Graficzne rozwiązywanie układów nierówności liniowych. Rozwiązywanie równań, nierówności, układów z wykorzystaniem wykresów funkcyjnych. Przewodnik wizualny (2019)

Jedną z najwygodniejszych metod rozwiązywania nierówności kwadratowych jest metoda graficzna. W tym artykule przyjrzymy się, jak nierówności kwadratowe są rozwiązywane graficznie. Najpierw omówmy, jaka jest istota tej metody. Następnie przedstawimy algorytm i rozważymy przykłady graficznego rozwiązywania nierówności kwadratowych.

Nawigacja strony.

Istota metody graficznej

W ogóle graficzna metoda rozwiązywania nierówności z jedną zmienną służy nie tylko do rozwiązywania nierówności kwadratowych, ale także innych typów nierówności. Istota graficznej metody rozwiązywania nierówności następnie: rozważ funkcje y=f(x) i y=g(x), które odpowiadają lewej i prawej stronie nierówności, zbuduj ich wykresy w jednym prostokątnym układzie współrzędnych i dowiedz się, w jakich odstępach przebiega wykres jednej z są niższe lub wyższe od pozostałych. Te interwały gdzie

wykres funkcji f nad wykresem funkcji g to rozwiązania nierówności f(x)>g(x) ;
wykres funkcji f nie mniejszy niż wykres funkcji g są rozwiązaniami nierówności f(x)≥g(x) ;
wykres f poniżej wykresu g to rozwiązania nierówności f(x)
wykres funkcji f nie większy niż wykres funkcji g są rozwiązaniami nierówności f(x)≤g(x) .

Powiemy też, że odcięte punktów przecięcia wykresów funkcji f i g są rozwiązaniami równania f(x)=g(x) .

Przenieśmy te wyniki na nasz przypadek - aby rozwiązać nierówność kwadratową a x 2 +b x+c<0 (≤, >, ≥).

Wprowadzamy dwie funkcje: pierwszą y=a x 2 +b x+c (przy f(x)=a x 2 +b x+c) odpowiadającą lewej stronie nierówności kwadratowej, drugą y=0 (przy g ( x)=0 ) odpowiada prawej stronie nierówności. Harmonogram funkcja kwadratowa f jest parabolą i wykresem stała funkcja g – prosta zbiegająca się z osią odciętej Ox.

Następnie zgodnie z graficzną metodą rozwiązywania nierówności należy przeanalizować, w jakich odstępach wykres jednej funkcji znajduje się nad lub pod inną, co pozwoli nam zapisać pożądane rozwiązanie nierówności kwadratowej. W naszym przypadku musimy przeanalizować położenie paraboli względem osi Wołu.

W zależności od wartości współczynników a, b i c możliwych jest sześć następujących opcji (na nasze potrzeby wystarczające jest schematyczne przedstawienie i nie musimy przedstawiać osi Oy, ponieważ jej położenie nie ma wpływu na rozwiązania nierówności):

Na tym rysunku widzimy parabolę, której ramiona są skierowane w górę i która przecina oś Wołu w dwóch punktach, których odcięte wynoszą x 1 i x 2. Ten rysunek odpowiada opcji, gdy współczynnik a jest dodatni (odpowiada za kierunek gałęzi paraboli w górę) i gdy wartość jest dodatnia dyskryminator trójmianu kwadratowego a x 2 +b x+c (w tym przypadku trójmian ma dwa pierwiastki, które oznaczyliśmy jako x 1 i x 2 i założyliśmy, że x 1 0 , D=b 2 −4·a·c=(−1) 2 −4·1·(−6)=25>0, x 1 =−2 , x 2 =3 .

Dla przejrzystości przedstawmy na czerwono części paraboli znajdujące się powyżej osi x, a na niebiesko – te znajdujące się poniżej osi x.

Teraz dowiedzmy się, które przedziały odpowiadają tym częściom. Poniższy rysunek pomoże Ci je zidentyfikować (w przyszłości będziemy dokonywać w myślach podobnych selekcji w postaci prostokątów):

Zatem na osi odciętych na czerwono zaznaczono dwa przedziały (−∞, x 1) i (x 2 , +∞), na nich parabola znajduje się nad osią Ox, stanowią one rozwiązanie nierówności kwadratowej a x 2 +b x +c>0 , a przedział (x 1 , x 2) jest podświetlony na niebiesko, pod osią Ox znajduje się parabola, która reprezentuje rozwiązanie nierówności a x 2 +b x+c<0 . Решениями нестрогих квадратных неравенств a·x 2 +b·x+c≥0 и a·x 2 +b·x+c≤0 будут те же промежутки, но в них следует включить числа x 1 и x 2 , отвечающие равенству a·x 2 +b·x+c=0 .

A teraz krótko: dla a>0 i D=b 2 −4 a c>0 (lub D"=D/4>0 dla parzystego współczynnika b)

rozwiązaniem nierówności kwadratowej a x 2 +b x+c>0 jest (−∞, x 1)∪(x 2 , +∞) lub w innym zapisie x x2;
rozwiązaniem nierówności kwadratowej a x 2 +b x+c≥0 jest (−∞, x 1 ]∪ lub w innym zapisie x 1 ≤x≤x 2 ,

gdzie x 1 i x 2 są pierwiastkami trójmianu kwadratowego a x 2 +b x+c i x 1

Widzimy tutaj parabolę, której gałęzie są skierowane w górę i która dotyka osi odciętej, to znaczy ma z nią jeden wspólny punkt, oznaczamy odciętą tego punktu jako x 0. Prezentowany przypadek odpowiada a>0 (gałęzie skierowane w górę) i D=0 ( trójmian kwadratowy ma jeden pierwiastek x 0 ). Na przykład możesz przyjąć funkcję kwadratową y=x 2 −4·x+4, tutaj a=1>0, D=(−4) 2 −4·1·4=0 i x 0 =2.

Z rysunku wyraźnie wynika, że parabola znajduje się powyżej osi Wółu wszędzie z wyjątkiem punktu styku, czyli na przedziałach (−∞, x 0), (x 0, ∞). Dla przejrzystości zaznaczmy obszary na rysunku analogicznie do poprzedniego akapitu.

Wyciągamy wnioski: dla a>0 i D=0

rozwiązaniem nierówności kwadratowej a·x 2 +b·x+c>0 jest (−∞, x 0)∪(x 0, +∞) lub w innym zapisie x≠x 0;
rozwiązaniem nierówności kwadratowej a·x 2 +b·x+c≥0 jest (−∞, +∞) lub w innym zapisie x∈R ;
nierówność kwadratowa a x 2 +b x+c<0 не имеет решений (нет интервалов, на которых парабола расположена ниже оси Ox );
nierówność kwadratowa a x 2 +b x+c≤0 ma jednoznaczne rozwiązanie x=x 0 (jest dane przez punkt styczności),

gdzie x 0 jest pierwiastkiem trójmianu kwadratowego a x 2 + b x + c.

W tym przypadku gałęzie paraboli są skierowane w górę i nie ma ona punktów wspólnych z osią odciętych. Tutaj mamy warunki a>0 (gałęzie skierowane są w górę) i D<0 (квадратный трехчлен не имеет действительных корней). Для примера можно построить график функции y=2·x 2 +1 , здесь a=2>0 , D=0 2 −4·2·1=−8<0 .

Oczywiście parabola na całej swojej długości znajduje się powyżej osi Wółu (nie ma odstępów, w których znajduje się poniżej osi Wółu, nie ma punktu styczności).

Zatem dla a>0 i D<0 решением квадратных неравенств a·x 2 +b·x+c>0 i a x 2 +b x+c≥0 to zbiór wszystkich liczb rzeczywistych, a nierówności a x 2 +b x+c<0 и a·x 2 +b·x+c≤0 не имеют решений.

Pozostają trzy opcje lokalizacji paraboli z gałęziami skierowanymi w dół, a nie w górę, względem osi Wołu. W zasadzie nie trzeba ich brać pod uwagę, ponieważ pomnożenie obu stron nierówności przez -1 pozwala nam przejść do równoważnej nierówności z dodatnim współczynnikiem x 2. Ale nadal nie zaszkodzi zapoznać się z takimi przypadkami. Rozumowanie tutaj jest podobne, dlatego zapiszemy tylko główne wyniki.

Algorytm rozwiązania

Wynikiem wszystkich poprzednich obliczeń jest Algorytm rozwiązywania nierówności kwadratowych w formie graficznej:

Na płaszczyźnie współrzędnych wykonujemy schematyczny rysunek, który przedstawia oś Wół (nie jest konieczne przedstawianie osi Oy) oraz szkic paraboli odpowiadającej funkcji kwadratowej y=a·x 2 +b·x+c. Aby narysować szkic paraboli, wystarczy wyjaśnić dwa punkty:

Po pierwsze, poprzez wartość współczynnika a określa się, w którą stronę skierowane są jego gałęzie (dla a>0 – w górę, dla a<0 – вниз).
Po drugie, poprzez wartość dyskryminatora trójmianu kwadratowego a x 2 + b x + c określa się, czy parabola przecina oś odciętej w dwóch punktach (dla D>0), czy styka się z nią w jednym punkcie (dla D=0) lub nie ma punktów wspólnych z osią Wółu (w D<0 ). Для удобства на чертеже указываются координаты точек пересечения или координата точки касания (при наличии этих точек), а сами точки изображаются выколотыми при решении строгих неравенств, или обычными при решении нестрогих неравенств.

Gdy rysunek będzie gotowy, użyj go w drugim kroku algorytmu
- przy rozwiązywaniu nierówności kwadratowej a·x 2 +b·x+c>0 wyznacza się odstępy, w których parabola znajduje się nad odciętą;
- przy rozwiązywaniu nierówności a·x 2 +b·x+c≥0 wyznacza się odstępy, w których parabola znajduje się nad osią odciętych, i dodawane są odcięte punktów przecięcia (lub odcięta punktu stycznego) ich;
- przy rozwiązywaniu nierówności a x 2 +b x+c<0 находятся промежутки, на которых парабола ниже оси Ox ;
- wreszcie rozwiązując nierówność kwadratową postaci a·x 2 +b·x+c≤0, znajdują się przedziały, w których parabola znajduje się poniżej osi Wółu, a odcięta punktów przecięcia (lub odcięta punktu stycznego ) jest do nich dodawany;
stanowią one pożądane rozwiązanie nierówności kwadratowej, a jeśli nie ma takich przedziałów i punktów styczności, to pierwotna nierówność kwadratowa nie ma rozwiązań.

Pozostaje tylko rozwiązać kilka nierówności kwadratowych za pomocą tego algorytmu.

Przykłady z rozwiązaniami

Przykład.

Rozwiąż nierówność .

Rozwiązanie.

Musimy rozwiązać nierówność kwadratową, skorzystajmy z algorytmu z poprzedniego akapitu. W pierwszym kroku musimy naszkicować wykres funkcji kwadratowej . Współczynnik x 2 jest równy 2, jest dodatni, dlatego gałęzie paraboli są skierowane w górę. Sprawdźmy także, czy parabola ma punkty wspólne z osią x; w tym celu obliczymy dyskryminator trójmianu kwadratowego . Mamy . Dyskryminator okazał się większy od zera, dlatego trójmian ma dwa rzeczywiste pierwiastki: I , to znaczy x 1 = −3 i x 2 = 1/3.

Z tego jasno wynika, że parabola przecina oś Wołu w dwóch punktach z odciętymi -3 i 1/3. Przedstawimy te punkty na rysunku jako zwykłe punkty, ponieważ rozwiązujemy nieścisłą nierówność. Na podstawie wyjaśnionych danych otrzymujemy następujący rysunek (pasuje do pierwszego szablonu z pierwszego akapitu artykułu):

Przejdźmy do drugiego kroku algorytmu. Ponieważ rozwiązujemy nieścisłą nierówność kwadratową ze znakiem ≤, musimy wyznaczyć odstępy, w jakich parabola znajduje się poniżej odciętej i dodać do nich odcięte punktów przecięcia.

Z rysunku jasno wynika, że parabola znajduje się poniżej osi x na przedziale (-3, 1/3) i dodajemy do niej odcięte punktów przecięcia, czyli liczby -3 i 1/3. W rezultacie dochodzimy do przedziału liczbowego [−3, 1/3] . To jest rozwiązanie, którego szukamy. Można to zapisać jako podwójną nierówność −3≤x≤1/3.

Odpowiedź:

[−3, 1/3] lub −3≤x≤1/3 .

Przykład.

Znajdź rozwiązanie nierówności kwadratowej −x 2 +16 x−63<0 .

Rozwiązanie.

Jak zwykle zaczynamy od rysunku. Współczynnik liczbowy kwadratu zmiennej jest ujemny, -1, dlatego ramiona paraboli są skierowane w dół. Obliczmy dyskryminator, a jeszcze lepiej jego czwartą część: D"=8 2 −(−1)·(−63)=64−63=1. Jego wartość jest dodatnia, obliczmy pierwiastki trójmianu kwadratowego: I , x 1 = 7 i x 2 = 9. Zatem parabola przecina oś Wołu w dwóch punktach z odciętymi 7 i 9 (pierwotna nierówność jest ścisła, dlatego przedstawimy te punkty z pustym środkiem. Teraz możemy wykonać schematyczny rysunek:

Ponieważ rozwiązujemy ścisłą nierówność kwadratową ze znakiem<, то нас интересуют промежутки, на которых парабола расположена ниже оси абсцисс:

Rysunek pokazuje, że rozwiązaniami pierwotnej nierówności kwadratowej są dwa przedziały (−∞, 7) , (9, +∞) .

Odpowiedź:

(−∞, 7)∪(9, +∞) lub w innym zapisie x<7 , x>9 .

Rozwiązując nierówności kwadratowe, gdy dyskryminator trójmianu kwadratowego po jego lewej stronie wynosi zero, należy zachować ostrożność, włączając lub wykluczając z odpowiedzi odciętą punktu stycznego. Zależy to od znaku nierówności: jeśli nierówność jest ścisła, to nie jest rozwiązaniem nierówności, ale jeśli nie jest ścisła, to tak.

Przykład.

Czy nierówność kwadratowa 10 x 2 −14 x+4,9≤0 ma przynajmniej jedno rozwiązanie?

Rozwiązanie.

Narysujmy funkcję y=10 x 2 −14 x+4,9. Jego gałęzie są skierowane w górę, ponieważ współczynnik x 2 jest dodatni i dotyka osi odciętej w punkcie z odciętą 0,7, ponieważ D"=(−7) 2 −10 4,9=0, skąd lub 0,7 w postaci ułamka dziesiętnego Schematycznie wygląda to tak:

Ponieważ rozwiązujemy nierówność kwadratową ze znakiem ≤, jej rozwiązaniem będą odcinki, na których parabola znajduje się poniżej osi Wółu, a także odcięta punktu stycznego. Z rysunku jasno wynika, że nie ma ani jednej przerwy, w której parabola znajdowałaby się poniżej osi Wołu, więc jej rozwiązaniem będzie tylko odcięta punktu stycznego, czyli 0,7.

Odpowiedź:

ta nierówność ma unikalne rozwiązanie 0,7.

Przykład.

Rozwiąż nierówność kwadratową –x 2 +8 x−16<0 .

Rozwiązanie.

Postępujemy zgodnie z algorytmem rozwiązywania nierówności kwadratowych i zaczynamy od skonstruowania wykresu. Gałęzie paraboli są skierowane w dół, ponieważ współczynnik x 2 jest ujemny, -1. Znajdźmy dyskryminator kwadratowego trójmianu –x 2 +8 x−16, mamy D’=4 2 −(−1)·(−16)=16−16=0 a następnie x 0 =−4/(−1) , x 0 =4 . Zatem parabola dotyka osi Wołu w punkcie odciętej 4. Zróbmy rysunek:

Patrzymy na znak pierwotnej nierówności, on tam jest<. Согласно алгоритму, решение неравенства в этом случае составляют все промежутки, на которых парабола расположена строго ниже оси абсцисс.

W naszym przypadku są to promienie otwarte (−∞, 4) , (4, +∞) . Osobno zauważamy, że 4 - odcięta punktu styku - nie jest rozwiązaniem, ponieważ w punkcie styku parabola nie jest niższa niż oś Wołu.

Odpowiedź:

(−∞, 4)∪(4, +∞) lub w innym zapisie x≠4 .

Zwróć szczególną uwagę na przypadki, gdy dyskryminator trójmianu kwadratowego po lewej stronie nierówności kwadratowej jest mniejszy od zera. Nie ma co się tu spieszyć i mówić, że nierówność nie ma rozwiązań (jesteśmy przyzwyczajeni do wyciągania takiego wniosku dla równań kwadratowych z ujemnym dyskryminatorem). Chodzi o to, że nierówność kwadratowa dla D<0 может иметь решение, которым является множество всех действительных чисел.

Przykład.

Znajdź rozwiązanie nierówności kwadratowej 3 x 2 +1>0.

Rozwiązanie.

Jak zwykle zaczynamy od rysunku. Współczynnik a wynosi 3, jest dodatni, dlatego gałęzie paraboli są skierowane w górę. Obliczamy dyskryminator: D=0 2 −4·3·1=−12 . Ponieważ dyskryminator jest ujemny, parabola nie ma punktów wspólnych z osią Wołu. Uzyskane informacje wystarczą do stworzenia schematycznego wykresu:

Rozwiązujemy ścisłą nierówność kwadratową ze znakiem >. Jego rozwiązaniem będą wszystkie przedziały, w których parabola znajduje się powyżej osi Wołu. W naszym przypadku parabola na całej swojej długości znajduje się nad osią x, więc pożądanym rozwiązaniem będzie zbiór wszystkich liczb rzeczywistych.

Wół , a także do nich należy dodać odciętą punktów przecięcia lub odciętą punktu styczności. Ale z rysunku wyraźnie widać, że takich odstępów nie ma (ponieważ parabola znajduje się wszędzie poniżej osi odciętej), tak jak nie ma punktów przecięcia, tak jak nie ma punktów styczności. Zatem pierwotna nierówność kwadratowa nie ma rozwiązań.

Odpowiedź:

brak rozwiązań lub w innym wpisie ∅.

Referencje.

Algebra: podręcznik dla 8 klasy. wykształcenie ogólne instytucje / [Yu. N. Makaryczew, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; edytowany przez SA Telyakovsky. - wyd. 16. - M.: Edukacja, 2008. - 271 s. : chory. - ISBN 978-5-09-019243-9.
Algebra: Klasa 9: edukacyjna. dla edukacji ogólnej instytucje / [Yu. N. Makaryczew, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; edytowany przez SA Telyakovsky. - wyd. 16. - M.: Edukacja, 2009. - 271 s. : chory. - ISBN 978-5-09-021134-5.
Mordkovich A. G. Algebra. 8 klasa. Za 2 godziny Część 1. Podręcznik dla uczniów szkół ogólnokształcących / A. G. Mordkovich. - wyd. 11, usunięte. - M.: Mnemosyne, 2009. - 215 s.: il. ISBN 978-5-346-01155-2.
Mordkovich A. G. Algebra. 9. klasa. Za 2 godziny Część 1. Podręcznik dla uczniów szkół ogólnokształcących / A. G. Mordkovich, P. V. Semenov. - wyd. 13, usunięte. - M.: Mnemosyne, 2011. - 222 s.: il. ISBN 978-5-346-01752-3.
Mordkovich A. G. Algebra i początki analizy matematycznej. 11 klasa. Za 2 godziny Część 1. Podręcznik dla uczniów szkół ogólnokształcących (poziom profilu) / A. G. Mordkovich, P. V. Semenov. - wyd. 2, skreślone. - M.: Mnemosyne, 2008. - 287 s.: il. ISBN 978-5-346-01027-2.

Cele:

1. Powtórz wiedzę na temat funkcji kwadratowej.

2. Zapoznać się z metodą rozwiązywania nierówności kwadratowych w oparciu o własności funkcji kwadratowej.

Sprzęt: multimedia, prezentacja „Rozwiązywanie nierówności kwadratowych”, karty do samodzielnej pracy, tabela „Algorytm rozwiązywania nierówności kwadratowych”, arkusze testowe z kalką.

POSTĘP LEKCJI

I. Moment organizacyjny (1 min).

II. Aktualizacja wiedzy referencyjnej(10 minut).

1. Wykreślenie wykresu funkcji kwadratowej y=x 2 -6x+8<Рисунок 1. Приложение >

wyznaczanie kierunku gałęzi paraboli;
wyznaczanie współrzędnych wierzchołka paraboli;
wyznaczanie osi symetrii;
wyznaczanie punktów przecięcia z osiami współrzędnych;
znalezienie dodatkowych punktów.

2. Określ z rysunku znak współczynnika a i liczbę pierwiastków równania ax 2 + in + c = 0.<Рисунок 2. Приложение >

3. Korzystając z wykresu funkcji y=x 2 -4x+3 wyznacz:

Jakie są miejsca zerowe funkcji?
Znajdź przedziały, w których funkcja przyjmuje wartości dodatnie;
Znajdź przedziały, w których funkcja przyjmuje wartości ujemne;
Przy jakich wartościach x funkcja rośnie, a przy jakich wartościach maleje?<Рисунок 3>

4. Zdobywanie nowej wiedzy (12 min.)

Zadanie 1: Rozwiąż nierówność: x 2 +4x-5 > 0.

Nierówność spełniają wartości x, dla których wartości funkcji y = x 2 + 4x-5 są równe zeru lub dodatnie, czyli te wartości x, dla których punkty funkcji parabola leży na osi x lub powyżej tej osi.

Zbudujmy wykres funkcji y=x 2 +4x-5.

Z osią oh: X 2 +4x-5=0. Zgodnie z twierdzeniem Viety: x 1 = 1, x 2 = -5. Punkty(1;0),(-5;0).

Z osią Y: y(0)=-5. Punkt (0;-5).

Dodatkowe punkty: y(-1)=-8, y(2)=7.<Рисунок 4>

Wynik: Wartości funkcji są dodatnie i równe zero (nieujemne) w

Czy za każdym razem konieczne jest szczegółowe wykreślanie funkcji kwadratowej, aby rozwiązać nierówność?
Czy potrzebujesz znaleźć współrzędne wierzchołka paraboli?
Co jest ważne? (a, x 1, x 2)

Wniosek: Aby rozwiązać nierówność kwadratową, wystarczy wyznaczyć miejsca zerowe funkcji, kierunek gałęzi paraboli i narysować szkic wykresu.

Zadanie 2: Rozwiąż nierówność: x 2 -6x+8 < 0.

Rozwiązanie: Wyznaczmy pierwiastki równania x 2 -6x+8=0.

Zgodnie z twierdzeniem Viety: x 1 =2, x 2 =4.

a>0 – ramiona paraboli skierowane są w górę.

Zbudujmy szkic wykresu.<Рисунок 5>

Zaznaczmy znakami „+” i „–” przedziały, w których funkcja przyjmuje wartości dodatnie i ujemne. Wybierzmy potrzebny nam interwał.

Odpowiedź: X €.

5. Utrwalenie nowego materiału (7 min).

Nr 660 (3). Decyzję podejmuje uczeń na tablicy.

Rozwiąż nierówność x 2 -3x-2<0.

X2-3x-2=0; x2 +3x+2=0;

pierwiastki równania: x 1 = -1, x 2 = -2.

A<0 – ветви вниз. <Рисунок 6>

Nr 660 (1) - Praca z ukrytą tablicą.

Rozwiąż nierówność x 2 -3x+2 < 0.

Rozwiązanie: x 2 -3x+2=0.

Znajdźmy korzenie: ; x 1 =1, x 2 =2.

a>0 – rozgałęzia się w górę. Budujemy szkic wykresu funkcji.<Рисунок 7>

Algorytm:

Znajdź pierwiastki równania topór 2 + in + c = 0.
Zaznacz je na płaszczyźnie współrzędnych.
Określ kierunek gałęzi paraboli.
Narysuj szkic wykresu.
Zaznacz znakami „+” i „-” przedziały, w których funkcja przyjmuje wartości dodatnie i ujemne.
Wybierz wymagany interwał.

6. Samodzielna praca (10 min.).

(Recepcja - kalka).

Karta kontrolna jest podpisana i przekazana nauczycielowi w celu sprawdzenia i ustalenia poprawki.

Autotest na płytce.

Zadanie dodatkowe:

Nr 670. Znajdź wartości x, przy których funkcja przyjmuje wartości nie większe od zera: y=x 2 +6x-9.

7. Praca domowa (2 min).

№ 660 (2, 4), № 661 (2, 4).

Wypełnij tabelę:

D	Nierówność	A	Rysunek	Rozwiązanie
D>0	ach 2 +w+s > 0	a>0
D>0	ach 2 +w+s > 0	A<0
D>0	ach 2 +w+s < 0	a>0
D>0	ach 2 +w+s < 0	A<0

8. Podsumowanie lekcji (3 min).

Odtwórz algorytm rozwiązywania nierówności.
Kto wykonał świetną robotę?
Co było dla Ciebie trudne?

Podczas lekcji będziesz mógł samodzielnie przestudiować temat „Graficzne rozwiązanie równań i nierówności”. Na zajęciach nauczyciel zapozna się z graficznymi metodami rozwiązywania równań i nierówności. Nauczy Cię budować wykresy, analizować je i znajdować rozwiązania równań i nierówności. W lekcji omówione zostaną także konkretne przykłady na ten temat.

Temat: Funkcje numeryczne

Lekcja: Graficzne rozwiązywanie równań, nierówności

1. Temat lekcji, wprowadzenie

Przyjrzeliśmy się wykresom funkcji elementarnych, w tym wykresom funkcji potęgowych z różnymi wykładnikami. Przyjrzeliśmy się także zasadom przesuwania i przekształcania wykresów funkcji. Wszystkie te umiejętności należy zastosować w razie potrzeby graficznyrozwiązanie równania lub grafika rozwiązanienierówności.

2. Graficzne rozwiązywanie równań i nierówności

Przykład 1: Rozwiąż równanie graficznie:

Zbudujmy wykresy funkcji (ryc. 1).

Wykres funkcji to parabola przechodząca przez punkty

Wykres funkcji jest linią prostą, zbudujmy ją korzystając z tabeli.

Wykresy przecinają się w punkcie Nie ma innych punktów przecięcia, ponieważ funkcja rośnie monotonicznie, funkcja maleje monotonicznie, a zatem ich punkt przecięcia jest jedyny.

Przykład 2: Rozwiąż nierówność

A. Aby nierówność została zachowana, wykres funkcji musi znajdować się nad prostą (rys. 1). Robi się to, gdy

B. Przeciwnie, w tym przypadku parabola musi znajdować się pod linią prostą. Robi się to, gdy

Przykład 3. Rozwiąż nierówność

Zbudujmy wykresy funkcji (ryc. 2).

Znajdźmy pierwiastek równania, gdy nie ma rozwiązań. Jest jedno rozwiązanie.

Aby nierówność została zachowana, hiperbola musi znajdować się nad linią. Jest to prawdą, gdy .

Przykład 4. Rozwiąż graficznie nierówność:

Zakres:

Zbudujmy wykresy funkcji dla (ryc. 3).

A. Wykres funkcji musi znajdować się pod wykresem; dzieje się tak, gdy

B. Wykres funkcji znajduje się nad wykresem w Ale ponieważ warunek ma słaby znak, ważne jest, aby nie stracić izolowanego pierwiastka

3. Wniosek

Przyjrzeliśmy się graficznej metodzie rozwiązywania równań i nierówności; Przyjrzeliśmy się konkretnym przykładom, których rozwiązanie wykorzystywało takie właściwości funkcji, jak monotoniczność i parzystość.

1. Mordkovich A.G. i in. Algebra 9. klasa: Podręcznik. Do edukacji ogólnej Instytucje - wyd. 4. - M.: Mnemosyne, 2002.-192 s.: il.

2. Mordkovich A.G. i in. Algebra 9. klasa: Książka problemów dla uczniów szkół ogólnokształcących / A.G. Mordkovich, T.N. Mishustina i in. - M.: Mnemosyne, 2002.-143 s.: il.

3. Makarychev Yu. N. Algebra. Klasa 9: edukacyjna. dla uczniów szkół ogólnokształcących. instytucje / Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, I. E. Feoktistov. — wyd. 7, wyd. i dodatkowe - M.: Mnemosyne, 2008.

4. Alimov Sh. A., Kolyagin Yu. M., Sidorov V. Algebra. 9. klasa. 16 wyd. - M., 2011. - 287 s.

5. Mordkovich A. G. Algebra. 9. klasa. Za 2 godziny Część 1. Podręcznik dla uczniów szkół ogólnokształcących / A. G. Mordkovich, P. V. Semenov. — wyd. 12, skreślone. - M.: 2010. - 224 s.: il.

6. Algebra. 9. klasa. W 2 częściach. Część 2. Książka problemowa dla uczniów szkół ogólnokształcących / A. G. Mordkovich, L. A. Aleksandrova, T. N. Miszustina i inni; wyd. A. G. Mordkovich. — wyd. 12, wyd. - M.: 2010.-223 s.: il.

1. Sekcja uniwersytecka. ru z matematyki.

2. Projekt internetowy „Zadania”.

3. Portal edukacyjny „Rozwiążę Jednolity Egzamin Państwowy”.

1. Mordkovich A.G. i in. Algebra 9. klasa: Książka problemów dla uczniów szkół ogólnokształcących / A.G. Mordkovich, T.N. Mishustina i in. - M.: Mnemosyne, 2002.-143 s.: il. Nr 355, 356, 364.

Metoda graficzna polega na skonstruowaniu zbioru dopuszczalnych rozwiązań PLP i znalezieniu w tym zbiorze punktu odpowiadającego funkcji celu max/min.

Ze względu na ograniczone możliwości wizualnej reprezentacji graficznej metodę tę stosuje się tylko w przypadku systemów nierówności liniowe z dwiema niewiadomymi i układami, które można sprowadzić do danej postaci.

Aby jasno przedstawić metodę graficzną, rozwiążmy następujący problem:

1. W pierwszym etapie należy skonstruować obszar możliwych rozwiązań. W tym przykładzie najwygodniej będzie wybrać X2 jako odciętą i X1 jako rzędną, a nierówności zapisać w następującej postaci:

Ponieważ zarówno wykresy, jak i obszar możliwych rozwiązań znajdują się w pierwszym kwartale. Aby znaleźć punkty graniczne, rozwiązujemy równania (1)=(2), (1)=(3) i (2)=(3).

Jak widać na ilustracji wielościan ABCDE tworzy obszar możliwych rozwiązań.

Jeśli obszar dopuszczalnych rozwiązań nie jest zamknięty, to albo max(f)=+ ?, albo min(f)= -?.

2. Teraz możemy przejść do bezpośredniego znalezienia maksimum funkcji f.

Podstawiając naprzemiennie współrzędne wierzchołków wielościanu do funkcji f i porównując wartości, stwierdzamy, że f(C)=f (4; 1)=19 jest maksimum tej funkcji.

To podejście jest całkiem korzystne w przypadku małej liczby wierzchołków. Ale ta procedura może zająć dużo czasu, jeśli wierzchołków jest sporo.

W tym przypadku wygodniej jest rozważyć linię poziomu w postaci f=a. Z monotonicznym wzrostem liczby a od -? do +? linie proste f=a są przesunięte wzdłuż wektora normalnego. Jeżeli przy takim ruchu linii poziomu istnieje pewien punkt X - pierwszy wspólny punkt obszaru rozwiązań dopuszczalnych (wielościan ABCDE) i linia poziomu, to f(X) jest minimum f na zbiorze ABCDE. Jeżeli X jest ostatnim punktem przecięcia linii poziomu ze zbiorem ABCDE, to f(X) jest maksimum na zbiorze rozwiązań dopuszczalnych. Jeśli dla >-? prosta f=a przecina zbiór możliwych rozwiązań, wówczas min(f)= -?. Jeśli tak się stanie dla a>+?, to max(f)=+?.

zobacz także Graficzne rozwiązywanie problemu programowania liniowego, Kanoniczna postać problemów programowania liniowego

Układ ograniczeń takiego problemu składa się z nierówności dwóch zmiennych:
a funkcja celu ma postać F = C 1 X + C 2 y które należy maksymalizować.

Odpowiedzmy sobie na pytanie: jakie pary liczb ( X; y) są rozwiązaniami układu nierówności, czyli spełniają jednocześnie każdą z nierówności? Innymi słowy, co to znaczy rozwiązać system graficznie?
Najpierw musisz zrozumieć, jakie jest rozwiązanie jednej nierówności liniowej z dwiema niewiadomymi.
Rozwiązanie nierówności liniowej z dwiema niewiadomymi polega na wyznaczeniu wszystkich par niewiadomych, dla których zachodzi nierówność.
Na przykład nierówność 3 X – 5y≥ 42 spełniające pary ( X , y): (100, 2); (3, –10) itd. Zadanie polega na znalezieniu wszystkich takich par.
Rozważmy dwie nierówności: topór + przez≤ C, topór + przez≥ C. Prosty topór + przez = C dzieli płaszczyznę na dwie półpłaszczyzny tak, aby współrzędne punktów jednej z nich spełniały nierówność topór + przez >C i druga nierówność topór + +przez <C.
Rzeczywiście, weźmy punkt ze współrzędnymi X = X 0 ; następnie punkt leżący na prostej i mający odciętą X 0, ma współrzędną

Niech będzie pewność A< 0, B>0, C>0. Wszystkie punkty z odciętą X 0 leżącego powyżej P(na przykład kropka M), Posiadać i M>y 0 i wszystkie punkty poniżej punktu P, z odciętą X 0, mam i N<y 0. Od X 0 jest dowolnym punktem, wtedy zawsze będą punkty po jednej stronie linii, dla której topór+ przez > C, tworząc półpłaszczyznę, a po drugiej stronie - punkty dla których topór + przez< C.

Rysunek 1

Znak nierówności w półpłaszczyźnie zależy od liczb A, B , C.
Prowadzi to do następującej metody rozwiązanie graficzne układy nierówności liniowych dwóch zmiennych. Aby rozwiązać system, potrzebujesz:

Dla każdej nierówności napisz równanie odpowiadające tej nierówności.
Konstruuj proste będące wykresami funkcji określonych równaniami.
Dla każdej prostej wyznacz półpłaszczyznę, która wynika z nierówności. Aby to zrobić, weź dowolny punkt, który nie leży na prostej i podstaw jego współrzędne do nierówności. jeżeli nierówność jest prawdziwa, to półpłaszczyzna zawierająca wybrany punkt jest rozwiązaniem pierwotnej nierówności. Jeżeli nierówność jest fałszywa, to półpłaszczyzna po drugiej stronie prostej jest zbiorem rozwiązań tej nierówności.
Aby rozwiązać układ nierówności, należy znaleźć pole przecięcia wszystkich półpłaszczyzn, które są rozwiązaniem każdej nierówności układu.

Obszar ten może okazać się pusty, wówczas układ nierówności nie ma rozwiązań i jest niespójny. W przeciwnym razie mówi się, że system jest spójny.
Może istnieć skończona liczba lub nieskończona liczba rozwiązań. Obszar może być zamkniętym wielokątem lub nieograniczony.

Przyjrzyjmy się trzem odpowiednim przykładom.

Przykład 1. Rozwiąż układ graficznie:
X + y – 1 ≤ 0;
–2X - 2y + 5 ≤ 0.

rozważ równania x+y–1=0 i –2x–2y+5=0 odpowiadające nierównościom;
Skonstruujmy linie proste określone przez te równania.

Rysunek 2

Zdefiniujmy półpłaszczyzny wyznaczone przez nierówności. Weźmy dowolny punkt, niech (0; 0). Rozważmy X+ y– 1 0 zamień punkt (0; 0): 0 + 0 – 1 ≤ 0. Oznacza to, że w półpłaszczyźnie, w której leży punkt (0; 0), X + y – 1 ≤ 0, tj. półpłaszczyzna leżąca poniżej prostej jest rozwiązaniem pierwszej nierówności. Podstawiając ten punkt (0; 0) do drugiego, otrzymujemy: –2 ∙ 0 – 2 ∙ 0 + 5 ≤ 0, tj. w półpłaszczyźnie, w której leży punkt (0; 0), –2 X – 2y+ 5≥ 0 i zapytano nas, gdzie –2 X – 2y+ 5 ≤ 0 zatem w drugiej półpłaszczyźnie - w tej nad prostą.
Znajdźmy przecięcie tych dwóch półpłaszczyzn. Proste są równoległe, więc płaszczyzny nigdzie się nie przecinają, co oznacza, że układ tych nierówności nie ma rozwiązań i jest niespójny.

Przykład 2. Znajdź graficznie rozwiązania układu nierówności:

Rysunek 3
1. Wypiszmy równania odpowiadające nierównościom i skonstruujmy proste.
X + 2y– 2 = 0

X	2	0
y	0	1

y – X – 1 = 0

X	0	2
y	1	3

y + 2 = 0;
y = –2.
2. Po wybraniu punktu (0; 0) wyznaczamy znaki nierówności w półpłaszczyznach:
0 + 2 ∙ 0 – 2 ≤ 0, tj. X + 2y– 2 ≤ 0 w półpłaszczyźnie poniżej prostej;
0 – 0 – 1 ≤ 0, tj. y –X– 1 ≤ 0 w półpłaszczyźnie poniżej prostej;
0 + 2 =2 ≥ 0, tj. y+ 2 ≥ 0 w półpłaszczyźnie nad prostą.
3. Przecięciem tych trzech półpłaszczyzn będzie obszar będący trójkątem. Znalezienie wierzchołków obszaru jako punktów przecięcia odpowiednich linii nie jest trudne

Zatem, A(–3; –2), W(0; 1), Z(6; –2).

Rozważmy inny przykład, w którym wynikowa dziedzina rozwiązań systemu nie jest ograniczona.