Twierdzenie Viety (dokładniej twierdzenie odwrotne do twierdzenia Viety) pozwala skrócić czas rozwiązania równania kwadratowe. Trzeba tylko wiedzieć, jak z niego korzystać. Jak nauczyć się rozwiązywać równania kwadratowe za pomocą twierdzenia Viety? Nie jest to trudne, jeśli trochę się nad tym zastanowisz.

Teraz porozmawiamy tylko o rozwiązaniu zredukowanego równania kwadratowego za pomocą twierdzenia Viety. Zredukowane równanie kwadratowe to równanie, w którym a, czyli współczynnik x², jest równy jeden. Możliwe jest również rozwiązywanie równań kwadratowych, które nie są dane za pomocą twierdzenia Viety, ale przynajmniej jeden z pierwiastków nie jest liczbą całkowitą. Trudniej je odgadnąć.

Twierdzenie odwrotne do twierdzenia Viety brzmi: jeśli liczby x1 i x2 są takie, że

wówczas x1 i x2 są pierwiastkami równania kwadratowego

Rozwiązując równanie kwadratowe za pomocą twierdzenia Viety, możliwe są tylko 4 opcje. Jeśli pamiętasz tok rozumowania, możesz bardzo szybko nauczyć się znajdować całe korzenie.

I. Jeśli q jest liczbą dodatnią,

oznacza to, że pierwiastki x1 i x2 są liczbami tego samego znaku (ponieważ tylko mnożenie liczb przez te same znaki daje liczbę dodatnią).

m.in. Jeśli -p jest liczbą dodatnią, (odpowiednio s<0), то оба корня x1 и x2 — положительные числа (поскольку складывали числа одного знака и получили положительное число).

I.b. Jeśli -p — liczba ujemna, (odpowiednio p>0), to oba pierwiastki są liczbami ujemnymi (dodaliśmy liczby tego samego znaku i otrzymaliśmy liczbę ujemną).

II. Jeśli q jest liczbą ujemną,

oznacza to, że pierwiastki x1 i x2 mają różne znaki (przy mnożeniu liczb liczbę ujemną otrzymujemy tylko wtedy, gdy znaki czynników są różne). W tym przypadku x1+x2 nie jest już sumą, ale różnicą (w końcu przy dodawaniu liczb za pomocą różne znaki odejmujemy mniejszy od większego). Zatem x1+x2 pokazuje, jak bardzo różnią się pierwiastki x1 i x2, to znaczy o ile jeden pierwiastek jest większy od drugiego (w wartości bezwzględnej).

II.a. Jeśli -p jest liczbą dodatnią, (czyli str<0), то больший (по модулю) корень — положительное число.

II.b. Jeśli -p jest liczbą ujemną, (p>0), wówczas większy pierwiastek (modulo) jest liczbą ujemną.

Rozważmy rozwiązanie równań kwadratowych za pomocą twierdzenia Viety na przykładach.

Rozwiąż podane równanie kwadratowe, korzystając z twierdzenia Viety:

Tutaj q=12>0, więc pierwiastki x1 i x2 są liczbami tego samego znaku. Ich suma wynosi -p=7>0, więc oba pierwiastki są liczbami dodatnimi. Wybieramy liczby całkowite, których iloczyn jest równy 12. Są to 1 i 12, 2 i 6, 3 i 4. Suma wynosi 7 dla pary 3 i 4. Oznacza to, że 3 i 4 są pierwiastkami równania.

W tym przykładzie q=16>0, co oznacza, że pierwiastki x1 i x2 są liczbami o tym samym znaku. Ich suma wynosi -p=-10<0, поэтому оба корня — отрицательные числа. Подбираем числа, произведение которых равно 16. Это 1 и 16, 2 и 8, 4 и 4. Сумма 2 и 8 равна 10, а раз нужны отрицательные числа, то искомые корни — это -2 и -8.

Tutaj q=-15<0, что означает, что корни x1 и x2 — числа разных знаков. Поэтому 2 — это уже не их сумма, а разность, то есть числа отличаются на 2. Подбираем числа, произведение которых равно 15, отличающиеся на 2. Произведение равно 15 у 1 и 15, 3 и 5. Отличаются на 2 числа в паре 3 и 5. Поскольку -p=2>0, wówczas większa liczba jest dodatnia. Zatem pierwiastki wynoszą 5 i -3.

q=-36<0, значит, корни x1 и x2 имеют разные знаки. Тогда 5 — это то, насколько отличаются x1 и x2 (по модулю, то есть пока что без учета знака). Среди чисел, произведение которых равно 36: 1 и 36, 2 и 18, 3 и 12, 4 и 9 — выбираем пару, в которой числа отличаются на 5. Это 4 и 9. Осталось определить их знаки. Поскольку -p=-5<0, бОльшее число имеет знак минус. Поэтому корни данного уравнения равны -9 и 4.

Dziś zasługuje na to, by śpiewać ją w poezji
Twierdzenie Viety o właściwościach pierwiastków.
Co jest lepsze, powiedz mi, taka konsystencja:
Pomnożyłeś pierwiastki - i ułamek jest gotowy
W liczniku Z, w mianowniku A.
A suma pierwiastków ułamka jest również równa
Nawet z minusem tego ułamka
Co za problem
W licznikach V, w mianowniku A.
(Z folkloru szkolnego)

W motto niezwykłe twierdzenie François Viety nie jest podane całkowicie dokładnie. Tak naprawdę możemy zapisać równanie kwadratowe, które nie ma pierwiastków oraz zapisać ich sumę i iloczyn. Na przykład równanie x 2 + 2x + 12 = 0 nie ma rzeczywistych pierwiastków. Ale przyjmując podejście formalne, możemy zapisać ich iloczyn (x 1 · x 2 = 12) i sumę (x 1 + x 2 = -2). Nasz wersety będą odpowiadać twierdzeniu z zastrzeżeniem: „jeśli równanie ma pierwiastki”, tj. D ≥ 0.

Pierwszym praktycznym zastosowaniem tego twierdzenia jest skonstruowanie równania kwadratowego, które ma pierwiastki. Po drugie, pozwala rozwiązać ustnie wiele równań kwadratowych. Podręczniki szkolne skupiają się przede wszystkim na rozwijaniu tych umiejętności.

Tutaj rozważymy bardziej złożone problemy rozwiązane za pomocą twierdzenia Viety.

Przykład 1.

Jeden z pierwiastków równania 5x2 – 12x + c = 0 jest trzykrotnie większy od drugiego. Znajdź s.

Rozwiązanie.

Niech drugi pierwiastek będzie x 2.

Następnie pierwszy pierwiastek x1 = 3x2.

Zgodnie z twierdzeniem Viety suma pierwiastków wynosi 12/5 = 2,4.

Utwórzmy równanie 3x 2 + x 2 = 2,4.

Zatem x 2 = 0,6. Dlatego x 1 = 1,8.

Odpowiedź: c = (x 1 x 2) a = 0,6 1,8 5 = 5,4.

Przykład 2.

Wiadomo, że x 1 i x 2 są pierwiastkami równania x 2 – 8x + p = 0, gdzie 3x 1 + 4x 2 = 29. Znajdź p.

Rozwiązanie.

Zgodnie z twierdzeniem Viety x 1 + x 2 = 8 i według warunku 3x 1 + 4x 2 = 29.

Po rozwiązaniu układu tych dwóch równań znajdujemy wartość x 1 = 3, x 2 = 5.

A zatem p = 15.

Odpowiedź: p = 15.

Przykład 3.

Nie obliczając pierwiastków równania 3x 2 + 8 x – 1 = 0, znajdź x 1 4 + x 2 4

Rozwiązanie.

Zauważ, że zgodnie z twierdzeniem Viety x 1 + x 2 = -8/3 i x 1 x 2 = -1/3 i przekształć wyrażenie

a) x 1 4 + x 2 4 = (x 1 2 + x 2 2) 2 – 2x 1 2 x 2 2 = ((x 1 + x 2) 2 – 2x 1 x 2) 2 – 2(x 1 x 2) 2 = ((-8/3) 2 – 2 · (-1/3)) 2 – 2 · (-1/3) 2 = 4898/9

Odpowiedź: 4898/9.

Przykład 4.

Przy jakich wartościach parametru a jest różnica między największym i najmniejszym pierwiastkiem równania
2x 2 – (a + 1)x + (a – 1) = 0 równa się ich iloczynowi.

Rozwiązanie.

To jest równanie kwadratowe. Będzie miał 2 różne pierwiastki, jeśli D > 0. Innymi słowy, (a + 1) 2 – 8(a – 1) > 0 lub (a – 3) 2 > 0. Zatem mamy 2 pierwiastki dla każdego a, z wyjątkiem a = 3.

Dla pewności założymy, że x 1 > x 2 i otrzymamy x 1 + x 2 = (a + 1)/2 i x 1 x 2 = (a – 1)/2. Na podstawie warunków zadania x 1 – x 2 = (a – 1)/2. Wszystkie trzy warunki muszą być spełnione jednocześnie. Rozważmy pierwsze i ostatnie równanie jako system. Można to łatwo rozwiązać dodając algebraicznie.

Otrzymujemy x 1 = a/2, x 2 = 1/2. Sprawdźmy przy czym A druga równość zostanie spełniona: x 1 · x 2 = (a – 1)/2. Podstawmy otrzymane wartości i otrzymamy: a/4 = (a – 1)/2. Wtedy a = 2. Jest to oczywiste jeśli a = 2, to wszystkie warunki są spełnione.

Odpowiedź: gdy a = 2.

Przykład 5.

Jaka jest najmniejsza wartość a, przy której suma pierwiastków równania
x 2 – 2a(x – 1) – 1 = 0 jest równe sumie kwadratów pierwiastków.

Rozwiązanie.

Na początek sprowadźmy równanie do postaci kanonicznej: x 2 – 2ax + 2a – 1 = 0. Będzie miało pierwiastek jeśli D/4 ≥ 0. Zatem: a 2 – (2a – 1) ≥ 0. Or (a – 1 ) 2 ≥ 0. I warunek ten obowiązuje dla dowolnego a.

Zastosujmy twierdzenie Viety: x 1 + x 2 = 2a, x 1 x 2 = 2a – 1. Obliczmy

x 1 2 + x 2 2 = (x 1 + x 2) 2 – 2x 1 x 2. Albo po podstawieniu x 1 2 + x 2 2 = (2a) 2 – 2 · (2a – 1) = 4a 2 – 4a + 2. Pozostaje stworzyć równość odpowiadającą warunkom zadania: x 1 + x 2 = x 1 2 + x 2 2 . Otrzymujemy: 2a = 4a 2 – 4a + 2. To równanie kwadratowe ma 2 pierwiastki: a 1 = 1 i a 2 = 1/2. Najmniejszy z nich to –1/2.

Odpowiedź: 1/2.

Przykład 6.

Znajdź związek między współczynnikami równania ax 2 + bx + c = 0, jeśli suma sześcianów jego pierwiastków jest równa iloczynowi kwadratów tych pierwiastków.

Rozwiązanie.

Zakładamy, że równanie to ma pierwiastki i dlatego można do niego zastosować twierdzenie Viety.

Wtedy warunek zadania zostanie zapisany następująco: x 1 3 + x 2 3 = x 1 2 · x 2 2. Lub: (x 1 + x 2) (x 1 2 – x 1 x 2 + x 2 2) = (x 1 x 2) 2.

Drugi czynnik wymaga konwersji. x 1 2 – x 1 x 2 + x 2 2 = ((x 1 + x 2) 2 – 2x 1 x 2) – x 1 x 2.

Otrzymujemy (x 1 + x 2)((x 1 + x 2) 2 – 3x 1 x 2) = (x 1 x 2) 2. Pozostaje zastąpić sumy i iloczyny pierwiastków współczynnikami.

(-b/a)((b/a) 2 – 3 c/a) = (c/a) 2 . Wyrażenie to można łatwo przekształcić do postaci b(3ac – b 2)/a = do 2. Znaleziono związek.

Komentarz. Należy wziąć pod uwagę, że powstałą relację warto rozpatrywać dopiero po spełnieniu drugiej: D ≥ 0.

Przykład 7.

Znajdź wartość zmiennej a, dla której suma kwadratów pierwiastków równania x 2 + 2ax + 3a 2 – 6a – 2 = 0 jest największą wartością.

Rozwiązanie.

Jeśli to równanie ma pierwiastki x 1 i x 2, to ich suma wynosi x 1 + x 2 = -2a, a iloczyn x 1 x 2 = 3a 2 – 6a – 2.

Obliczamy x 1 2 + x 2 2 = (x 1 + x 2) 2 – 2x 1 x 2 = (-2a) 2 – 2(3a 2 – 6a – 2) = -2a 2 + 12a + 4 = -2 (a – 3) 2 + 22.

Teraz jest oczywiste, że to wyrażenie ma najwyższa wartość w a = 3.

Pozostaje sprawdzić, czy pierwotne równanie kwadratowe faktycznie ma pierwiastki w a = 3. Sprawdzamy przez podstawienie i otrzymujemy: x 2 + 6x + 7 = 0 i dla tego D = 36 – 28 > 0.

Zatem odpowiedź brzmi: dla a = 3.

Przykład 8.

Równanie 2x 2 – 7x – 3 = 0 ma pierwiastki x 1 i x 2. Znajdź potrójną sumę współczynników danego równania kwadratowego, którego pierwiastkami są liczby X 1 = 1/x 1 i X 2 = 1/x 2. (*)

Rozwiązanie.

Oczywiście x 1 + x 2 = 7/2 i x 1 x 2 = -3/2. Ułóżmy drugie równanie z pierwiastków w postaci x 2 + px + q = 0. W tym celu skorzystamy z odwrotności twierdzenia Viety. Otrzymujemy: p = -(X 1 + X 2) i q = X 1 · X 2.

Po podstawieniu do tych wzorów na podstawie (*) wówczas: p = -(x 1 + x 2)/(x 1 x 2) = 7/3 i q = 1/(x 1 x 2) = - 2 /3.

Wymagane równanie będzie miało postać: x 2 + 7/3 x – 2/3 = 0. Teraz możemy łatwo obliczyć potrójną sumę jego współczynników:

3(1 + 7/3 – 2/3) = 8. Odpowiedź została otrzymana.

Nadal masz pytania? Nie wiesz, jak skorzystać z twierdzenia Viety?
Aby uzyskać pomoc od nauczyciela -.
Pierwsza lekcja jest darmowa!

blog.site, przy kopiowaniu materiału w całości lub w części wymagany jest link do oryginalnego źródła.

Dowolne pełne równanie kwadratowe topór 2 + bx + c = 0 można przywołać na myśl x 2 + (b/a)x + (c/a) = 0, jeśli najpierw podzielisz każdy wyraz przez współczynnik a wcześniej x 2. A jeśli wprowadzimy nowe oznaczenia (b/a) = str I (c/a) = q, wtedy będziemy mieli równanie x 2 + px + q = 0, co w matematyce nazywa się dane równanie kwadratowe.

Pierwiastki zredukowanego równania kwadratowego i współczynniki P I Q połączone ze sobą. To zostało potwierdzone Twierdzenie Viety, nazwany na cześć francuskiego matematyka Francois Viety, który mieszkał w koniec XVI wiek.

Twierdzenie. Suma pierwiastków zredukowanego równania kwadratowego x 2 + px + q = 0 równy drugiemu współczynnikowi P, wzięty z przeciwnym znakiem i iloczyn pierwiastków - do wolnego terminu Q.

Zapiszmy te relacje w następującej postaci:

Pozwalać x 1 I x 2 różne pierwiastki danego równania x 2 + px + q = 0. Zgodnie z twierdzeniem Viety x 1 + x 2 = -str I x 1 x 2 = q.

Aby to udowodnić, podstawiamy do równania każdy z pierwiastków x 1 i x 2. Otrzymujemy dwie prawdziwe równości:

x 1 2 + px 1 + q = 0

x 2 2 + px 2 + q = 0

Odejmijmy drugą od pierwszej równości. Otrzymujemy:

x 1 2 – x 2 2 + p(x 1 – x 2) = 0

Rozbudowujemy pierwsze dwa wyrazy, korzystając ze wzoru na różnicę kwadratów:

(x 1 – x 2)(x 1 – x 2) + p(x 1 – x 2) = 0

Pod warunkiem, pierwiastki x 1 i x 2 są różne. Dlatego możemy zredukować równość do (x 1 – x 2) ≠ 0 i wyrazić p.

(x 1 + x 2) + p = 0;

(x 1 + x 2) = -p.

Pierwsza równość została udowodniona.

Aby udowodnić drugą równość, podstawiamy do pierwszego równania

x 1 2 + px 1 + q = 0 zamiast współczynnika p równa się liczba (x 1 + x 2):

x 1 2 – (x 1 + x 2) x 1 + q = 0

Transformatorowy lewa strona równania, otrzymujemy:

x 1 2 – x 2 2 – x 1 x 2 + q = 0;

x 1 x 2 = q, co należało udowodnić.

Twierdzenie Viety jest dobre, ponieważ Nawet nie znając pierwiastków równania kwadratowego, możemy obliczyć ich sumę i iloczyn .

Twierdzenie Viety pomaga określić pierwiastki całkowite danego równania kwadratowego. Jednak dla wielu uczniów powoduje to trudności, ponieważ nie znają jasnego algorytmu działania, zwłaszcza jeśli pierwiastki równania mają różne znaki.

Zatem powyższe równanie kwadratowe ma postać x 2 + px + q = 0, gdzie x 1 i x 2 są jego pierwiastkami. Zgodnie z twierdzeniem Viety x 1 + x 2 = -p i x 1 x 2 = q.

Można wyciągnąć następujący wniosek.

Jeśli w równaniu przed ostatnim wyrazem znajduje się znak minus, to pierwiastki x 1 i x 2 mają różne znaki. Ponadto znak mniejszego pierwiastka pokrywa się ze znakiem drugiego współczynnika w równaniu.

Bazując na tym, że przy dodawaniu liczb o różnych znakach odejmowane są ich moduły, a otrzymany wynik poprzedzany jest znakiem większej liczby modulo, należy postępować w następujący sposób:

wyznacz takie czynniki liczby q, aby ich różnica była równa liczbie p;
postaw znak drugiego współczynnika równania przed mniejszą z uzyskanych liczb; drugi pierwiastek będzie miał przeciwny znak.

Spójrzmy na kilka przykładów.

Przykład 1.

Rozwiąż równanie x 2 – 2x – 15 = 0.

Rozwiązanie.

Spróbujmy rozwiązać to równanie, korzystając z reguł zaproponowanych powyżej. Wtedy możemy z całą pewnością powiedzieć, że to równanie będzie miało dwa różne pierwiastki, ponieważ re = b 2 – 4ac = 4 – 4 · (-15) = 64 > 0.

Teraz ze wszystkich czynników liczby 15 (1 i 15, 3 i 5) wybieramy te, których różnica wynosi 2. Będą to liczby 3 i 5. Przed mniejszą liczbą stawiamy znak minus, tj. znak drugiego współczynnika równania. W ten sposób otrzymujemy pierwiastki równania x 1 = -3 i x 2 = 5.

Odpowiedź. x 1 = -3 i x 2 = 5.

Przykład 2.

Rozwiąż równanie x 2 + 5x – 6 = 0.

Rozwiązanie.

Sprawdźmy, czy to równanie ma pierwiastki. Aby to zrobić, znajdujemy dyskryminator:

D = b 2 – 4ac = 25 + 24 = 49 > 0. Równanie ma dwa różne pierwiastki.

Możliwe dzielniki liczby 6 to 2 i 3, 6 i 1. Różnica wynosi 5 dla pary 6 i 1. W tym przykładzie współczynnik drugiego wyrazu ma znak plus, więc mniejsza liczba będzie miała ten sam znak . Ale przed drugą liczbą będzie znak minus.

Odpowiedź: x 1 = -6 i x 2 = 1.

Twierdzenie Viety można również zapisać dla pełnego równania kwadratowego. Tak więc, jeśli równanie kwadratowe topór 2 + bx + c = 0 ma pierwiastki x 1 i x 2, to zachodzą dla nich równości

x 1 + x 2 = -(b/a) I x 1 x 2 = (c/a). Jednak zastosowanie tego twierdzenia w pełnym równaniu kwadratowym jest dość problematyczne, ponieważ jeśli istnieją pierwiastki, przynajmniej jeden z nich jest liczbą ułamkową. A praca z wybieraniem ułamków jest dość trudna. Ale nadal istnieje wyjście.

Rozważ pełne równanie kwadratowe ax 2 + bx + c = 0. Pomnóż jego lewą i prawą stronę przez współczynnik a. Równanie przyjmie postać (ax) 2 + b(ax) + ac = 0. Teraz wprowadźmy nową zmienną, na przykład t = ax.

W takim przypadku powstałe równanie zamieni się w zredukowane równanie kwadratowe o postaci t 2 + bt + ac = 0, którego pierwiastki t 1 i t 2 (jeśli istnieją) można określić za pomocą twierdzenia Viety.

W tym przypadku będą pierwiastki pierwotnego równania kwadratowego

x 1 = (t 1 / a) i x 2 = (t 2 / a).

Przykład 3.

Rozwiąż równanie 15x 2 – 11x + 2 = 0.

Rozwiązanie.

Utwórzmy równanie pomocnicze. Pomnóżmy każdy wyraz równania przez 15:

15 2 x 2 – 11 15x + 15 2 = 0.

Dokonujemy zamiany t = 15x. Mamy:

t 2 – 11 t + 30 = 0.

Zgodnie z twierdzeniem Viety pierwiastkami tego równania będą t 1 = 5 i t 2 = 6.

Wracamy do zamiany t = 15x:

5 = 15x lub 6 = 15x. Zatem x 1 = 5/15 i x 2 = 6/15. Redukujemy i otrzymujemy ostateczną odpowiedź: x 1 = 1/3 i x 2 = 2/5.

Odpowiedź. x 1 = 1/3 i x 2 = 2/5.

Aby opanować rozwiązywanie równań kwadratowych przy użyciu twierdzenia Viety, uczniowie muszą jak najwięcej ćwiczyć. To jest właśnie sekret sukcesu.

stronie internetowej, przy kopiowaniu materiału w całości lub w części wymagany jest link do źródła.

Poziom wejścia

Równania kwadratowe. Kompleksowy przewodnik (2019)

W określeniu „równanie kwadratowe” słowem kluczowym jest „równanie kwadratowe”. Oznacza to, że równanie musi koniecznie zawierać zmienną (ten sam x) podniesiony do kwadratu i nie powinno być xów do trzeciej (lub większej) potęgi.

Rozwiązanie wielu równań sprowadza się do rozwiązywania równań kwadratowych.

Nauczmy się ustalać, że jest to równanie kwadratowe, a nie jakieś inne równanie.

Przykład 1.

Pozbądźmy się mianownika i pomnóżmy każdy wyraz równania przez

Przesuńmy wszystko na lewą stronę i ułóżmy wyrazy w malejącej kolejności potęg X

Teraz możemy śmiało powiedzieć, że to równanie jest kwadratowe!

Przykład 2.

Pomnóż lewą i prawą stronę przez:

To równanie, choć pierwotnie w nim występowało, nie jest kwadratowe!

Przykład 3.

Pomnóżmy wszystko przez:

Straszny? Czwarty i drugi stopień... Jeśli jednak dokonamy zamiany, zobaczymy, że mamy proste równanie kwadratowe:

Przykład 4.

Wydaje się, że tak jest, ale przyjrzyjmy się bliżej. Przesuńmy wszystko na lewą stronę:

Widzisz, zostało to zredukowane - i teraz jest to proste równanie liniowe!

Teraz spróbuj samodzielnie ustalić, które z poniższych równań są równaniami kwadratowymi, a które nie:

Przykłady:

Odpowiedzi:

kwadrat;
kwadrat;
nie kwadratowy;
nie kwadratowy;
nie kwadratowy;
kwadrat;
nie kwadratowy;
kwadrat.

Matematycy tradycyjnie dzielą wszystkie równania kwadratowe na następujące typy:

Uzupełnij równania kwadratowe- równania, w których współczynniki i oraz człon wolny c są różne od zera (jak w przykładzie). Ponadto wśród pełnych równań kwadratowych istnieją dany- są to równania, w których współczynnik (równanie z przykładu pierwszego jest nie tylko pełne, ale i zredukowane!)

Niekompletne równania kwadratowe- równania, w których współczynnik i/lub człon wolny c są równe zeru:
Są niekompletne, bo brakuje w nich jakiegoś elementu. Ale równanie musi zawsze zawierać X do kwadratu!!! W przeciwnym razie nie będzie to już równanie kwadratowe, ale jakieś inne równanie.

Dlaczego wpadli na taki podział? Wydawałoby się, że jest X do kwadratu i OK. Podział ten wyznaczają metody rozwiązania. Przyjrzyjmy się każdemu z nich bardziej szczegółowo.

Rozwiązywanie niepełnych równań kwadratowych

Najpierw skupmy się na rozwiązywaniu niepełnych równań kwadratowych - są one znacznie prostsze!

Istnieją typy niekompletnych równań kwadratowych:

, w tym równaniu współczynnik jest równy.
, w tym równaniu wolny termin jest równy.
, w tym równaniu współczynnik i wolny wyraz są równe.

1. ja Ponieważ wiemy, jak wydobywać pierwiastek kwadratowy, to wyrażmy z tego równania

Wyrażenie może być ujemne lub dodatnie. Liczba podniesiona do kwadratu nie może być ujemna, ponieważ przy mnożeniu dwóch liczb ujemnych lub dwóch dodatnich wynik zawsze będzie liczbą dodatnią, więc: jeśli, to równanie nie ma rozwiązań.

A jeśli, to otrzymamy dwa pierwiastki. Nie ma potrzeby zapamiętywania tych formuł. Najważniejsze jest to, że musisz wiedzieć i zawsze pamiętać, że nie może być mniej.

Spróbujmy rozwiązać kilka przykładów.

Przykład 5:

Rozwiąż równanie

Teraz pozostaje tylko wyodrębnić korzeń z lewej i prawej strony. W końcu pamiętasz, jak wyodrębnić korzenie?

Odpowiedź:

Nigdy nie zapominaj o korzeniach ze znakiem ujemnym!!!

Przykład 6:

Rozwiąż równanie

Odpowiedź:

Przykład 7:

Rozwiąż równanie

Oh! Kwadrat liczby nie może być ujemny, co oznacza, że równanie

żadnych korzeni!

Dla takich równań, które nie mają pierwiastków, matematycy wymyślili specjalną ikonę - (pusty zbiór). A odpowiedź można zapisać w ten sposób:

Odpowiedź:

Zatem to równanie kwadratowe ma dwa pierwiastki. Nie ma tutaj żadnych ograniczeń, ponieważ nie wyodrębniliśmy katalogu głównego.
Przykład 8:

Rozwiąż równanie

Wyjmijmy wspólny czynnik z nawiasów:

Zatem,

To równanie ma dwa pierwiastki.

Odpowiedź:

Najprostszy rodzaj niekompletnych równań kwadratowych (chociaż wszystkie są proste, prawda?). Oczywiście to równanie ma zawsze tylko jeden pierwiastek:

Pominiemy tutaj przykłady.

Rozwiązywanie pełnych równań kwadratowych

Przypominamy, że pełne równanie kwadratowe jest równaniem postaci równania gdzie

Rozwiązywanie pełnych równań kwadratowych jest trochę trudniejsze (tylko trochę) niż te.

Pamiętać Każde równanie kwadratowe można rozwiązać za pomocą dyskryminatora! Nawet niekompletny.

Inne metody pomogą ci to zrobić szybciej, ale jeśli masz problemy z równaniami kwadratowymi, najpierw opanuj rozwiązanie za pomocą dyskryminatora.

1. Rozwiązywanie równań kwadratowych z wykorzystaniem dyskryminatora.

Rozwiązywanie równań kwadratowych za pomocą tej metody jest bardzo proste; najważniejsze jest zapamiętanie sekwencji działań i kilku wzorów.

Jeśli, to równanie ma pierwiastek. szczególną uwagę zrób krok. Dyskryminator () informuje nas o liczbie pierwiastków równania.

Jeśli, wówczas formuła w tym kroku zostanie zredukowana do. Zatem równanie będzie miało tylko pierwiastek.
Jeśli, to nie będziemy w stanie wyodrębnić pierwiastka dyskryminatora na tym etapie. Oznacza to, że równanie nie ma pierwiastków.

Wróćmy do naszych równań i spójrzmy na kilka przykładów.

Przykład 9:

Rozwiąż równanie

Krok 1 pomijamy.

Krok 2.

Znajdujemy wyróżnik:

Oznacza to, że równanie ma dwa pierwiastki.

Krok 3.

Odpowiedź:

Przykład 10:

Rozwiąż równanie

Równanie przedstawiono w postaci standardowej, tj Krok 1 pomijamy.

Krok 2.

Znajdujemy wyróżnik:

Oznacza to, że równanie ma jeden pierwiastek.

Odpowiedź:

Przykład 11:

Rozwiąż równanie

Równanie przedstawiono w postaci standardowej, tj Krok 1 pomijamy.

Krok 2.

Znajdujemy wyróżnik:

Oznacza to, że nie będziemy w stanie wyodrębnić pierwiastka dyskryminatora. Nie ma pierwiastków równania.

Teraz wiemy, jak poprawnie zapisać takie odpowiedzi.

Odpowiedź:żadnych korzeni

2. Rozwiązywanie równań kwadratowych z wykorzystaniem twierdzenia Viety.

Jeśli pamiętasz, istnieje rodzaj równania, który nazywa się zredukowanym (gdy współczynnik a jest równy):

Równania takie bardzo łatwo rozwiązać korzystając z twierdzenia Viety:

Suma pierwiastków dany równanie kwadratowe jest równe i iloczyn pierwiastków jest równy.

Przykład 12:

Rozwiąż równanie

Równanie to można rozwiązać za pomocą twierdzenia Viety, ponieważ .

Suma pierwiastków równania jest równa, tj. otrzymujemy pierwsze równanie:

A iloczyn jest równy:

Skomponujmy i rozwiążmy system:

I. Kwota jest równa;
I. Kwota jest równa;
I. Kwota jest równa.

i są rozwiązaniem układu:

Odpowiedź: ; .

Przykład 13:

Rozwiąż równanie

Odpowiedź:

Przykład 14:

Rozwiąż równanie

Podane jest równanie, które oznacza:

Odpowiedź:

RÓWNANIA KWADRATOWE. POZIOM ŚREDNI

Co to jest równanie kwadratowe?

Innymi słowy, równanie kwadratowe jest równaniem postaci, gdzie - niewiadoma, - niektóre liczby i.

Liczba nazywana jest najwyższą lub pierwszy współczynnik równanie kwadratowe, - drugi współczynnik, A - wolny członek.

Dlaczego? Ponieważ jeśli równanie natychmiast stanie się liniowe, ponieważ zniknie.

W tym przypadku i może być równe zeru. Na tym krześle równanie nazywa się niekompletnym. Jeśli wszystkie warunki są spełnione, oznacza to, że równanie jest kompletne.

Rozwiązania różnych typów równań kwadratowych

Metody rozwiązywania niepełnych równań kwadratowych:

Najpierw przyjrzyjmy się metodom rozwiązywania niekompletnych równań kwadratowych - są prostsze.

Wyróżniamy następujące typy równań:

I. w tym równaniu współczynnik i wolny wyraz są równe.

II. , w tym równaniu współczynnik jest równy.

III. , w tym równaniu wolny termin jest równy.

Przyjrzyjmy się teraz rozwiązaniu dla każdego z tych podtypów.

Oczywiście to równanie ma zawsze tylko jeden pierwiastek:

Liczba podniesiona do kwadratu nie może być liczbą ujemną, ponieważ po pomnożeniu dwóch liczb ujemnych lub dwóch dodatnich wynik zawsze będzie liczbą dodatnią. Dlatego:

jeśli, to równanie nie ma rozwiązań;

jeśli mamy dwa korzenie

Nie ma potrzeby zapamiętywania tych formuł. Najważniejszą rzeczą do zapamiętania jest to, że nie może być mniejsza.

Przykłady:

Rozwiązania:

Odpowiedź:

Nigdy nie zapominaj o korzeniach ze znakiem ujemnym!

Kwadrat liczby nie może być ujemny, co oznacza, że równanie

żadnych korzeni.

Aby krótko zapisać, że problem nie ma rozwiązań, używamy ikony pustego zestawu.

Odpowiedź:

Zatem to równanie ma dwa pierwiastki: i.

Odpowiedź:

Wyjmijmy wspólny czynnik z nawiasów:

Iloczyn jest równy zero, jeśli przynajmniej jeden z czynników jest równy zero. Oznacza to, że równanie ma rozwiązanie, gdy:

Zatem to równanie kwadratowe ma dwa pierwiastki: i.

Przykład:

Rozwiąż równanie.

Rozwiązanie:

Rozważmy lewą stronę równania i znajdźmy pierwiastki:

Odpowiedź:

Metody rozwiązywania pełnych równań kwadratowych:

1. Dyskryminujący

Rozwiązywanie równań kwadratowych w ten sposób jest łatwe, najważniejsze jest zapamiętanie sekwencji działań i kilku wzorów. Pamiętaj, że każde równanie kwadratowe można rozwiązać za pomocą dyskryminatora! Nawet niekompletny.

Czy zauważyłeś pierwiastek z wyróżnika we wzorze na pierwiastki? Ale dyskryminator może być ujemny. Co robić? Musimy zwrócić szczególną uwagę na krok 2. Dyskryminator informuje nas o liczbie pierwiastków równania.

Jeśli, to równanie ma pierwiastki:
Jeśli to równanie ma te same pierwiastki, a właściwie jeden pierwiastek:
Takie korzenie nazywane są podwójnymi korzeniami.
Jeśli, to pierwiastek dyskryminatora nie jest wyodrębniany. Oznacza to, że równanie nie ma pierwiastków.

Dlaczego możliwa jest różna liczba korzeni? Przejdźmy do geometrycznego znaczenia równania kwadratowego. Wykres funkcji jest parabolą:

W szczególnym przypadku, którym jest równanie kwadratowe, . Oznacza to, że pierwiastkami równania kwadratowego są punkty przecięcia z osią (osią) odciętej. Parabola może w ogóle nie przecinać osi lub może przecinać ją w jednym (gdy wierzchołek paraboli leży na osi) lub w dwóch punktach.

Ponadto współczynnik odpowiada za kierunek gałęzi paraboli. Jeśli, to gałęzie paraboli są skierowane w górę, a jeśli, to w dół.

Przykłady:

Rozwiązania:

Odpowiedź:

Odpowiedź: .

Odpowiedź:

Oznacza to, że nie ma rozwiązań.

Odpowiedź: .

2. Twierdzenie Viety

Twierdzenie Viety jest bardzo łatwe w użyciu: wystarczy wybrać parę liczb, których iloczyn jest równy wolnemu członowi równania, a suma jest równa drugiemu współczynnikowi wziętemu z przeciwnym znakiem.

Należy pamiętać, że twierdzenie Viety można zastosować jedynie w zredukowane równania kwadratowe ().

Spójrzmy na kilka przykładów:

Przykład nr 1:

Rozwiąż równanie.

Rozwiązanie:

Równanie to można rozwiązać za pomocą twierdzenia Viety, ponieważ . Inne współczynniki: ; .

Suma pierwiastków równania wynosi:

A iloczyn jest równy:

Wybierzmy pary liczb, których iloczyn jest równy i sprawdźmy, czy ich suma jest równa:

I. Kwota jest równa;
I. Kwota jest równa;
I. Kwota jest równa.

i są rozwiązaniem układu:

Zatem i są pierwiastkami naszego równania.

Odpowiedź: ; .

Przykład nr 2:

Rozwiązanie:

Wybierzmy pary liczb, które dają iloczyn, a następnie sprawdźmy, czy ich suma jest równa:

i: dają w sumie.

i: dają w sumie. Aby uzyskać, wystarczy po prostu zmienić znaki rzekomych korzeni: a przecież i produkt.

Odpowiedź:

Przykład nr 3:

Rozwiązanie:

Wolny wyraz równania jest ujemny, dlatego iloczyn pierwiastków jest liczbą ujemną. Jest to możliwe tylko wtedy, gdy jeden z pierwiastków jest ujemny, a drugi dodatni. Zatem suma pierwiastków jest równa różnice w ich modułach.

Wybierzmy pary liczb, które dają iloczyn, a których różnica jest równa:

i: ich różnica jest równa - nie pasuje;

oraz: - nie nadaje się;

oraz: - odpowiedni. Pozostaje tylko pamiętać, że jeden z pierwiastków jest ujemny. Ponieważ ich suma musi być równa, pierwiastek o mniejszym module musi być ujemny: . Sprawdzamy:

Odpowiedź:

Przykład nr 4:

Rozwiąż równanie.

Rozwiązanie:

Podane jest równanie, które oznacza:

Wolny termin jest ujemny, a zatem iloczyn pierwiastków jest ujemny. Jest to możliwe tylko wtedy, gdy jeden pierwiastek równania jest ujemny, a drugi dodatni.

Wybierzmy pary liczb, których iloczyn jest równy, a następnie określmy, które pierwiastki powinny mieć znak ujemny:

Oczywiście tylko korzenie i nadają się do pierwszego warunku:

Odpowiedź:

Przykład nr 5:

Rozwiąż równanie.

Rozwiązanie:

Podane jest równanie, które oznacza:

Suma pierwiastków jest ujemna, co oznacza, że przynajmniej jeden z pierwiastków jest ujemny. Ale ponieważ ich iloczyn jest dodatni, oznacza to, że oba pierwiastki mają znak minus.

Wybierzmy pary liczb, których iloczyn jest równy:

Oczywiście pierwiastkami są liczby i.

Odpowiedź:

Zgadzam się, bardzo wygodnie jest wymyślić korzenie ustnie, zamiast liczyć ten paskudny dyskryminator. Staraj się jak najczęściej korzystać z twierdzenia Viety.

Ale twierdzenie Viety jest potrzebne, aby ułatwić i przyspieszyć znalezienie pierwiastków. Aby móc z niego skorzystać, należy doprowadzić działania do automatyzmu. I w tym celu rozwiąż pięć kolejnych przykładów. Ale nie oszukuj: nie możesz używać dyskryminatora! Tylko twierdzenie Viety:

Rozwiązania zadań do samodzielnej pracy:

Zadanie 1. ((x)^(2))-8x+12=0

Zgodnie z twierdzeniem Viety:

Tradycyjnie selekcję zaczynamy od utworu:

Nie nadaje się ze względu na ilość;

: ilość jest dokładnie taka, jakiej potrzebujesz.

Odpowiedź: ; .

Zadanie 2.

I znowu nasze ulubione twierdzenie Viety: suma musi być równa i iloczyn musi być równy.

Ale ponieważ tak nie musi być, ale zmieniamy znaki pierwiastków: i (w sumie).

Odpowiedź: ; .

Zadanie 3.

Hmm... Gdzie to jest?

Musisz przenieść wszystkie terminy do jednej części:

Suma pierwiastków jest równa iloczynowi.

OK, przestań! Równanie nie jest podane. Ale twierdzenie Viety ma zastosowanie tylko w danych równaniach. Najpierw musisz podać równanie. Jeśli nie potrafisz przewodzić, porzuć ten pomysł i rozwiąż problem w inny sposób (na przykład poprzez dyskryminację). Przypomnę, że podanie równania kwadratowego oznacza zrównanie współczynnika wiodącego:

Świetnie. Wtedy suma pierwiastków jest równa i iloczynowi.

Tutaj wybór jest tak prosty, jak obieranie gruszek: w końcu jest to liczba pierwsza (przepraszam za tautologię).

Odpowiedź: ; .

Zadanie 4.

Wolny członek jest ujemny. Co jest w tym specjalnego? Faktem jest, że korzenie będą miały różne znaki. A teraz podczas selekcji sprawdzamy nie sumę pierwiastków, ale różnicę w ich modułach: ta różnica jest równa, ale iloczyn.

Zatem pierwiastki są równe i, ale jeden z nich to minus. Twierdzenie Viety mówi nam, że suma pierwiastków jest równa drugiemu współczynnikowi o przeciwnym znaku, to znaczy. Oznacza to, że mniejszy pierwiastek będzie miał minus: i, ponieważ.

Odpowiedź: ; .

Zadanie 5.

Co powinieneś zrobić najpierw? Zgadza się, podaj równanie:

Ponownie: wybieramy współczynniki liczby, a ich różnica powinna być równa:

Pierwiastki są równe i, ale jeden z nich to minus. Który? Ich suma powinna być równa, co oznacza, że minus będzie miał większy pierwiastek.

Odpowiedź: ; .

Podsumuję:

Twierdzenie Viety jest używane tylko w podanych równaniach kwadratowych.
Korzystając z twierdzenia Viety, możesz znaleźć pierwiastki poprzez selekcję, ustnie.
Jeśli równanie nie zostanie podane lub nie zostanie znaleziona odpowiednia para czynników terminu wolnego, wówczas nie ma pełnych pierwiastków i należy je rozwiązać w inny sposób (na przykład poprzez dyskryminator).

3. Metoda wyboru całego kwadratu

Jeśli wszystkie wyrazy zawierające niewiadomą przedstawimy w postaci wyrazów ze skróconych wzorów na mnożenie – kwadratu sumy lub różnicy – to po zastąpieniu zmiennych równanie można przedstawić w postaci niepełnego równania kwadratowego typu.

Na przykład:

Przykład 1:

Rozwiąż równanie: .

Rozwiązanie:

Odpowiedź:

Przykład 2:

Rozwiąż równanie: .

Rozwiązanie:

Odpowiedź:

W widok ogólny transformacja będzie wyglądać następująco:

Wynika z tego: .

Nic Ci nie przypomina? To dyskryminacja! Dokładnie w ten sposób otrzymaliśmy wzór na dyskryminację.

RÓWNANIA KWADRATOWE. KRÓTKO O NAJWAŻNIEJSZYCH RZECZACH

Równanie kwadratowe- jest to równanie postaci, w której - niewiadoma, - współczynniki równania kwadratowego, - człon wolny.

Pełne równanie kwadratowe- równanie, w którym współczynniki nie są równe zeru.

Zredukowane równanie kwadratowe- równanie, w którym współczynnik, czyli: .

Niekompletne równanie kwadratowe- równanie, w którym współczynnik i/lub człon wolny c są równe zeru:

jeśli współczynnik, równanie wygląda następująco: ,
jeżeli istnieje wyraz wolny, równanie ma postać: ,
jeśli i, równanie wygląda następująco: .

1. Algorytm rozwiązywania niepełnych równań kwadratowych

1.1. Niepełne równanie kwadratowe postaci, gdzie:

1) Wyraźmy niewiadome: ,

2) Sprawdź znak wyrażenia:

jeżeli, to równanie nie ma rozwiązań,
jeśli, to równanie ma dwa pierwiastki.

1.2. Niepełne równanie kwadratowe postaci, gdzie:

1) Wyjmijmy wspólny czynnik z nawiasów: ,

2) Iloczyn jest równy zero, jeżeli przynajmniej jeden z czynników jest równy zero. Zatem równanie ma dwa pierwiastki:

1.3. Niepełne równanie kwadratowe postaci, gdzie:

To równanie ma zawsze tylko jeden pierwiastek: .

2. Algorytm rozwiązywania pełnych równań kwadratowych w postaci gdzie

2.1. Rozwiązanie wykorzystujące dyskryminator

1) Sprowadźmy równanie do widok standardowy: ,

2) Obliczmy dyskryminator korzystając ze wzoru: , który wskazuje liczbę pierwiastków równania:

3) Znajdź pierwiastki równania:

jeśli, to równanie ma pierwiastki, które można znaleźć według wzoru:
jeśli, to równanie ma pierwiastek, który można znaleźć za pomocą wzoru:
jeśli, to równanie nie ma pierwiastków.

2.2. Rozwiązanie wykorzystujące twierdzenie Viety

Suma pierwiastków zredukowanego równania kwadratowego (równanie postaci gdzie) jest równa, a iloczyn pierwiastków jest równy, tj. , A.

2.3. Rozwiązanie metodą wyboru pełnego kwadratu

I. Twierdzenie Viety dla zredukowanego równania kwadratowego.

Suma pierwiastków zredukowanego równania kwadratowego x 2 +px+q=0 jest równy drugiemu współczynnikowi wziętemu z przeciwnym znakiem, a iloczyn pierwiastków jest równy członowi swobodnemu:

x 1 + x 2 = -p; x 1 ∙x 2 =q.

Znajdź pierwiastki danego równania kwadratowego, korzystając z twierdzenia Viety.

Przykład 1) x 2 -x-30=0. To jest zredukowane równanie kwadratowe ( x2 +px+q=0), drugi współczynnik p=-1 i bezpłatny członek q=-30. Najpierw upewnijmy się, że to równanie ma pierwiastki i że pierwiastki (jeśli istnieją) zostaną wyrażone w liczbach całkowitych. Aby to zrobić, wystarczy, aby dyskryminator był idealnym kwadratem liczby całkowitej.

Znalezienie wyróżnika D=b 2 — 4ac=(-1) 2 -4∙1∙(-30)=1+120=121= 11 2 .

Teraz, zgodnie z twierdzeniem Viety, suma pierwiastków musi być równa drugiemu współczynnikowi przyjętemu z przeciwnym znakiem, tj. ( -P), a iloczyn jest równy terminowi dowolnemu, tj. ( Q). Następnie:

x 1 + x 2 = 1; x 1 ∙x 2 =-30. Musimy wybrać dwie liczby takie, aby ich iloczyn był równy -30 , a kwota jest jednostka. To są liczby -5 I 6 . Odpowiedź: -5; 6.

Przykład 2) x 2 +6x+8=0. Mamy zredukowane równanie kwadratowe z drugim współczynnikiem p=6 i wolny członek q=8. Upewnijmy się, że istnieją pierwiastki całkowite. Znajdźmy dyskryminator D 1 D 1=3 2 -1∙8=9-8=1=1 2 . Dyskryminator D 1 jest idealnym kwadratem liczby 1 , co oznacza, że pierwiastki tego równania są liczbami całkowitymi. Wybierzmy pierwiastki korzystając z twierdzenia Viety: suma pierwiastków jest równa –р=-6, a iloczyn pierwiastków jest równy q=8. To są liczby -4 I -2 .

W rzeczywistości: -4-2=-6=-р; -4∙(-2)=8=q. Odpowiedź: -4; -2.

Przykład 3) x 2 +2x-4=0. W tym zredukowanym równaniu kwadratowym drugi współczynnik wynosi p=2 i bezpłatny członek q=-4. Znajdźmy dyskryminator D 1, ponieważ drugi współczynnik jest liczbą parzystą. D 1=1 2 -1∙(-4)=1+4=5. Dyskryminator nie jest idealnym kwadratem liczby, więc tak robimy wniosek: Pierwiastki tego równania nie są liczbami całkowitymi i nie można ich znaleźć za pomocą twierdzenia Viety. Oznacza to, że równanie to rozwiązujemy jak zwykle korzystając ze wzorów (w w tym przypadku według wzorów). Otrzymujemy:

Przykład 4). Zapisz równanie kwadratowe, korzystając z jego pierwiastków, jeśli x 1 = -7, x 2 = 4.

Rozwiązanie. Wymagane równanie zostanie zapisane w postaci: x 2 +px+q=0, oraz, w oparciu o twierdzenie Viety –p=x 1 +x 2=-7+4=-3 → p=3; q=x 1 ∙x 2=-7∙4=-28 . Wówczas równanie przyjmie postać: x2 +3x-28=0.

Przykład 5). Zapisz równanie kwadratowe, korzystając z jego pierwiastków, jeśli:

II. Twierdzenie Viety dla pełnego równania kwadratowego topór 2 +bx+c=0.

Suma pierwiastków wynosi minus B, podzielone przez A, iloczyn pierwiastków jest równy Z, podzielone przez A:

x 1 + x 2 = -b/a; x 1 ∙x 2 =c/a.