Przekraczanie linii można łatwo rozpoznać po tych cechach. Znak 1. Jeżeli na dwóch liniach nie leżą w tej samej płaszczyźnie cztery punkty, to linie te przecinają się (ryc. 1.21).
Rzeczywiście, gdyby te proste przecinały się lub były równoległe, to leżałyby w tej samej płaszczyźnie i wówczas dane punkty leżałyby w tej samej płaszczyźnie, co jest sprzeczne z warunkiem.
Znak 2. Jeżeli prosta O leży na płaszczyźnie, a prosta b przecina w pewnym punkcie płaszczyznę a
M nie leży na linii a, wówczas linie aib przecinają się (ryc. 1.22).
Rzeczywiście, biorąc dowolne dwa punkty na prostej a i dowolne dwa punkty na prostej b, dochodzimy do kryterium 1, tj. a i b są skrzyżowane.
Prawdziwymi przykładami przecięcia linii są węzły komunikacyjne (rys. 1.23).
W przestrzeni jest w pewnym sensie więcej par przecinających się linii niż par linii równoległych lub przecinających się. Można to wyjaśnić w ten sposób.
Weźmy w przestrzeni punkt A i prostą a, która nie przechodzi przez punkt A. Aby narysować linię równoległą do linii a przechodzącej przez punkt A, musimy narysować płaszczyznę a przechodzącą przez punkt A i linię a (Twierdzenie 2 z paragrafu 1.1 ), a następnie w płaszczyźnie i narysuj linię b równoległą do linii a (ryc. 1.24).
Jest tylko jedna taka linia b. Wszystkie proste przechodzące przez punkt A i przecinającą linię O również leżą w płaszczyźnie a i wypełniają ją całą z wyjątkiem prostej b. Wszystkie inne linie przechodzące przez A i wypełniające całą przestrzeń z wyjątkiem płaszczyzny a przetną się z linią a. Można powiedzieć, że przecinające się linie w przestrzeni to przypadek ogólny, a linie przecinające się i równoległe to przypadki szczególne. „Małe ruchy” przecinających się linii powodują ich przecięcie. Ale właściwości bycia równoległym lub przecinającym się z „małymi ruchami” w przestrzeni nie są zachowane.
AG.40. Odległość między dwiema przecinającymi się liniami
We współrzędnych 
FMP.3. PEŁNY PRZYROST
funkcje kilku zmiennych - przyrost uzyskany przez funkcję, gdy wszystkie argumenty otrzymają (ogólnie rzecz biorąc, niezerowe) przyrosty. Dokładniej, niech funkcja f będzie zdefiniowana w sąsiedztwie punktu
n-wymiarowa przestrzeń zmiennych x 1,. . ., x s. Przyrost
funkcja f w punkcie x (0), gdzie
zwany pełny przyrost, jeśli rozpatrywać go jako funkcję n możliwych przyrostów D x 1, . . ., D x rz argumenty x 1, . .., xp, pod warunkiem tylko, że punkt x (0) + Dx należy do dziedziny definicji funkcji f. Oprócz częściowych przyrostów funkcji uwzględniane są częściowe przyrosty D x k f funkcja f w punkcie x (0) w zmiennej xk, czyli takie przyrosty Df, dla których Dx уj =0, j=1, 2, . . ., k- 1, k+1, . . ., p, k - ustalone (k=1, 2,..., n).
FMP.4. Odp.: Częściowy przyrost funkcji z = (x, y) względem x jest różnicą z częściowym przyrostem funkcji
A: Pochodna cząstkowa po x funkcji z = (x, y) jest granicą stosunku przyrostu cząstkowego do przyrostu Ax, gdy ten ostatni dąży do zera:
Inne oznaczenia: Podobnie dla zmiennych -
nie, ty 
Zauważając, że wyznacza się to dla stałej y, a dla stałej x, możemy sformułować regułę: pochodna cząstkowa po x funkcji z = (x, y) jest zwykłą pochodną po x, obliczoną ze wzoru założenie, że y = const. Podobnie, aby obliczyć pochodną cząstkową względem y, należy założyć x = const. Zatem zasady obliczania pochodnych cząstkowych są takie same jak w przypadku funkcji jednej zmiennej.
FMP.5. Ciągłość funkcji. Definicja ciągłości funkcji
Funkcję nazywa się ciągłą w punkcie, jeśli spełniony jest jeden z równoważnych warunków:
2) dla dowolnej sekwencji ( x rz) wartości zbiegają się przy N→ ∞ do rzeczy X 0, odpowiednia sekwencja ( F(x rz)) wartości funkcji zbiegają się w N→ ∞ k F(X 0);
3) lub F(X) - F(X 0) → 0 w X - X 0 → 0;
4) tak, że lub, co jest tym samym,
F: ]X 0 - δ , X 0 + δ [ → ]F(X 0) - ε , F(X 0) + ε [.
Z definicji ciągłości funkcji F w tym punkcie X 0 z tego wynika
Jeśli funkcja F ciągły w każdym punkcie przedziału] A, B[, następnie funkcja F zwany ciągły w tym przedziale.
FMP.6. W analizie matematycznej pochodna częściowa- jedno z uogólnień pojęcia pochodnej na przypadek funkcji kilku zmiennych.
Jawnie pochodna cząstkowa funkcji F definiuje się następująco:
Wykres funkcji z = X² + xy + y². Pochodna cząstkowa w punkcie (1, 1, 3) przy stałej y odpowiada kątowi nachylenia stycznej równoległej do płaszczyzny xz.
Sekcje wykresu pokazane powyżej według płaszczyzny y= 1
Należy pamiętać, że przez oznaczenie należy rozumieć jako cały symbol, w przeciwieństwie do zwykłej pochodnej funkcji jednej zmiennej, którą można przedstawić jako stosunek różnic funkcji i argumentu. Jednak pochodną cząstkową można również przedstawić jako stosunek różniczek, ale w tym przypadku konieczne jest wskazanie, o jaką zmienną funkcja jest inkrementowana: , gdzie dxf- częściowa różniczka funkcji f względem zmiennej x. Często brak zrozumienia faktu integralności symbolu jest przyczyną błędów i nieporozumień, takich jak na przykład skrót w wyrażeniu. (więcej szczegółów można znaleźć w Fichtenholtz, „Przebieg rachunku różniczkowego i całkowego”).
Geometrycznie pochodna cząstkowa jest pochodną względem kierunku jednej z osi współrzędnych. Pochodna cząstkowa funkcji F w punkcie wzdłuż współrzędnej x k jest równa pochodnej względem kierunku, w którym jednostka jest włączona k-miejsce.
LA 76) Syst. Równanie nazywa się Cramerem, jeśli liczba równań jest równa liczbie niewiadomych.
LA 77-78) Syst. nazywa się wspólnym, jeśli ma co najmniej jedno rozwiązanie, a niespójnym w przeciwnym razie.
LA 79-80) System połączeń. nazywany określonym, jeśli ma tylko jedno rozwiązanie, a nieokreślonym w przeciwnym razie.
LA 81) ...wyznacznik układu Cramera był różny od zera
LA 169) Aby system był spójny, konieczne i wystarczające jest, aby rząd macierzy był równy rządowi macierzy rozszerzonej = .
LA 170) Jeżeli wyznacznik układu Cramera jest różny od zera, to układ jest zdefiniowany, a jego rozwiązanie można znaleźć korzystając ze wzorów 
LA 171) 1. Znaleźć rozwiązanie układu równań Cramera metodą macierzową; 2.. Zapiszmy układ w postaci macierzowej; 3. Obliczamy wyznacznik układu korzystając z jego własności: 4. Następnie zapisuje macierz odwrotną A-1; 5. Dlatego
LA 172) Jednorodny układ równań liniowych AX = 0. Układ jednorodny jest zawsze spójny, ponieważ ma co najmniej jedno rozwiązanie
LA 173) Jeżeli choć jeden z wyznaczników , , nie jest równy zero, to wszystkie rozwiązania układu (1) będą wyznaczane za pomocą wzorów , , , gdzie t jest dowolną liczbą. Każde indywidualne rozwiązanie uzyskuje się przy określonej wartości t.
LA 174) Zbiór rozwiązań jest jednorodny. układy nazywamy podstawowymi układami rozwiązań, jeżeli: 1) są liniowo niezależne; 2) każde rozwiązanie układu jest liniową kombinacją rozwiązań.
AG118. Ogólne równanie płaszczyzny to...
Nazywa się równaniem płaskim postaci ogólne równanie płaszczyzny.
AG119.Jeżeli płaszczyzna a jest opisana równaniem Ax+D=0, to...
PR 10.Co to jest wielkość nieskończenie mała i jakie są jej podstawowe właściwości?
PR 11. Jaką wielkość nazywamy nieskończenie dużą? Jakie jest jej powiązanie
z nieskończenie małym?
PR12.K Jaką ograniczającą relację nazywa się pierwszą niezwykłą granicą? Pierwszą niezwykłą granicę rozumie się jako relację ograniczającą
PR 13 Jaką ograniczającą relację nazywa się drugą niezwykłą granicą?
PR 14 Jakie znasz pary funkcji równoważnych?
CR64 Który szereg nazywa się harmonicznym? Pod jakim warunkiem zbiega się?
Nazywa się szereg postaci harmoniczny.
CR 65.Jaka jest suma nieskończonego postępu malejącego?
CR66. Jakie stwierdzenie oznacza pierwsze twierdzenie o porównaniu?
Niech zostaną dane dwa szeregi dodatnie
Jeżeli przynajmniej z pewnego punktu (powiedzmy dla ) zachodzi nierówność: , to ze zbieżności szeregu wynika zbieżność szeregu, albo - co na jedno wychodzi - z rozbieżności szeregu wynika rozbieżność szeregu szereg.
CR67. Jakie stwierdzenie oznacza drugie twierdzenie o porównaniu?
Załóżmy, że. Jeśli istnieje granica
wtedy, gdy oba szeregi są zbieżne lub rozbieżne jednocześnie.
CR 45 Formułować niezbędny znak zbieżność szeregu.
Jeśli szereg ma skończoną sumę, nazywa się go zbieżnym.
CR 29 Szereg harmoniczny to szereg postaci... Zbiega się kiedy
Nazywa się szereg postaci harmoniczny. Zatem szereg harmoniczny zbiega się i rozchodzi się w .
AG 6. Uporządkowany układ liniowo niezależnych wektorów leżących na danej prostej (w danej płaszczyźnie, w przestrzeni) nazywa się bazą na tej prostej (w tej płaszczyźnie, w przestrzeni), jeżeli dowolny wektor leżący na danej prostej (w dana płaszczyzna w przestrzeni) można przedstawić jako liniową kombinację wektorów tego liniowo niezależnego układu.
Dowolna para wektorów niewspółliniowych leżących w danej płaszczyźnie tworzy bazę na tej płaszczyźnie.
AG 7. Uporządkowany układ liniowo niezależnych wektorów leżących na danej prostej (w danej płaszczyźnie, w przestrzeni) nazywamy bazą na tej prostej (w tej płaszczyźnie, w przestrzeni), jeżeli dowolny wektor leżący na danej prostej (w dana płaszczyzna, przestrzeń) można przedstawić jako liniową kombinację wektorów tego liniowo niezależnego układu.
Dowolna trójka wektorów niewspółpłaszczyznowych tworzy bazę w przestrzeni.
AG 8, Współczynniki rozwinięcia wektora po podstawie nazywane są współrzędnymi tego wektora w danej bazie. Aby znaleźć współrzędne wektora o danym początku i końcu, należy od współrzędnych końca wektora odjąć współrzędne jego początku: jeśli , , to .
AG 9.a) Konstruujmy wektor (nazywa się wektor mający początek w punkcie i koniec w punkcie wektor promienia punktu ).
AG 10. Nie, ponieważ Radianowa miara kąta między dwoma wektorami jest zawsze zawarta pomiędzy i
AG 11. Skalar to dowolna liczba rzeczywista. Produkt kropkowy dwa wektory, a liczbę nazywa się równą iloczynowi ich modułów i cosinusa kąta między nimi.
AG 12. możemy obliczyć odległość między punktami, wektory bazowe, kąt między wektorami.
AG 13. Iloczyn wektorowy wektora i wektora to trzeci wektor, który ma następujące właściwości:
Jego długość wynosi 
Wektor jest prostopadły do płaszczyzny, w której znajdują się wektory i
PRZEJAZD NA PROSTYCH Wielki słownik encyklopedyczny
przekraczanie linii- linie proste w przestrzeni, które nie leżą w tej samej płaszczyźnie. * * * PRZEKRACZANIE PROSTYCH PRZEKRACZANIE PROSTY, linie proste w przestrzeni, nie leżące w tej samej płaszczyźnie... Słownik encyklopedyczny
Przekraczanie linii- linie proste w przestrzeni, które nie leżą w tej samej płaszczyźnie. Przez punkt liniowy można poprowadzić płaszczyzny równoległe, których odległość nazywa się odległością między punktami liniowymi. Jest ona równa najkrótszej odległości między punktami linii prostej. Wielka encyklopedia radziecka
PRZEJAZD NA PROSTYCH- linie proste w przestrzeni, które nie leżą w tej samej płaszczyźnie. Nazywa się kąt między S. p. dowolny z kątów pomiędzy dwiema równoległymi liniami przechodzącymi przez dowolny punkt w przestrzeni. Jeśli aib są wektorami kierunkowymi S. p., to cosinus kąta pomiędzy S. p. Encyklopedia matematyczna
PRZEJAZD NA PROSTYCH- linie proste w przestrzeni, które nie leżą w tej samej płaszczyźnie... Nauki przyrodnicze. Słownik encyklopedyczny
Linie równoległe- Spis treści 1 W geometrii euklidesowej 1.1 Właściwości 2 W geometrii Łobaczewskiego ... Wikipedia
Ultrarównoległe linie proste- Spis treści 1 W geometrii euklidesowej 1.1 Właściwości 2 W geometrii Łobaczewskiego 3 Zobacz także... Wikipedia
GEOMETRIA RIEMANNA- geometria eliptyczna, jedna z geometrii nieeuklidesowych, czyli geometryczna, teoria oparta na aksjomatach, których wymagania różnią się od wymagań aksjomatów geometrii euklidesowej. W przeciwieństwie do geometrii euklidesowej w R. g.... ... Encyklopedia matematyczna
TRANSKRYPT TEKSTOWY LEKCJI:
Znasz już dwa przypadki względnych położeń prostych w przestrzeni:
1. przecinające się linie;
2. linie równoległe.
Przypomnijmy ich definicje.
Definicja. Linie w przestrzeni nazywamy przecinającymi się, jeśli leżą na tej samej płaszczyźnie i mają jeden punkt wspólny
Definicja. Linie w przestrzeni nazywane są równoległymi, jeśli leżą na tej samej płaszczyźnie i nie mają punktów wspólnych.
Cechą wspólną tych definicji jest to, że linie leżą w tej samej płaszczyźnie.
Nie zawsze tak jest w kosmosie. Możemy mieć do czynienia z kilkoma płaszczyznami i nie co dwie proste będą leżeć w tej samej płaszczyźnie.
Na przykład krawędzie sześcianu ABCDA1B1C1D1
AB i A1D1 leżą w różnych płaszczyznach.
Definicja. Dwie linie nazywane są skośnymi, jeśli nie ma płaszczyzny przechodzącej przez te linie. Z definicji jasno wynika, że linie te nie przecinają się i nie są równoległe.
Udowodnijmy twierdzenie wyrażające kryterium linii skośnych.
Twierdzenie (test linii skośnych).
Jeżeli jedna z prostych leży na pewnej płaszczyźnie, a druga prosta przecina tę płaszczyznę w punkcie nie należącym do tej prostej, to te proste przecinają się.
Prosta AB leży w płaszczyźnie α. Linia CD przecina płaszczyznę α w punkcie C, który nie należy do prostej AB.
Udowodnić, że proste AB i DC przecinają się.
Dowód
Dowód przeprowadzimy przez sprzeczność.
Załóżmy, że AB i CD leżą w tej samej płaszczyźnie, oznaczmy to jako β.
Następnie płaszczyzna β przechodzi przez prostą AB i punkt C.
W konsekwencji aksjomatów, przez prostą AB i punkt C, który na niej nie leży, można narysować płaszczyznę i tylko jedną.
Ale taką płaszczyznę już mamy – płaszczyznę α.
Zatem płaszczyzny β i α pokrywają się.
Ale to niemożliwe, bo prosta CD przecina α, ale w niej nie leży.
Doszliśmy do sprzeczności, dlatego nasze założenie jest błędne. AB i CD leżą
różnych płaszczyznach i przecinają się.
Twierdzenie zostało udowodnione.
Istnieją zatem trzy możliwe sposoby wzajemnego ułożenia linii w przestrzeni:
A) Linie przecinają się, to znaczy mają tylko jeden punkt wspólny.
B) Linie są równoległe, tj. leżą w tej samej płaszczyźnie i nie mają punktów wspólnych.
C) Linie proste przecinają się, tj. nie leżeć w tej samej płaszczyźnie.
Rozważmy inne twierdzenie o liniach skośnych
Twierdzenie. Przez każdą z dwóch przecinających się linii przechodzi płaszczyzna równoległa do drugiej prostej i w dodatku tylko jedna.
AB i CD - linie przecinające się
Udowodnić, że istnieje taka płaszczyzna α, że prosta AB leży w płaszczyźnie α, a prosta CD jest równoległa do płaszczyzny α.
Dowód
Udowodnijmy istnienie takiej płaszczyzny.
1) Przez punkt A rysujemy prostą AE równoległą do CD.
2) Ponieważ linie AE i AB przecinają się, można przez nie poprowadzić płaszczyznę. Oznaczmy to przez α.
3) Ponieważ prosta CD jest równoległa do AE, a AE leży w płaszczyźnie α, to linia CD ∥ płaszczyzna α (z twierdzenia o prostopadłości prostej i płaszczyzny).
Płaszczyzna α jest pożądaną płaszczyzną.
Udowodnijmy, że płaszczyzna α jako jedyna spełnia warunek.
Każda inna płaszczyzna przechodząca przez linię AB przetnie AE, a zatem i równoległą do niej linię CD. Oznacza to, że każda inna płaszczyzna przechodząca przez AB przecina linię CD i dlatego nie jest do niej równoległa.
Dlatego płaszczyzna α jest wyjątkowa. Twierdzenie zostało udowodnione.
Nie minęła nawet minuta, zanim utworzyłem nowy plik Verd i kontynuowałem tak fascynujący temat. Trzeba uchwycić momenty nastroju roboczego, więc nie będzie lirycznego wstępu. Będzie prozaiczne klapsy =)
Dwie proste przestrzenie mogą:
1) krzyżować się;
2) przecinają się w punkcie ;
3) być równoległe;
4) mecz.
Sprawa nr 1 różni się zasadniczo od pozostałych spraw. Dwie linie proste przecinają się, jeśli nie leżą w tej samej płaszczyźnie. Podnieś jedno ramię do góry, a drugie wyciągnij do przodu – oto przykład przecinania się linii. W punktach nr 2-4 muszą leżeć linie proste w jednej płaszczyźnie.
Jak znaleźć względne położenie linii w przestrzeni?
Rozważmy dwie bezpośrednie przestrzenie:
- prosty, podane przez punkt oraz wektor kierunkowy;
– linia prosta wyznaczona przez punkt i wektor kierunkowy.
Dla lepsze zrozumienie Zróbmy schematyczny rysunek: 
Na rysunku jako przykład przedstawiono przecinające się linie proste.
Jak sobie poradzić z tymi prostymi liniami?
Znając punkty, łatwo jest znaleźć wektor.
Jeśli prosto krzyżować, następnie wektory nie współpłaszczyznowe(patrz lekcja Liniowa (nie)zależność wektorów. Baza wektorów), a zatem wyznacznik złożony z ich współrzędnych jest niezerowy. Lub, co w rzeczywistości oznacza to samo, będzie niezerowe: 
.
W przypadkach nr 2-4 nasza struktura „wpada” w jedną płaszczyznę, natomiast wektory współpłaszczyznowy, a iloczyn mieszany wektorów liniowo zależnych wynosi zero: 
.
Rozwińmy algorytm dalej. Załóżmy, że 
Dlatego linie albo przecinają się, są równoległe, albo pokrywają się.
Jeżeli wektory kierunkowe współliniowy, to linie są albo równoległe, albo pokrywające się. W przypadku ostatniego gwoździa proponuję następującą technikę: weź dowolny punkt na jednej linii i podstaw jego współrzędne do równania drugiej linii; jeśli współrzędne „pasują”, to linie się pokrywają; jeśli „nie pasują”, to linie są równoległe.
Algorytm jest prosty, ale praktyczne przykłady nadal nie zaszkodzi:
Przykład 11
Dowiadywać się położenie względne dwie linie proste
Rozwiązanie: jak w przypadku wielu problemów geometrycznych, wygodnie jest sformułować rozwiązanie punkt po punkcie:
1) Z równań wyciągamy punkty i wektory kierunkowe:
2) Znajdź wektor:
Zatem wektory są współpłaszczyznowe, co oznacza, że linie leżą w tej samej płaszczyźnie i mogą się przecinać, być równoległe lub pokrywać się.
4) Sprawdźmy kolinearność wektorów kierunkowych.
Stwórzmy układ z odpowiednich współrzędnych tych wektorów:
Z wszyscy z równań wynika, że zatem układ jest spójny, odpowiednie współrzędne wektorów są proporcjonalne, a wektory są współliniowe.
Wniosek: linie są równoległe lub pokrywają się.
5) Sprawdź, czy proste mają punkty wspólne. Weźmy punkt należący do pierwszej prostej i podstawmy jego współrzędne do równań prostej: 
Zatem linie nie mają punktów wspólnych i nie mają innego wyjścia, jak tylko być równoległe.
Odpowiedź:
Ciekawy przykład do samodzielnego rozwiązania:
Przykład 12
Znajdź względne położenie linii
To jest przykład, który możesz rozwiązać samodzielnie. Należy pamiętać, że druga linia zawiera literę jako parametr. Logiczny. W ogólnym przypadku są to dwie różne linie, więc każda linia ma swój własny parametr.
I jeszcze raz apeluję, aby nie pomijać przykładów, zadania, które proponuję, nie są przypadkowe ;-)
Problemy z linią w przestrzeni
W końcowej części lekcji postaram się rozważyć maksymalną liczbę różnych problemów z liniami przestrzennymi. W tym przypadku zachowany zostanie pierwotny porządek historii: najpierw rozważymy problemy z przecinaniem się linii, potem z przecinającymi się liniami, a na koniec porozmawiamy o liniach równoległych w przestrzeni. Muszę jednak powiedzieć, że niektóre zadania tej lekcji można sformułować dla kilku przypadków lokalizacji linii jednocześnie i pod tym względem podział sekcji na akapity jest nieco arbitralny. Prostszych przykładów jest więcej złożone przykłady i mam nadzieję, że każdy znajdzie to, czego potrzebuje.
Przekraczanie linii
Przypomnę, że linie proste przecinają się, jeśli nie ma płaszczyzny, w której obie leżą. Kiedy zastanawiałem się nad praktyką, przyszedł mi do głowy problem z potworem i teraz cieszę się, że mogę przedstawić wam smoka z czterema głowami:
Przykład 13
Biorąc pod uwagę linie proste. Wymagany:
a) udowodnić, że proste się przecinają;
b) znaleźć równania prostej przechodzącej przez punkt prostopadły do danych prostych;
c) ułożyć równania prostej zawierającej wspólna prostopadła przekraczanie linii;
d) znajdź odległość między liniami.
Rozwiązanie: Ten, kto idzie, opanuje drogę:
a) Udowodnijmy, że proste się przecinają. Znajdźmy punkty i wektory kierunkowe tych linii: 
Znajdźmy wektor:
Obliczmy mieszany produkt wektorów:
Zatem wektory nie współpłaszczyznowe, co oznacza, że linie się przecinają i właśnie to należało udowodnić.
Chyba każdy już dawno zauważył, że przy przekroczeniu linii algorytm weryfikacji jest najkrótszy.
b) Znajdź równania prostej przechodzącej przez punkt i prostopadłej do prostych. Zróbmy schematyczny rysunek: 
Dla odmiany zamieściłem direct DLA prosto, spójrz, jak jest trochę wymazany na skrzyżowaniach. Krzyżowanie ras? Tak, ogólnie rzecz biorąc, linia prosta „de” zostanie skrzyżowana z pierwotnymi liniami prostymi. Chociaż w tej chwili Nas to jeszcze nie interesuje, wystarczy zbudować prostą prostopadłą i tyle.
Co wiadomo o bezpośrednim „de”? Punkt do niego należący jest znany. Nie ma wystarczającej liczby wektorów prowadzących.
Zgodnie z warunkiem linia prosta musi być prostopadła do prostych, co oznacza, że jej wektor kierunkowy będzie prostopadły do wektorów kierunkowych. Znane już z przykładu nr 9, znajdźmy iloczyn wektorowy:
Ułóżmy równania prostej „de” za pomocą punktu i wektora kierunkowego:
Gotowy. Zasadniczo możesz zmienić znaki w mianownikach i wpisać odpowiedź w formularzu 
, ale nie ma takiej potrzeby.
Aby to sprawdzić, należy podstawić współrzędne punktu do otrzymanych równań prostych, a następnie użyć Iloczyn skalarny wektorów upewnij się, że wektor jest rzeczywiście ortogonalny do wektorów kierunkowych „pe jeden” i „pe dwa”.
Jak znaleźć równania prostej zawierającej wspólną prostopadłą?
c) To zadanie będzie trudniejsze. Manekinom radzę pominąć ten punkt, nie chcę studzić Waszej szczerej sympatii do geometrii analitycznej =) Swoją drogą, może dla bardziej przygotowanych czytelników też będzie lepiej się wstrzymać, faktem jest, że pod względem złożoności przykład powinien być umieszczony na końcu artykułu, ale zgodnie z logiką prezentacji powinien się on znaleźć tutaj.
Musisz więc znaleźć równania linii, która zawiera wspólną prostopadłą do linii skośnych.
- jest to odcinek łączący te proste i prostopadły do tych prostych: 
Oto nasz przystojniak: - wspólna prostopadła przecinających się linii. On jest jedyny. Nie ma drugiego takiego. Musimy utworzyć równania dla prostej zawierającej ten odcinek.
Co wiadomo o bezpośrednim „um”? Znany jest jego wektor kierunkowy, podany w poprzednim akapicie. Ale niestety nie znamy ani jednego punktu należącego do prostej „em”, ani nie znamy końców prostopadłych – punktów. W którym miejscu ta prostopadła linia przecina dwie pierwotne linie? W Afryce, na Antarktydzie? Ze wstępnego przeglądu i analizy stanu nie wynika wcale, jak rozwiązać problem... Istnieje jednak pewien skomplikowany trik związany z użyciem równań parametrycznych linii prostej.
Sformułujemy decyzję punkt po punkcie:
1) Przepiszmy równania pierwszej linii w postaci parametrycznej: 
Rozważmy tę kwestię. Nie znamy współrzędnych. ALE. Jeżeli punkt należy do danej prostej, to jego współrzędne odpowiadają , oznaczmy go przez . Następnie współrzędne punktu zostaną zapisane w postaci: 
Życie staje się coraz lepsze, jedna niewiadoma to wciąż nie trzy niewiadome.
2) To samo oburzenie należy powtórzyć w drugim punkcie. Przepiszmy równania drugiej prostej w postaci parametrycznej: 
Jeżeli punkt należy do danej prostej, to z bardzo konkretnym znaczeniem jego współrzędne muszą spełniać równania parametryczne:
Lub: 
3) Wektor, podobnie jak poprzednio znaleziony wektor, będzie wektorem kierującym linii prostej. Sposób skonstruowania wektora z dwóch punktów był omawiany od niepamiętnych czasów na zajęciach Wektory dla manekinów. Różnica polega na tym, że współrzędne wektorów są zapisywane z nieznanymi wartościami parametrów. No to co? Nikt nie zabrania odejmowania odpowiednich współrzędnych początku wektora od współrzędnych końca wektora.
Istnieją dwa punkty: 
.
Znajdowanie wektora:
4) Ponieważ wektory kierunkowe są współliniowe, jeden wektor wyraża się liniowo przez drugi z pewnym współczynnikiem proporcjonalności „lambda”:
Lub współrzędna po współrzędnej: 
Okazało się, że jest to najzwyklejsze układ równań liniowych z trzema niewiadomymi, które są standardowo rozwiązywalne, na przykład Metoda Cramera. Ale tutaj można wyjść z niewielką stratą; z trzeciego równania wyrazimy „lambda” i podstawimy go do pierwszego i drugiego równania:
Zatem: 
i nie potrzebujemy „lambdy”. To, że wartości parametrów okazały się takie same, jest czystym przypadkiem.
5) Niebo całkowicie się przejaśnia, podstawiamy znalezione wartości 
do naszych punktów:
Wektor kierunkowy nie jest szczególnie potrzebny, ponieważ znaleziono już jego odpowiednik.
Zawsze warto sprawdzić po długiej podróży.
:
Otrzymuje się prawidłowe równości.
Podstawmy współrzędne punktu do równań 
:
Otrzymuje się prawidłowe równości.
6) Końcowy akord: utwórzmy równania linii prostej za pomocą punktu (możesz go wziąć) i wektora kierunku:
Zasadniczo można wybrać „dobry” punkt z nienaruszonymi współrzędnymi, ale jest to kwestia kosmetyczna.
Jak znaleźć odległość między przecinającymi się liniami?
d) Odcięliśmy czwartą głowę smoka.
Metoda pierwsza. Nawet nie metoda, ale mały, specjalny przypadek. Odległość między przecinającymi się liniami jest równa długości ich wspólnej prostopadłej: 
.
Skrajne punkty wspólnej prostopadłej 
znalezione w poprzednim akapicie, a zadanie jest elementarne:
Metoda druga. W praktyce najczęściej końce wspólnej prostopadłej są nieznane, dlatego stosuje się inne podejście. Płaszczyzny równoległe można poprowadzić przez dwie przecinające się linie proste, a odległość między tymi płaszczyznami jest równa odległości między tymi prostymi. W szczególności pomiędzy tymi płaszczyznami wystaje wspólna prostopadła.
W toku geometrii analitycznej z powyższych rozważań wyprowadza się wzór na znalezienie odległości pomiędzy przecinającymi się prostymi: 
(zamiast naszych punktów „um jeden, dwa” możesz wziąć dowolne punkty linii).
Mieszany iloczyn wektorów już znaleziony w punkcie „a”: 
.
Iloczyn wektorowy wektorów znaleziony w akapicie „być”: 
, obliczmy jego długość:
Zatem:
Z dumą eksponujmy trofea w jednym rzędzie:
Odpowiedź:
A) 
, co oznacza, że proste przecinają się, co należało udowodnić;
B) 
;
V) 
;
G) 
Co jeszcze możesz powiedzieć o przekraczaniu granic? Pomiędzy nimi istnieje określony kąt. Ale uniwersalny wzór na kąt rozważymy w następnym akapicie:
Przecinające się przestrzenie proste koniecznie leżą w tej samej płaszczyźnie: 
Pierwsza myśl to oprzeć się z całych sił na punkcie przecięcia. I od razu pomyślałam: po co odmawiać sobie właściwych pragnień?! Zajmijmy się nią teraz!
Jak znaleźć punkt przecięcia linii przestrzennych?
Przykład 14
Znajdź punkt przecięcia linii
Rozwiązanie: Przepiszmy równania prostych w postaci parametrycznej: 
To zadanie zostało szczegółowo omówione w przykładzie nr 7 tej lekcji (patrz. Równania prostej w przestrzeni). A tak przy okazji, same proste wziąłem z przykładu nr 12. Nie będę kłamać, jestem zbyt leniwy, żeby wymyślać nowe.
Rozwiązanie jest standardowe i spotykaliśmy się już, gdy próbowaliśmy znaleźć równania na wspólną prostopadłą przecinających się prostych.
Punkt przecięcia prostych należy do prostej, dlatego jego współrzędne spełniają równania parametryczne tej prostej i im odpowiadają bardzo specyficzną wartość parametru:
Ale ten sam punkt należy również do drugiej linii, zatem: 
Przyrównujemy odpowiednie równania i przeprowadzamy uproszczenia: 
Otrzymuje się układ trzech równań liniowych z dwiema niewiadomymi. Jeżeli linie się przecinają (co udowodniono w przykładzie nr 12), to układ jest z konieczności spójny i ma unikalne rozwiązanie. Można to rozwiązać Metoda Gaussa, ale nie grzeszmy takim przedszkolnym fetyszyzmem, zróbmy to prościej: z pierwszego równania wyrażamy „te zero” i podstawiamy je do równania drugiego i trzeciego: 
Dwa ostatnie równania okazały się w zasadzie takie same i wynika z nich, że . Następnie:
Podstawiamy znalezioną wartość parametru do równań: 
Odpowiedź:
Aby to sprawdzić, podstawiamy znalezioną wartość parametru do równań: 
Uzyskano te same współrzędne, które należało sprawdzić. Skrupulatni czytelnicy mogą zastąpić współrzędne punktu oryginalnymi równaniami kanonicznymi prostych.
Nawiasem mówiąc, można było zrobić odwrotnie: znaleźć punkt przez „es zero” i sprawdzić go przez „te zero”.
Znany przesąd matematyczny głosi: tam, gdzie mówi się o przecięciu prostych, zawsze unosi się zapach prostopadłych.
Jak skonstruować linię przestrzeni prostopadłą do danej?
(linie przecinają się)
Przykład 15
a) Zapisz równania prostej przechodzącej przez punkt prostopadły do tej prostej 
(linie przecinają się).
b) Znajdź odległość punktu od prostej.
Notatka
: klauzula „linie przecinają się” – istotne. Przez punkt
możesz narysować nieskończoną liczbę linii prostopadłych, które przetną się z linią prostą „el”. Jedyne rozwiązanie występuje w przypadku pociągnięcia linii prostej prostopadłej do danego punktu dwa dany linią prostą (patrz przykład nr 13, punkt „b”).
A) Rozwiązanie: Nieznaną linię oznaczamy przez . Zróbmy schematyczny rysunek:
Co wiadomo o linii prostej? Zgodnie z warunkiem przyznawany jest punkt. Aby ułożyć równania prostej, należy znaleźć wektor kierunkowy. Wektor jest całkiem odpowiedni jako taki wektor, więc sobie z nim poradzimy. Dokładniej, weźmy nieznany koniec wektora za kark.
1) Wyciągnijmy jego wektor kierunkowy z równań prostej „el” i przepiszmy same równania w postaci parametrycznej: 
Wielu domyślało się, że teraz po raz trzeci podczas lekcji mag otrzyma biały łabędź z kapelusza. Rozważmy punkt o nieznanych współrzędnych. Ponieważ punkt jest , jego współrzędne spełniają równania parametryczne prostej „el” i odpowiadają określonej wartości parametru: 
Lub w jednej linii:
2) Zgodnie z warunkiem linie muszą być prostopadłe, dlatego ich wektory kierunkowe są ortogonalne. A jeśli wektory są ortogonalne, to ich produkt kropkowy równa się zeru: 
Co się stało? Najprostszy równanie liniowe z jedną niewiadomą: 
3) Wartość parametru jest znana, znajdźmy punkt:
I wektor kierunkowy:
.
4) Równania prostej ułożymy za pomocą punktu i wektora kierunkowego:
Mianowniki proporcji okazały się ułamkowe i dokładnie tak jest, gdy należy pozbyć się ułamków. Pomnożę je przez -2: 
Odpowiedź: 
Notatka : bardziej rygorystyczne zakończenie rozwiązania sformalizowane jest w następujący sposób: ułóżmy równania linii prostej za pomocą punktu i wektora kierunkowego. Rzeczywiście, jeśli wektor jest wektorem prowadzącym linii prostej, to wektor współliniowy będzie oczywiście również wektorem prowadzącym tej prostej.
Weryfikacja składa się z dwóch etapów:
1) sprawdź wektory kierunkowe linii pod kątem ortogonalności;
2) podstawiamy współrzędne punktu do równań każdej prostej, powinny one „pasować” zarówno tam, jak i tam.
Było dużo mówienia o typowych działaniach, więc sprawdziłem na szkicu.
Swoją drogą zapomniałem o innym punkcie - skonstruować punkt „zyu” symetryczny do punktu „en” względem prostej „el”. Istnieje jednak dobry „płaski analog”, który można znaleźć w artykule Najprostsze zadania z linią prostą na płaszczyźnie. Tutaj jedyną różnicą będzie dodatkowa współrzędna „Z”.
Jak znaleźć odległość punktu od linii w przestrzeni?
B) Rozwiązanie: Znajdźmy odległość punktu od linii.
Metoda pierwsza. Odległość ta jest dokładnie równa długości prostopadłej: . Rozwiązanie jest oczywiste: jeśli znane są punkty 
, To:
Metoda druga. W praktycznych problemach podstawa prostopadłej jest często zapieczętowaną tajemnicą, dlatego bardziej racjonalne jest skorzystanie z gotowego wzoru.
Odległość punktu od prostej wyraża się wzorem: 
, gdzie jest wektorem kierunkowym prostej „el” oraz – bezpłatny punkt należący do danej prostej.
1) Z równań linii 
wyciągamy wektor kierunkowy i najbardziej dostępny punkt.
2) Punkt jest znany z warunku, wyostrz wektor:
3) Znajdźmy produkt wektorowy i oblicz jego długość: 
4) Oblicz długość wektora prowadzącego:
5) Zatem odległość punktu od linii:
Załadunek...