Największy wspólny dzielnik i najmniejsza wspólna wielokrotność to kluczowe pojęcia arytmetyczne, które pozwalają na łatwe działanie zwykłe ułamki. LCM i są najczęściej używane do znalezienia wspólnego mianownika kilku ułamków.
Podstawowe pojęcia
Dzielnik liczby całkowitej X to inna liczba całkowita Y, przez którą X jest dzielone bez pozostawiania reszty. Na przykład dzielnik liczby 4 to 2, a 36 to 4, 6, 9. Wielokrotność liczby całkowitej X to liczba Y, która dzieli się przez X bez reszty. Na przykład 3 jest wielokrotnością 15, a 6 jest wielokrotnością 12.
Dla każdej pary liczb możemy znaleźć ich wspólne dzielniki i wielokrotności. Na przykład dla liczb 6 i 9 wspólna wielokrotność wynosi 18, a wspólny dzielnik wynosi 3. Oczywiście pary mogą mieć kilka dzielników i wielokrotności, dlatego w obliczeniach używany jest największy dzielnik GCD i najmniejsza wielokrotność LCM.
Najmniejszy dzielnik nie ma znaczenia, ponieważ dla dowolnej liczby jest zawsze jeden. Największa wielokrotność również nie ma znaczenia, ponieważ ciąg wielokrotności zmierza do nieskończoności.
Znalezienie gcd
Istnieje wiele metod znajdowania największego wspólnego dzielnika, z których najbardziej znane to:
- sekwencyjne wyszukiwanie dzielników, wybór wspólnych dla pary i poszukiwanie największego z nich;
- rozkład liczb na czynniki niepodzielne;
- algorytm euklidesowy;
- algorytm binarny.
Dziś o godz instytucje edukacyjne Do najpopularniejszych należą metody faktoryzacji liczb pierwszych i algorytm Euklidesa. To drugie z kolei wykorzystuje się przy rozwiązywaniu równań diofantyny: poszukiwanie NWD jest wymagane, aby sprawdzić równanie pod kątem możliwości rozwiązania w liczbach całkowitych.
Znalezienie NOC
Najmniejszą wspólną wielokrotność wyznacza się również metodą wyszukiwania sekwencyjnego lub rozkładu na niepodzielne czynniki. Ponadto łatwo jest znaleźć LCM, jeśli został już określony największy dzielnik. Dla liczb X i Y LCM i GCD są powiązane następującą zależnością:
LCD(X,Y) = X × Y / GCD(X,Y).
Na przykład, jeśli GCM(15,18) = 3, to LCM(15,18) = 15 × 18 / 3 = 90. Najbardziej oczywistym przykładem użycia LCM jest znalezienie wspólnego mianownika, który jest najmniejszą wspólną wielokrotnością dane ułamki.
Liczby względnie pierwsze
Jeżeli para liczb nie ma wspólnych dzielników, wówczas taką parę nazywamy względnie pierwszą. Współczynnik gcd dla takich par jest zawsze równy jeden, a na podstawie połączenia między dzielnikami i wielokrotnościami, gcd dla par względnie pierwszych jest równy ich iloczynowi. Na przykład liczby 25 i 28 są względnie pierwsze, ponieważ nie mają wspólnych dzielników, a LCM(25, 28) = 700, co odpowiada ich iloczynowi. Każde dwie niepodzielne liczby zawsze będą względnie pierwsze.
Wspólny dzielnik i kalkulator wielokrotny
Za pomocą naszego kalkulatora możesz obliczyć GCD i LCM dla dowolnej liczby liczb do wyboru. Zadania dotyczące obliczania wspólnych dzielników i wielokrotności znajdują się w arytmetyce w piątej i szóstej klasie, ale GCD i LCM są kluczowymi pojęciami w matematyce i są wykorzystywane w teorii liczb, planimetrii i algebrze komunikacyjnej.
Przykłady z życia wzięte
Wspólny mianownik ułamków
Najmniejsza wspólna wielokrotność jest używana przy znajdowaniu wspólnego mianownika wielu ułamków. Załóżmy, że w zadaniu arytmetycznym musisz zsumować 5 ułamków:
1/8 + 1/9 + 1/12 + 1/15 + 1/18.
Aby dodać ułamek, wyrażenie należy zredukować do wspólny mianownik, co sprowadza się do problemu znalezienia LCM. Aby to zrobić, wybierz 5 liczb w kalkulatorze i wprowadź wartości mianowników w odpowiednich komórkach. Program obliczy LCM (8, 9, 12, 15, 18) = 360. Teraz dla każdego ułamka należy obliczyć dodatkowe współczynniki, które definiuje się jako stosunek LCM do mianownika. Zatem dodatkowe mnożniki będą wyglądać następująco:
- 360/8 = 45
- 360/9 = 40
- 360/12 = 30
- 360/15 = 24
- 360/18 = 20.
Następnie mnożymy wszystkie ułamki przez odpowiedni dodatkowy współczynnik i otrzymujemy:
45/360 + 40/360 + 30/360 + 24/360 + 20/360.
Możemy łatwo zsumować takie ułamki i otrzymać wynik jako 159/360. Zmniejszamy ułamek o 3 i widzimy ostateczną odpowiedź - 53/120.
Rozwiązywanie liniowych równań diofantyny
Liniowe równania diofantyny są wyrażeniami w postaci ax + by = d. Jeśli stosunek d / gcd(a, b) jest liczbą całkowitą, wówczas równanie można rozwiązać w liczbach całkowitych. Sprawdźmy kilka równań, aby zobaczyć, czy mają rozwiązanie w postaci liczb całkowitych. Najpierw sprawdźmy równanie 150x + 8y = 37. Używając kalkulatora, znajdujemy GCD (150,8) = 2. Podziel 37/2 = 18,5. Liczba nie jest liczbą całkowitą, dlatego równanie nie ma pierwiastków całkowitych.
Sprawdźmy równanie 1320x + 1760y = 10120. Użyj kalkulatora, aby znaleźć GCD(1320, 1760) = 440. Podziel 10120/440 = 23. W rezultacie otrzymamy liczbę całkowitą, zatem równanie diofantyny można rozwiązać przy współczynnikach całkowitych .
Wniosek
GCD i LCM odgrywają dużą rolę w teorii liczb, a same pojęcia są szeroko stosowane w wielu różnych obszarach matematyki. Skorzystaj z naszego kalkulatora i wykonaj obliczenia największe dzielniki i najmniejsze wielokrotności dowolnej liczby liczb.
Kalkulator online pozwala szybko znaleźć największy wspólny dzielnik i najmniejszą wspólną wielokrotność dla dwóch lub dowolnej innej liczby liczb.
Kalkulator do znajdowania GCD i LCM
Znajdź GCD i LOC
Znaleziono GCD i LOC: 5806
Jak korzystać z kalkulatora
- Wprowadź liczby w polu wejściowym
- Jeśli wprowadzisz nieprawidłowe znaki, pole wprowadzania zostanie podświetlone na czerwono
- kliknij przycisk „Znajdź GCD i LOC”.
Jak wprowadzać liczby
- Liczby wprowadza się oddzielając spacją, kropką lub przecinkiem
- Długość wprowadzanych numerów nie jest ograniczona, więc znalezienie GCD i LCM długich liczb nie jest trudne
Co to są GCD i NOC?
Największy wspólny dzielnik kilka liczb to największa naturalna liczba całkowita, przez którą wszystkie liczby pierwotne są podzielne bez reszty. Największy wspólny dzielnik jest skracany jako NWD.
Najmniejsza wspólna wielokrotność kilka liczb jest najmniejsza liczba, która jest podzielna przez każdą z liczb pierwotnych bez reszty. Najmniejsza wspólna wielokrotność jest skracana jako NOC.
Jak sprawdzić, czy liczba jest podzielna przez inną liczbę bez reszty?
Aby dowiedzieć się, czy jedna liczba jest podzielna przez inną bez reszty, możesz skorzystać z niektórych właściwości podzielności liczb. Następnie łącząc je, można sprawdzić podzielność niektórych z nich i ich kombinacji.
Niektóre oznaki podzielności liczb
1. Test podzielności liczby przez 2
Aby ustalić, czy liczba jest podzielna przez dwa (czy jest parzysta), wystarczy spojrzeć na ostatnią cyfrę tej liczby: jeśli jest równa 0, 2, 4, 6 lub 8, to liczba jest parzysta, co oznacza, że jest podzielna przez 2.
Przykład: ustalić, czy liczba 34938 jest podzielna przez 2.
Rozwiązanie: Patrzymy na ostatnią cyfrę: 8 - oznacza to, że liczba jest podzielna przez dwa.
2. Test podzielności liczby przez 3
Liczba jest podzielna przez 3, gdy suma jej cyfr jest podzielna przez trzy. Zatem, aby ustalić, czy liczba jest podzielna przez 3, należy obliczyć sumę cyfr i sprawdzić, czy jest ona podzielna przez 3. Nawet jeśli suma cyfr jest bardzo duża, można powtórzyć ten sam proces jeszcze raz.
Przykład: ustalić, czy liczba 34938 jest podzielna przez 3.
Rozwiązanie: Liczymy sumę liczb: 3+4+9+3+8 = 27. 27 jest podzielne przez 3, co oznacza, że liczba ta jest podzielna przez trzy.
3. Test podzielności liczby przez 5
Liczba jest podzielna przez 5, gdy jej ostatnią cyfrą jest zero lub pięć.
Przykład: ustalić, czy liczba 34938 jest podzielna przez 5.
Rozwiązanie: spójrz na ostatnią cyfrę: 8 oznacza, że liczba NIE jest podzielna przez pięć.
4. Test podzielności liczby przez 9
Znak ten jest bardzo podobny do znaku podzielności przez trzy: liczba jest podzielna przez 9, gdy suma jej cyfr jest podzielna przez 9.
Przykład: ustalić, czy liczba 34938 jest podzielna przez 9.
Rozwiązanie: Liczymy sumę liczb: 3+4+9+3+8 = 27. 27 jest podzielne przez 9, co oznacza, że liczba ta jest podzielna przez dziewięć.
Jak znaleźć GCD i LCM dwóch liczb
Jak znaleźć gcd dwóch liczb
Bardzo w prosty sposób Obliczanie największego wspólnego dzielnika dwóch liczb polega na znalezieniu wszystkich możliwych dzielników tych liczb i wybraniu największego z nich.
Rozważmy tę metodę na przykładzie znalezienia NWD(28, 36):
- Rozkładamy na czynniki obie liczby: 28 = 1,2,2,7, 36 = 1,2,2,3,3
- Znajdujemy wspólne czynniki, czyli takie, które mają obie liczby: 1, 2 i 2.
- Obliczamy iloczyn tych czynników: 1 2 2 = 4 - jest to największy wspólny dzielnik liczb 28 i 36.
Jak znaleźć LCM dwóch liczb
Istnieją dwa najczęstsze sposoby znajdowania najmniejszej wielokrotności dwóch liczb. Pierwsza metoda polega na tym, że możesz zapisać pierwsze wielokrotności dwóch liczb, a następnie wybrać spośród nich liczbę, która będzie wspólna dla obu liczb i jednocześnie najmniejsza. Drugim jest znalezienie gcd tych liczb. Rozważmy tylko to.
Aby obliczyć LCM, należy obliczyć iloczyn liczb pierwotnych, a następnie podzielić go przez wcześniej znaleziony GCD. Znajdźmy LCM dla tych samych liczb 28 i 36:
- Znajdź iloczyn liczb 28 i 36: 28,36 = 1008
- NWD(28, 36), jak już wiadomo, jest równe 4
- LCM(28, 36) = 1008 / 4 = 252 .
Znajdowanie GCD i LCM dla kilku liczb
Największy wspólny dzielnik można znaleźć dla kilku liczb, a nie tylko dwóch. W tym celu liczby, które należy znaleźć dla największego wspólnego dzielnika, rozkłada się na czynniki pierwsze, a następnie oblicza się iloczyn wspólnych czynników pierwszych tych liczb. Możesz także użyć poniższej relacji, aby znaleźć gcd kilku liczb: NWD(a, b, c) = NWD(NWD(a, b), c).
Podobna zależność dotyczy najmniejszej wspólnej wielokrotności: LCM(a, b, c) = LCM(LCM(a, b), c)
Przykład: znajdź GCD i LCM dla liczb 12, 32 i 36.
- Najpierw rozłóżmy liczby na czynniki: 12 = 1,2,2,3, 32 = 1,2,2,2,2,2, 36 = 1,2,2,3,3.
- Znajdźmy wspólne czynniki: 1, 2 i 2.
- Ich produkt da NWD: 1,2,2 = 4
- Teraz znajdźmy LCM: w tym celu najpierw znajdźmy LCM(12, 32): 12·32 / 4 = 96 .
- Aby znaleźć LCM wszystkich trzech liczb, musisz znaleźć GCD(96, 36): 96 = 1·2·2·2·2·2·3 , 36 = 1·2·2·3·3 , GCD = 1,2 · 2 3 = 12.
- LCM(12, 32, 36) = 96,36 / 12 = 288.
Przyjrzyjmy się trzem sposobom znalezienia najmniejszej wspólnej wielokrotności.
Znajdowanie przez faktoryzację
Pierwsza metoda polega na znalezieniu najmniejszej wspólnej wielokrotności poprzez rozłożenie podanych liczb na czynniki pierwsze.
Powiedzmy, że musimy znaleźć LCM liczb: 99, 30 i 28. Aby to zrobić, rozłóżmy każdą z tych liczb na czynniki pierwsze:
Aby żądana liczba była podzielna przez 99, 30 i 28, konieczne i wystarczające jest, aby zawierała wszystkie czynniki pierwsze tych dzielników. Aby to zrobić, musimy podnieść wszystkie czynniki pierwsze tych liczb do największej możliwej potęgi i pomnożyć je przez siebie:
2 2 3 2 5 7 11 = 13860
Zatem LCM (99, 30, 28) = 13 860. Żadna inna liczba mniejsza niż 13 860 nie jest podzielna przez 99, 30 lub 28.
Aby znaleźć najmniejszą wspólną wielokrotność danych liczb, należy je rozłożyć na czynniki pierwsze, następnie wziąć każdy czynnik pierwszy z największym wykładnikiem, w jakim się pojawia, i pomnożyć te czynniki przez siebie.
Ponieważ liczby względnie pierwsze nie mają wspólnych czynników pierwszych, ich najmniejsza wspólna wielokrotność jest równa iloczynowi tych liczb. Na przykład trzy liczby: 20, 49 i 33 są względnie pierwsze. Dlatego
LCM (20, 49, 33) = 20 49 33 = 32 340.
To samo należy zrobić, szukając najmniejszej wspólnej wielokrotności różnych liczby pierwsze. Na przykład LCM (3, 7, 11) = 3 7 11 = 231.
Znalezienie poprzez selekcję
Druga metoda polega na znalezieniu najmniejszej wspólnej wielokrotności poprzez selekcję.
Przykład 1. Kiedy największa z danych liczb jest dzielona przez inną podaną liczbę, wówczas LCM tych liczb jest równy największej z nich. Przykładowo biorąc pod uwagę cztery liczby: 60, 30, 10 i 6. Każda z nich jest podzielna przez 60, zatem:
LCM(60, 30, 10, 6) = 60
W innych przypadkach, aby znaleźć najmniejszą wspólną wielokrotność, stosuje się następującą procedurę:
- Spośród podanych liczb znajdź największą liczbę.
- Następnie znajdujemy liczby będące wielokrotnościami największej liczby, mnożąc ją przez liczby naturalne w kolejności rosnącej i sprawdzając, czy otrzymany iloczyn jest podzielny przez pozostałe podane liczby.
Przykład 2. Mając trzy liczby 24, 3 i 18. Wyznaczamy największą z nich - jest to liczba 24. Następnie znajdujemy liczby będące wielokrotnościami 24, sprawdzając, czy każda z nich jest podzielna przez 18 i 3:
24 · 1 = 24 - dzieli się przez 3, ale nie jest podzielna przez 18.
24 · 2 = 48 - dzieli się przez 3, ale nie jest podzielna przez 18.
24 · 3 = 72 - podzielne przez 3 i 18.
Zatem LCM (24, 3, 18) = 72.
Wyszukiwanie poprzez sekwencyjne wyszukiwanie LCM
Trzecia metoda polega na znalezieniu najmniejszej wspólnej wielokrotności poprzez kolejne znalezienie LCM.
LCM dwóch danych liczb jest równy iloczynowi tych liczb podzielonemu przez ich największy wspólny dzielnik.
Przykład 1. Znajdź LCM dwóch danych liczb: 12 i 8. Określ ich największy wspólny dzielnik: GCD (12, 8) = 4. Pomnóż te liczby:
Produkt dzielimy według ich gcd:
Zatem LCM (12, 8) = 24.
Aby znaleźć LCM trzech lub więcej liczb, wykonaj następującą procedurę:
- Najpierw znajdź LCM dowolnych dwóch z tych liczb.
- Następnie LCM znalezionej najmniejszej wspólnej wielokrotności i trzeciej podanej liczby.
- Następnie LCM wynikowej najmniejszej wspólnej wielokrotności i czwartej liczby itd.
- Zatem poszukiwanie LCM trwa tak długo, jak istnieją liczby.
Przykład 2. Znajdź LCM trzy dane liczby: 12, 8 i 9. LCM liczb 12 i 8 znaleźliśmy już w poprzednim przykładzie (jest to liczba 24). Pozostaje znaleźć najmniejszą wspólną wielokrotność liczby 24 i trzeciej podanej liczby - 9. Wyznacz ich największy wspólny dzielnik: NWD (24, 9) = 3. Pomnóż LCM przez liczbę 9:
Produkt dzielimy według ich gcd:
Zatem LCM (12, 8, 9) = 72.
Drugi numer: b=
Separator tysięcy Bez separatora spacji „”.
Wynik:
Największy wspólny dzielnik gcd( A,B)=6
Najmniejsza wspólna wielokrotność LCM ( A,B)=468
Największy liczba naturalna, przez który liczby a i b są dzielone bez reszty, nazywa się największy wspólny dzielnik(GCD) tych liczb. Oznaczone przez gcd(a,b), (a,b), gcd(a,b) lub hcf(a,b).
Najmniejsza wspólna wielokrotność LCM dwóch liczb całkowitych aib jest najmniejszą liczbą naturalną, która dzieli się przez aib bez reszty. Oznaczone jako LCM(a,b) lub lcm(a,b).
Nazywa się liczby całkowite a i b wzajemnie pierwsze, jeśli nie mają wspólnych dzielników innych niż +1 i -1.
Największy wspólny dzielnik
Niech zostaną dane dwa liczby dodatnie A 1 i A 2 1). Konieczne jest znalezienie wspólnego dzielnika tych liczb, tj. znajdź taką liczbę λ , który dzieli liczby A 1 i A 2 jednocześnie. Opiszmy algorytm.
1) W tym artykule liczba słów będzie rozumiana jako liczba całkowita.
Pozwalać A 1 ≥ A 2 i niech
Gdzie M 1 , A 3 to niektóre liczby całkowite, A 3 <A 2 (reszta z dzielenia A 1 os A 2 powinno być mniej A 2).
Załóżmy, że λ dzieli A 1 i A 2 wtedy λ dzieli M 1 A 2 i λ dzieli A 1 −M 1 A 2 =A 3 (Stwierdzenie 2 artykułu „Podzielność liczb. Test podzielności”). Wynika z tego, że każdy wspólny dzielnik A 1 i A 2 jest wspólnym dzielnikiem A 2 i A 3. Odwrotna sytuacja jest również prawdą, jeśli λ wspólny dzielnik A 2 i A 3 wtedy M 1 A 2 i A 1 =M 1 A 2 +A 3 jest również podzielne przez λ . Dlatego wspólny dzielnik A 2 i A 3 jest także wspólnym dzielnikiem A 1 i A 2. Ponieważ A 3 <A 2 ≤A 1, to możemy powiedzieć, że jest to rozwiązanie problemu znalezienia wspólnego dzielnika liczb A 1 i A 2 zredukowano do prostszego problemu znalezienia wspólnego dzielnika liczb A 2 i A 3 .
Jeśli A 3 ≠0, to możemy dzielić A 2 włączone A 3. Następnie
,
Gdzie M 1 i A 4 to niektóre liczby całkowite, ( A 4 pozostałe z dzielenia A 2 włączone A 3 (A 4 <A 3)). Z podobnego rozumowania dochodzimy do wniosku, że wspólne dzielniki liczb A 3 i A 4 pokrywa się ze wspólnymi dzielnikami liczb A 2 i A 3, a także ze wspólnymi dzielnikami A 1 i A 2. Ponieważ A 1 , A 2 , A 3 , A 4, ... to liczby, które stale maleją, a pomiędzy nimi jest skończona liczba liczb całkowitych A 2 i 0, a potem w pewnym momencie N, reszta z dzielenia A n A n+1 będzie równe zero ( A n+2 =0).
.
Każdy wspólny dzielnik λ takty muzyczne A 1 i A 2 jest także dzielnikiem liczb A 2 i A 3 , A 3 i A 4 , .... A n i A n+1 . Odwrotna sytuacja jest również prawdą, wspólne dzielniki liczb A n i A n+1 są także dzielnikami liczb A n-1 i A N , .... , A 2 i A 3 , A 1 i A 2. Ale wspólny dzielnik liczb A n i A n+1 to liczba A n+1 , ponieważ A n i A n+1 jest podzielne przez A n+1 (pamiętaj o tym A n+2 =0). Stąd A n+1 jest także dzielnikiem liczb A 1 i A 2 .
Należy pamiętać, że liczba A n+1 to największy dzielnik liczb A n i A n+1 , od największego dzielnika A n+1 jest sobą A n+1 . Jeśli A n+1 można przedstawić jako iloczyn liczb całkowitych, wówczas liczby te są również wspólnymi dzielnikami liczb A 1 i A 2. Numer A nazywa się n+1 największy wspólny dzielnik takty muzyczne A 1 i A 2 .
Takty muzyczne A 1 i A 2 może być liczbą dodatnią lub ujemną. Jeżeli jedna z liczb jest równa zero, to największy wspólny dzielnik tych liczb będzie równy wartości bezwzględnej drugiej liczby. Największy wspólny dzielnik liczb zerowych jest nieokreślony.
Powyższy algorytm nazywa się Algorytm euklidesowy znaleźć największy wspólny dzielnik dwóch liczb całkowitych.
Przykład znalezienia największego wspólnego dzielnika dwóch liczb
Znajdź największy wspólny dzielnik dwóch liczb 630 i 434.
- Krok 1. Podziel liczbę 630 przez 434. Reszta to 196.
- Krok 2. Podziel liczbę 434 przez 196. Reszta to 42.
- Krok 3. Podziel liczbę 196 przez 42. Reszta to 28.
- Krok 4. Podziel liczbę 42 przez 28. Reszta to 14.
- Krok 5. Podziel liczbę 28 przez 14. Reszta to 0.
W kroku 5 reszta dzielenia wynosi 0. Zatem największym wspólnym dzielnikiem liczb 630 i 434 jest 14. Zauważ, że liczby 2 i 7 są również dzielnikami liczb 630 i 434.
Liczby względnie pierwsze
Definicja 1. Niech największy wspólny dzielnik liczb A 1 i A 2 równa się jeden. Następnie te liczby są wywoływane liczby względnie pierwsze, nie mający wspólnego dzielnika.
Twierdzenie 1. Jeśli A 1 i A 2 liczby względnie pierwsze i λ pewna liczba, a następnie dowolny wspólny dzielnik liczb λa 1 i A 2 jest także wspólnym dzielnikiem liczb λ I A 2 .
Dowód. Rozważmy algorytm Euklidesa służący do znajdowania największego wspólnego dzielnika liczb A 1 i A 2 (patrz wyżej).
.
Z warunków twierdzenia wynika, że największy wspólny dzielnik liczb A 1 i A 2 i dlatego A n i A n+1 równa się 1. To znaczy A n+1 =1.
Pomnóżmy wszystkie te równości przez λ , Następnie
.
Niech wspólny dzielnik A 1 λ I A 2 tak δ . Następnie δ jest uwzględniany jako mnożnik w A 1 λ , M 1 A 2 λ i w A 1 λ -M 1 A 2 λ =A 3 λ (cm. „Podzielność liczb”, stwierdzenie 2). Następny δ jest uwzględniany jako mnożnik w A 2 λ I M 2 A 3 λ , i dlatego jest uwzględniany jako czynnik w A 2 λ -M 2 A 3 λ =A 4 λ .
Rozumując w ten sposób, jesteśmy o tym przekonani δ jest uwzględniany jako mnożnik w A n-1 λ I M n-1 A N λ , a zatem w A n-1 λ −M n-1 A N λ =A n+1 λ . Ponieważ A n+1 =1, zatem δ jest uwzględniany jako mnożnik w λ . Dlatego liczba δ jest wspólnym dzielnikiem liczb λ I A 2 .
Rozważmy szczególne przypadki twierdzenia 1.
Konsekwencja 1. Pozwalać A I C Liczby pierwsze są względne B. Potem ich produkt AC jest liczbą pierwszą względem B.
Naprawdę. Z twierdzenia 1 AC I B mają takie same wspólne dzielniki jak C I B. Ale liczby C I B stosunkowo proste, tj. mają jeden wspólny dzielnik 1. Następnie AC I B mają również jeden wspólny dzielnik 1. Dlatego AC I B wzajemnie proste.
Konsekwencja 2. Pozwalać A I B liczby względnie pierwsze i niech B dzieli ok. Następnie B dzieli i k.
Naprawdę. Od warunku zatwierdzenia ok I B mają wspólny dzielnik B. Na mocy Twierdzenia 1, B musi być wspólnym dzielnikiem B I k. Stąd B dzieli k.
Wniosek 1 można uogólnić.
Konsekwencja 3. 1. Niech liczby A 1 , A 2 , A 3 , ..., A m są liczbą pierwszą w stosunku do liczby B. Następnie A 1 A 2 , A 1 A 2 · A 3 , ..., A 1 A 2 A 3 ··· A m, iloczyn tych liczb jest liczbą pierwszą B.
2. Miejmy dwa rzędy liczb
tak, że każda liczba z pierwszego szeregu jest liczbą pierwszą w stosunku do każdej liczby z drugiego szeregu. Następnie produkt
Musisz znaleźć liczby podzielne przez każdą z tych liczb.
Jeśli liczba jest podzielna przez A 1, to ma postać sa 1 gdzie S jakiś numer. Jeśli Q jest największym wspólnym dzielnikiem liczb A 1 i A 2, zatem
Gdzie S 1 to pewna liczba całkowita. Następnie
Jest najmniejsza wspólna wielokrotność liczb A 1 i A 2 .
A 1 i A 2 są względnie pierwsze, to najmniejsza wspólna wielokrotność liczb A 1 i A 2:
Musimy znaleźć najmniejszą wspólną wielokrotność tych liczb.
Z powyższego wynika, że dowolna wielokrotność liczb A 1 , A 2 , A 3 musi być wielokrotnością liczb ε I A 3 i z powrotem. Niech najmniejsza wspólna wielokrotność liczb ε I A 3 tak ε 1. Następnie wielokrotności liczb A 1 , A 2 , A 3 , A Liczba 4 musi być wielokrotnością liczb ε 1 i A 4. Niech najmniejsza wspólna wielokrotność liczb ε 1 i A 4 tak ε 2. W ten sposób dowiedzieliśmy się, że wszystkie wielokrotności liczb A 1 , A 2 , A 3 ,...,A m pokrywają się z wielokrotnościami pewnej liczby ε n, co nazywa się najmniejszą wspólną wielokrotnością danych liczb.
W szczególnym przypadku, gdy liczby A 1 , A 2 , A 3 ,...,A m są względnie pierwsze, to najmniejsza wspólna wielokrotność liczb A 1 , A 2, jak pokazano powyżej, ma postać (3). Następny, od A 3 liczby pierwsze w odniesieniu do liczb A 1 , A 2 wtedy A 3 liczba pierwsza A 1 · A 2 (wniosek 1). Oznacza najmniejszą wspólną wielokrotność liczb A 1 ,A 2 ,A 3 to liczba A 1 · A 2 · A 3. Rozumując w podobny sposób, dochodzimy do następujących stwierdzeń.
Oświadczenie 1. Najmniejsza wspólna wielokrotność liczb względnie pierwszych A 1 , A 2 , A 3 ,...,A m jest równe ich iloczynowi A 1 · A 2 · A 3 ··· A M.
Oświadczenie 2. Dowolna liczba, która jest podzielna przez każdą z liczb stosunkowo pierwszych A 1 , A 2 , A 3 ,...,A m jest również podzielne przez ich iloczyn A 1 · A 2 · A 3 ··· A M.
Załadunek...