. Nauka nowego materiału

1. Odwrotne funkcje trygonometryczne

Rozpocznijmy dyskusję na ten temat od następującego przykładu.

Przykład 1

Rozwiążmy równanie: a) grzech x = 1/2; b) grzech x = a.

a) Na osi rzędnych nanosimy wartość 1/2 i konstruujemy kąty x 1 i x2, dla których grzech x = 1/2. W tym przypadku x1 + x2 = π, skąd x2 = π – x 1 . Korzystając z tabeli wartości funkcji trygonometrycznych, znajdujemy wówczas wartość x1 = π/6Weźmy pod uwagę okresowość funkcji sinus i zapiszmy rozwiązania tego równania:gdzie k ∈ Z.

b) Oczywiście algorytm rozwiązania równania grzech x = a jest takie samo jak w poprzednim akapicie. Oczywiście teraz wartość a jest wykreślana wzdłuż osi rzędnych. Trzeba jakoś wyznaczyć kąt x1. Uzgodniliśmy, że kąt ten będziemy oznaczać symbolem arcsin A. Następnie rozwiązania tego równania można zapisać w postaciTe dwie formuły można połączyć w jedną: naraz

Pozostałe odwrotne funkcje trygonometryczne wprowadza się w podobny sposób.

Bardzo często konieczne jest określenie wielkości kąta według znana wartość jego funkcję trygonometryczną. Taki problem jest wielowartościowy - istnieje niezliczona ilość kątów, których funkcje trygonometryczne mają tę samą wartość. Dlatego w oparciu o monotoniczność funkcji trygonometrycznych wprowadza się następujące odwrotne funkcje trygonometryczne w celu jednoznacznego określenia kątów.

Arcsine liczby a (arcsin , którego sinus jest równy a, tj.

Cosinus liczby a(arcos a) jest kątem a z przedziału, którego cosinus jest równy a, tj.

Arcus tangens liczby a(arctg a) - taki kąt a z przedziałuktórego tangens jest równy a, tj.tg a = a.

Arccotangens liczby a(arcctg a) jest kątem a z przedziału (0; π), którego cotangens jest równy a, tj. ctg a = a.

Przykład 2

Znajdźmy:

Biorąc pod uwagę definicje odwrotnych funkcji trygonometrycznych, otrzymujemy:

Przykład 3

Obliczmy

Niech kąt a = arcsin 3/5, czyli z definicji grzech a = 3/5 i . Dlatego musimy znaleźć sałata A. Korzystając z podstawowej tożsamości trygonometrycznej, otrzymujemy:Uwzględnia się, że cos a ≥ 0. Zatem

Właściwości funkcji	Funkcjonować
Właściwości funkcji	y = arcsin x	y = arccos x	y = arctan x	y = łuk x
Dziedzina definicji	x ∈ [-1; 1]	x ∈ [-1; 1]	x ∈ (-∞; +∞)	x ∈ (-∞ +∞)
Zakres wartości	y ∈ [ -π/2 ; π /2 ]	y ∈	y ∈ (-π/2 ; π /2 )	y ∈ (0; π)
Parytet	Dziwne	Ani parzyste, ani dziwne	Dziwne	Ani parzyste, ani dziwne
Funkcja zera (y = 0)	Przy x = 0	Przy x = 1	Przy x = 0	y ≠ 0
Przedziały stałości znaku	y > 0 dla x ∈ (0; 1], Na< 0 при х ∈ [-1; 0)	y > 0 dla x ∈ [-1; 1)	y > 0 dla x ∈ (0; +∞), Na< 0 при х ∈ (-∞; 0)	y > 0 dla x ∈ (-∞; +∞)
Monotonia	Wzrastający	Malejąco	Wzrastający	Malejąco
Związek z funkcją trygonometryczną	grzech y = x	ponieważ y = x	tg y = x	ctg y = x
Harmonogram

Dajmy jeszcze kilka typowe przykłady związane z definicjami i podstawowymi własnościami odwrotnych funkcji trygonometrycznych.

Przykład 4

Znajdźmy dziedzinę definicji funkcji

Aby móc zdefiniować funkcję y należy spełnić nierównośćco jest równoważne systemowi nierównościRozwiązaniem pierwszej nierówności jest przedział x∈ (-∞; +∞), drugi - Ten interwał i jest rozwiązaniem układu nierówności, a zatem dziedziną definicji funkcji

Przykład 5

Znajdźmy obszar zmiany funkcji

Rozważmy zachowanie funkcji z = 2x - x2 (patrz rysunek).

Jasne jest, że z ∈ (-∞; 1). Biorąc pod uwagę, że argument z funkcja cotangens łuku zmienia się w określonych granicach, z danych tabelarycznych wynika, żeZatem obszar zmian

Przykład 6

Udowodnimy, że funkcja y = arctg x dziwne. PozwalaćNastępnie tg a = -x lub x = - tg a = tg (- a), i Dlatego - a = arctg x lub a = - arctg X. Zatem to widzimytj. y(x) jest funkcją nieparzystą.

Przykład 7

Wyraźmy poprzez wszystkie odwrotne funkcje trygonometryczne

Pozwalać To oczywiste Potem od

Przedstawmy kąt Ponieważ To

Podobnie zatem I

Więc,

Przykład 8

Zbudujmy wykres funkcji y = cos(arcsin x).

Oznaczmy zatem a = arcsin x Weźmy pod uwagę, że x = sin a i y = cos a, czyli x 2 + y2 = 1 i ograniczenia dotyczące x (x∈ [-1; 1]) i y (y ≥ 0). Następnie wykres funkcji y = cos(arcsin x) jest półkolem.

Przykład 9

Zbudujmy wykres funkcji y = arccos (cosx).

Ponieważ funkcja cos x zmiany w przedziale [-1; 1], wówczas funkcja y jest zdefiniowana na całej osi liczbowej i zmienia się na odcinku . Pamiętajmy, że y = arccos(cosx) = x w segmencie; funkcja y jest parzysta i okresowa z okresem 2π. Biorąc pod uwagę, że funkcja ma te właściwości bo x Teraz łatwo jest utworzyć wykres.

Zwróćmy uwagę na kilka przydatnych równości:

Przykład 10

Znajdźmy najmniejszy i najwyższa wartość funkcje Oznaczmy Następnie Zdobądźmy funkcję Funkcja ta ma minimum w punkcie z = π/4 i jest równe Największą wartość funkcji osiąga się w punkcie z = -π/2 i jest równe Zatem i

Przykład 11

Rozwiążmy równanie

Weźmy to pod uwagę Wtedy równanie wygląda następująco:Lub Gdzie Z definicji arcustangens otrzymujemy:

2. Rozwiązywanie prostych równań trygonometrycznych

Podobnie jak w przykładzie 1, możesz otrzymać rozwiązania najprostszych równań trygonometrycznych.

Równanie	Rozwiązanie


tgx = a
ctg x = a

Przykład 12

Rozwiążmy równanie

Ponieważ funkcja sinus jest nieparzysta, zapisujemy równanie w postaciRozwiązania tego równania:skąd to znajdziemy?

Przykład 13

Rozwiążmy równanie

Korzystając z podanego wzoru zapisujemy rozwiązania równania:i znajdziemy

Należy pamiętać, że w szczególnych przypadkach (a = 0; ±1) przy rozwiązywaniu równań sin x = a i cos x = i łatwiej i wygodniej jest używać nie ogólnych wzorów, ale zapisywać rozwiązania na podstawie okręgu jednostkowego:

dla równania sin x = 1 rozwiązanie

dla równania sin x = 0 rozwiązań x = π k;

dla równania sin x = -1 rozwiązanie

dla równania cos x = 1 rozwiązanie x = 2π k ;

dla równania cos x = 0 rozwiązań

dla równania cos x = -1 rozwiązanie

Przykład 14

Rozwiążmy równanie

Ponieważ w tym przykładzie mamy do czynienia ze szczególnym przypadkiem równania, rozwiązanie zapiszemy stosując odpowiedni wzór:skąd możemy to znaleźć?