W poprzednim rozdziale wykazano, że wybierając na płaszczyźnie określony układ współrzędnych, można analitycznie wyrazić właściwości geometryczne charakteryzujące punkty rozpatrywanej prostej za pomocą równania pomiędzy aktualnymi współrzędnymi. W ten sposób otrzymujemy równanie prostej. W tym rozdziale przyjrzymy się równaniom linii prostych.

Aby utworzyć równanie prostej we współrzędnych kartezjańskich, należy w jakiś sposób ustawić warunki określające jej położenie względem osi współrzędnych.

Na początek wprowadzimy pojęcie współczynnika kątowego prostej, będącego jedną z wielkości charakteryzujących położenie prostej na płaszczyźnie.

Kąt nachylenia prostej do osi Wół nazwijmy kątem, o który należy obrócić oś Wół, aby pokrywała się z daną linią (lub okazała się do niej równoległa). Jak zwykle, kąt rozważymy biorąc pod uwagę znak (znak zależy od kierunku obrotu: przeciwnie do ruchu wskazówek zegara lub zgodnie z ruchem wskazówek zegara). Ponieważ dodatkowy obrót osi Ox o kąt 180° ponownie zrówna ją z prostą, nie da się jednoznacznie wybrać kąta nachylenia prostej do osi (aż do wyrazu będącego wielokrotnością ) .

Tangens tego kąta jest wyznaczany jednoznacznie (ponieważ zmiana kąta nie zmienia jego tangensu).

Styczna kąta nachylenia prostej do osi Wół nazywana jest współczynnikiem kątowym linii prostej.

Współczynnik kątowy charakteryzuje kierunek prostej (nie rozróżniamy tutaj dwóch wzajemnie przeciwnych kierunków prostej). Jeśli nachylenie linia jest równa zeru, wówczas linia jest równoległa do osi x. Przy dodatnim współczynniku kątowym kąt nachylenia prostej do osi Wół będzie ostry (rozważamy tutaj najmniejszą dodatnią wartość kąta nachylenia) (ryc. 39); Co więcej, im większy współczynnik kątowy, tym większy kąt jego nachylenia do osi Wołu. Jeżeli współczynnik kątowy będzie ujemny, wówczas kąt nachylenia prostej do osi Wół będzie rozwarty (ryc. 40). Należy zauważyć, że prosta prostopadła do osi Wółu nie ma współczynnika kątowego (styczna kąta nie istnieje).

Kontynuując temat, równanie prostej na płaszczyźnie opiera się na badaniu linii prostej z lekcji algebry. Artykuł ten zawiera ogólne informacje na temat równania prostej z nachyleniem. Rozważmy definicje, uzyskajmy samo równanie i zidentyfikujmy powiązania z innymi typami równań. Wszystko zostanie omówione na przykładach rozwiązania problemu.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Przed napisaniem takiego równania należy określić kąt nachylenia prostej do osi Ox wraz z ich współczynnikiem kątowym. Załóżmy, że dany jest kartezjański układ współrzędnych O x na płaszczyźnie.

Definicja 1

Kąt nachylenia prostej do osi Ox, znajdujący się w kartezjańskim układzie współrzędnych O x y na płaszczyźnie, jest to kąt mierzony od kierunku dodatniego O x do prostej w kierunku przeciwnym do ruchu wskazówek zegara.

Gdy linia jest równoległa do Ox lub pokrywa się z nią, kąt nachylenia wynosi 0. Następnie kąt nachylenia danej prostej α definiuje się na przedziale [ 0 , π) .

Definicja 2

Bezpośrednie nachylenie jest tangensem kąta nachylenia danej prostej.

Standardowe oznaczenie to k. Z definicji wynika, że ​​k = t g α . Kiedy linia jest równoległa do Wołu, mówią, że nachylenie nie istnieje, ponieważ zmierza do nieskończoności.

Nachylenie jest dodatnie, gdy wykres funkcji rośnie i odwrotnie. Zdjęcie pokazuje różne odmiany lokalizacja prosty kąt względem układu współrzędnych z wartością współczynnika.

Aby znaleźć dany kąt należy zastosować definicję współczynnika kątowego i obliczyć tangens kąta nachylenia w płaszczyźnie.

Rozwiązanie

Z warunku mamy, że α = 120°. Z definicji nachylenie należy obliczyć. Znajdźmy to ze wzoru k = t g α = 120 = - 3.

Odpowiedź: k = - 3 .

Jeżeli znany jest współczynnik kątowy i konieczne jest znalezienie kąta nachylenia do osi odciętej, należy uwzględnić wartość współczynnika kątowego. Jeżeli k > 0, to kąt prosty jest ostry i można go obliczyć ze wzoru α = a r c t g k. Jeśli k< 0 , тогда угол тупой, что дает право определить его по формуле α = π - a r c t g k .

Przykład 2

Określ kąt nachylenia danej prostej do O x ze współczynnikiem kątowym 3.

Rozwiązanie

Z warunku mamy, że współczynnik kątowy jest dodatni, co oznacza, że ​​kąt nachylenia do O x jest mniejszy niż 90 stopni. Obliczenia wykonuje się według wzoru α = a r do t g k = a r do t g 3.

Odpowiedź: α = za r do t sol 3 .

Przykład 3

Znajdź kąt nachylenia prostej do osi O x, jeśli nachylenie = - 1 3.

Rozwiązanie

Jeśli za oznaczenie współczynnika kątowego przyjmiemy literę k, wówczas α jest kątem nachylenia do danej prostej w kierunku dodatnim O x. Stąd k = - 1 3< 0 , тогда необходимо применить формулу α = π - a r c t g k При подстановке получим выражение:

α = π - za r do t sol - 1 3 = π - za r do t sol 1 3 = π - π 6 = 5 π 6.

Odpowiedź: 5 π 6 .

Równanie w postaci y = k x + b, gdzie k jest nachyleniem, a b jest liczbą rzeczywistą, nazywa się równaniem prostej o nachyleniu. Równanie jest typowe dla każdej linii prostej, która nie jest równoległa do osi Oy.

Jeśli szczegółowo rozważymy linię prostą na płaszczyźnie w ustalonym układzie współrzędnych, która jest określona równaniem ze współczynnikiem kątowym w postaci y = k x + b. W w tym przypadku oznacza, że ​​równaniu odpowiadają współrzędne dowolnego punktu na prostej. Jeśli podstawiamy współrzędne punktu M, M 1 (x 1, y 1) do równania y = k x + b, to w tym przypadku prosta przejdzie przez ten punkt, w przeciwnym razie punkt nie należy do prostej.

Przykład 4

Dana jest linia prosta o nachyleniu y = 1 3 x - 1. Oblicz, czy punkty M 1 (3, 0) i M 2 (2, - 2) należą do podanej prostej.

Rozwiązanie

Należy podstawić współrzędne punktu M 1 (3, 0) do podanego równania, wtedy otrzymamy 0 = 1 3 · 3 - 1 ⇔ 0 = 0. Równość jest prawdziwa, co oznacza, że ​​punkt należy do prostej.

Jeśli podstawimy współrzędne punktu M 2 (2, - 2), wówczas otrzymamy niepoprawną równość postaci - 2 = 1 3 · 2 - 1 ⇔ - 2 = - 1 3. Można stwierdzić, że punkt M 2 nie należy do prostej.

Odpowiedź: M 1 należy do linii, ale M 2 nie.

Wiadomo, że prostą definiuje równanie y = k · x + b, przechodzące przez M 1 (0, b), po podstawieniu otrzymaliśmy równość postaci b = k · 0 + b ⇔ b = b. Z tego możemy wywnioskować, że równanie prostej ze współczynnikiem kątowym y = k x + b na płaszczyźnie definiuje linię prostą przechodzącą przez punkt 0, b. Tworzy kąt α z dodatnim kierunkiem osi O x, gdzie k = t g α.

Rozważmy jako przykład linię prostą zdefiniowaną za pomocą współczynnika kątowego określonego w postaci y = 3 · x - 1. Otrzymujemy, że prosta przejdzie przez punkt o współrzędnych 0, - 1 z nachyleniem α = a r c t g 3 = π 3 radianów w kierunku dodatnim osi O x. To pokazuje, że współczynnik wynosi 3.

Równanie prostej z nachyleniem przechodzącym przez dany punkt

Należy rozwiązać problem polegający na konieczności uzyskania równania prostej o zadanym nachyleniu przechodzącej przez punkt M 1 (x 1, y 1).

Równość y 1 = k · x + b można uznać za obowiązującą, ponieważ prosta przechodzi przez punkt M 1 (x 1, y 1). Aby usunąć liczbę b, należy odjąć równanie z nachyleniem od lewej i prawej strony. Wynika z tego, że y - y 1 = k · (x - x 1) . Równość tę nazywa się równaniem linii prostej o danym nachyleniu k, przechodzącej przez współrzędne punktu M 1 (x 1, y 1).

Przykład 5

Napisz równanie prostej przechodzącej przez punkt M 1 o współrzędnych (4, - 1), o współczynniku kątowym równym - 2.

Rozwiązanie

Pod warunkiem mamy, że x 1 = 4, y 1 = - 1, k = - 2. Stąd równanie prostej zostanie zapisane w następujący sposób: y - y 1 = k · (x - x 1) ⇔ y - (- 1) = - 2 · (x - 4) ⇔ y = - 2 x + 7 .

Odpowiedź: y = - 2 x + 7 .

Przykład 6

Napisz równanie linii prostej o współczynniku kątowym przechodzącym przez punkt M 1 o współrzędnych (3, 5), równolegle do prostej y = 2 x - 2.

Rozwiązanie

Pod warunkiem mamy, że linie równoległe mają identyczne kąty nachylenia, co oznacza, że ​​współczynniki kątowe są równe. Aby znaleźć nachylenie tego równania, należy pamiętać o jego podstawowym wzorze y = 2 x - 2, z czego wynika, że ​​k = 2. Tworzymy równanie ze współczynnikiem nachylenia i otrzymujemy:

y - y 1 = k (x - x 1) ⇔ y - 5 = 2 (x - 3) ⇔ y = 2 x - 1

Odpowiedź: y = 2 x - 1 .

Przejście od równania linii prostej z nachyleniem do innych typów równań linii prostych i odwrotnie

To równanie nie zawsze ma zastosowanie do rozwiązywania problemów, ponieważ pisanie nie jest całkowicie wygodne. Aby to zrobić, musisz przedstawić to w innej formie. Na przykład równanie w postaci y = k · x + b nie pozwala na zapisanie współrzędnych wektora kierunkowego prostej lub współrzędnych wektora normalnego. Aby to zrobić, musisz nauczyć się reprezentować za pomocą równań innego typu.

Równanie kanoniczne prostej na płaszczyźnie możemy otrzymać, korzystając z równania prostej ze współczynnikiem kąta. Otrzymujemy x - x 1 a x = y - y 1 a y . Konieczne jest przeniesienie terminu b do lewa strona i podziel przez wyrażenie powstałej nierówności. Następnie otrzymujemy równanie postaci y = k · x + b ⇔ y - b = k · x ⇔ k · x k = y - b k ⇔ x 1 = y - b k.

Powstało równanie linii prostej ze współczynnikiem kątowym równanie kanoniczne ta linia.

Przykład 7

Doprowadź równanie prostej o współczynniku kątowym y = - 3 x + 12 do postaci kanonicznej.

Rozwiązanie

Obliczmy to i przedstawmy w postaci równania kanonicznego prostej. Otrzymujemy równanie postaci:

y = - 3 x + 12 ⇔ - 3 x = y - 12 ⇔ - 3 x - 3 = y - 12 - 3 ⇔ x 1 = y - 12 - 3

Odpowiedź: x 1 = y - 12 - 3.

Ogólne równanie prostej najłatwiej uzyskać z y = k · x + b, ale w tym celu konieczne jest dokonanie przekształceń: y = k · x + b ⇔ k · x - y + b = 0. Dokonuje się przejścia od ogólnego równania prostej do równań innego typu.

Przykład 8

Biorąc pod uwagę równanie linii prostej w postaci y = 1 7 x - 2 . Dowiedz się, czy wektor o współrzędnych a → = (- 1, 7) jest normalnym wektorem liniowym?

Rozwiązanie

Aby rozwiązać, należy przejść do innej formy tego równania, w tym celu piszemy:

y = 1 7 x - 2 ⇔ 1 7 x - y - 2 = 0

Współczynniki przed zmiennymi są współrzędnymi wektora normalnego linii. Zapiszmy to tak: n → = 1 7, - 1, stąd 1 7 x - y - 2 = 0. Jasne jest, że wektor a → = (- 1, 7) jest współliniowy z wektorem n → = 1 7, - 1, ponieważ mamy relację uczciwą a → = - 7 · n →. Wynika z tego, że pierwotny wektor a → = - 1, 7 jest wektorem normalnym prostej 1 7 x - y - 2 = 0, co oznacza, że ​​jest uważany za wektor normalny dla prostej y = 1 7 x - 2.

Odpowiedź: Jest

Rozwiążmy problem odwrotny tego.

Należy przejść od ogólnej postaci równania A x + B y + C = 0, gdzie B ≠ 0, do równania ze współczynnikiem kątowym. Aby to zrobić, rozwiązujemy równanie dla y. Otrzymujemy A x + B y + C = 0 ⇔ - A B x - C B .

Wynikiem jest równanie o nachyleniu równym -A B .

Przykład 9

Dane jest równanie linii prostej w postaci 2 3 x - 4 y + 1 = 0. Uzyskaj równanie danej linii ze współczynnikiem kątowym.

Rozwiązanie

Na podstawie warunku należy rozwiązać y, wówczas otrzymujemy równanie postaci:

2 3 x - 4 y + 1 = 0 ⇔ 4 y = 2 3 x + 1 ⇔ y = 1 4 2 3 x + 1 ⇔ y = 1 6 x + 1 4 .

Odpowiedź: y = 1 6 x + 1 4 .

W podobny sposób rozwiązuje się równanie postaci x a + y b = 1, które nazywa się równaniem prostej w odcinkach lub równaniem kanonicznym postaci x - x 1 a x = y - y 1 a y. Musimy to rozwiązać dla y, dopiero wtedy otrzymamy równanie o nachyleniu:

x za + y b = 1 ⇔ y b = 1 - x za ⇔ y = - b za · x + b.

Równanie kanoniczne można sprowadzić do postaci ze współczynnikiem kątowym. Aby to zrobić:

x - x 1 za x = y - y 1 za y ⇔ za y · (x - x 1) = za x · (y - y 1) ⇔ ⇔ a x · y = za y · x - za y · x 1 + a x · y 1 ⇔ y = a y a x · x - a y a x · x 1 + y 1

Przykład 10

Istnieje linia prosta określona równaniem x 2 + y - 3 = 1. Sprowadź do postaci równania ze współczynnikiem kątowym.

Rozwiązanie.

Na podstawie warunku należy dokonać transformacji i wtedy otrzymamy równanie w postaci _formuły_. Obie strony równania należy pomnożyć przez -3, aby otrzymać wymagane równanie nachylenia. Przekształcając otrzymujemy:

y - 3 = 1 - x 2 ⇔ - 3 · y - 3 = - 3 · 1 - x 2 ⇔ y = 3 2 x - 3 .

Odpowiedź: y = 3 2 x - 3 .

Przykład 11

Sprowadź równanie prostej postaci x - 2 2 = y + 1 5 do postaci ze współczynnikiem kątowym.

Rozwiązanie

Konieczne jest obliczenie wyrażenia x - 2 2 = y + 1 5 jako proporcji. Otrzymujemy, że 5 · (x - 2) = 2 · (y + 1) . Teraz musisz to całkowicie włączyć, aby to zrobić:

5 (x - 2) = 2 (y + 1) ⇔ 5 x - 10 = 2 y + 2 ⇔ 2 y = 5 x - 12 ⇔ y = 5 2 x

Odpowiedź: y = 5 2 x - 6 .

Aby rozwiązać takie problemy, równania parametryczne prostej postaci x = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · λ należy sprowadzić do równania kanonicznego prostej, dopiero po tym można przystąpić do równania z współczynnik nachylenia.

Przykład 12

Znajdź nachylenie prostej, jeśli jest ono dane przez równania parametryczne x = λ y = - 1 + 2 · λ.

Rozwiązanie

Konieczne jest przejście z widoku parametrycznego do nachylenia. Aby to zrobić, znajdujemy równanie kanoniczne z danego równania parametrycznego:

x = λ y = - 1 + 2 · λ ⇔ λ = x λ = y + 1 2 ⇔ x 1 = y + 1 2 .

Teraz należy rozwiązać tę równość względem y, aby otrzymać równanie prostej ze współczynnikiem kątowym. Aby to zrobić, napiszmy to w ten sposób:

x 1 = y + 1 2 ⇔ 2 x = 1 (y + 1) ⇔ y = 2 x - 1

Wynika z tego, że nachylenie prostej wynosi 2. Jest to zapisane jako k = 2.

Odpowiedź: k = 2.

Jeśli zauważysz błąd w tekście, zaznacz go i naciśnij Ctrl+Enter

Naucz się obliczać pochodne funkcji. Pochodna charakteryzuje szybkość zmian funkcji w pewnym punkcie leżącym na wykresie tej funkcji. W tym przypadku wykres może być linią prostą lub krzywą. Oznacza to, że pochodna charakteryzuje szybkość zmian funkcji w określonym momencie. Pamiętać zasady ogólne, według którego brane są instrumenty pochodne i dopiero wtedy przechodzimy do kolejnego kroku.

• Przeczytaj artykuł.
• Opisano, jak przyjmować najprostsze pochodne, na przykład pochodną równania wykładniczego. Obliczenia przedstawione w kolejnych krokach będą oparte na opisanych tam metodach.

Naucz się rozróżniać problemy, w których nachylenie należy obliczyć poprzez pochodną funkcji. Zadania nie zawsze wymagają znalezienia nachylenia lub pochodnej funkcji. Na przykład możesz zostać poproszony o znalezienie szybkości zmian funkcji w punkcie A(x,y). Możesz także zostać poproszony o znalezienie nachylenia stycznej w punkcie A(x,y). W obu przypadkach konieczne jest obliczenie pochodnej funkcji.

Weź pochodną podanej funkcji. Nie ma tu potrzeby budowania wykresu – wystarczy równanie funkcji. W naszym przykładzie weźmy pochodną funkcji. Weź pochodną zgodnie z metodami opisanymi w artykule wspomnianym powyżej:

• Pochodna:

Zastąp podane współrzędne punktu do znalezionej pochodnej, aby obliczyć nachylenie. Pochodna funkcji jest równa nachyleniu w pewnym punkcie. Innymi słowy, f”(x) jest nachyleniem funkcji w dowolnym punkcie (x,f(x)). W naszym przykładzie:

• Znajdź nachylenie funkcji fa (x) = 2 x 2 + 6 x (\ displaystyle f (x) = 2x ^ (2) + 6x) w punkcie A(4,2).
• Pochodna funkcji:
  • fa ′ (x) = 4 x + 6 (\ displaystyle f" (x) = 4x + 6)
• Zastąp wartość współrzędnej „x” tego punktu:
  • fa ′ (x) = 4 (4) + 6 (\ displaystyle f" (x) = 4 (4) + 6)
• Znajdź nachylenie:
• Funkcja nachylenia fa (x) = 2 x 2 + 6 x (\ displaystyle f (x) = 2x ^ (2) + 6x) w punkcie A(4,2) jest równe 22.

Jeśli to możliwe, sprawdź swoją odpowiedź na wykresie. Pamiętaj, że nachylenia nie można obliczyć w każdym punkcie. Rachunek różniczkowy rozważa złożone funkcje oraz złożone wykresy, gdzie nie można obliczyć nachylenia w każdym punkcie, a w niektórych przypadkach punkty w ogóle nie leżą na wykresach. Jeśli to możliwe, użyj kalkulatora graficznego, aby sprawdzić, czy nachylenie podanej funkcji jest prawidłowe. W przeciwnym razie narysuj styczną do wykresu w podanym punkcie i zastanów się, czy znaleziona wartość nachylenia odpowiada temu, co widzisz na wykresie.

• Styczna będzie miała w pewnym punkcie takie samo nachylenie jak wykres funkcji. Aby narysować styczną w danym punkcie należy przesunąć się w lewo/prawo na osi X (w naszym przykładzie 22 wartości w prawo), a następnie o jedną w górę na osi Y. Zaznacz punkt, a następnie połącz go z dany Ci punkt. W naszym przykładzie połącz punkty o współrzędnych (4,2) i (26,3).

Równanie prostej na płaszczyźnie.
Wektor kierunku jest prosty. Normalny wektor

Linia prosta na płaszczyźnie jest jedną z najprostszych kształty geometryczne, znane Wam od podstawówki, a dziś nauczymy się sobie z nim radzić, korzystając z metod geometrii analitycznej. Aby opanować materiał, musisz umieć zbudować linię prostą; wie, jakie równanie definiuje linię prostą, w szczególności linię prostą przechodzącą przez początek współrzędnych oraz linie proste równoległe do osi współrzędnych. Informacje te można znaleźć w instrukcji Wykresy i własności funkcji elementarnych, stworzyłem go dla Mathana, ale sekcja dotycząca funkcji liniowej okazała się bardzo udana i szczegółowa. Dlatego drogie czajniki rozgrzejcie się najpierw tam. Poza tym trzeba mieć podstawową wiedzę nt wektory, w przeciwnym razie zrozumienie materiału będzie niepełne.

W tej lekcji przyjrzymy się sposobom tworzenia równania linii prostej na płaszczyźnie. Polecam nie zaniedbywać praktycznych przykładów (nawet jeśli wydaje się to bardzo proste), ponieważ przedstawię im elementarne i ważne fakty, techniki techniczne, które będą wymagane w przyszłości, także w innych sekcjach matematyki wyższej.

• Jak napisać równanie prostej ze współczynnikiem kąta?
• Jak ?
• Jak znaleźć wektor kierunku, korzystając z ogólnego równania linii prostej?
• Jak napisać równanie prostej z punktu i wektora normalnego?

i zaczynamy:

Równanie prostej ze spadkiem

Nazywa się dobrze znaną „szkolną” formą równania linii prostej równanie prostej ze spadkiem. Przykładowo, jeśli z równania wynika linia prosta, to jej nachylenie wynosi: . Rozważmy geometryczne znaczenie tego współczynnika i wpływ jego wartości na położenie linii:

Udowodniono to na kursie geometrii nachylenie prostej jest równe tangens kąta pomiędzy dodatnim kierunkiem osii ta linia: , a kąt „odkręca się” w kierunku przeciwnym do ruchu wskazówek zegara.

Aby nie zaśmiecać rysunku, narysowałem kąty tylko dla dwóch prostych. Rozważmy „czerwoną” linię i jej nachylenie. Zgodnie z powyższym: (kąt „alfa” jest oznaczony zielonym łukiem). Dla „niebieskiej” prostej ze współczynnikiem kąta równość jest prawdziwa (kąt „beta” jest oznaczony brązowym łukiem). A jeśli znana jest tangens kąta, w razie potrzeby łatwo ją znaleźć i sam kącik używając funkcja odwrotna– arcustangens. Jak mówią, tabela trygonometryczna lub mikrokalkulator w twoich rękach. Zatem, współczynnik kątowy charakteryzuje stopień nachylenia linii prostej do osi odciętej.

Możliwe są następujące przypadki:

1) Jeśli nachylenie jest ujemne: wówczas linia, z grubsza mówiąc, biegnie od góry do dołu. Przykładami są „niebieskie” i „malinowe” linie proste na rysunku.

2) Jeśli nachylenie jest dodatnie: linia biegnie od dołu do góry. Przykłady - „czarne” i „czerwone” linie proste na rysunku.

3) Jeżeli nachylenie wynosi zero: , to równanie przyjmuje postać , a odpowiadająca mu prosta jest równoległa do osi. Przykładem jest „żółta” linia prosta.

4) Dla rodziny linii równoległych do osi (na rysunku nie ma przykładu poza samą osią) współczynnik kątowy nie istnieje (styczna do 90 stopni nie jest zdefiniowana).

Im większy współczynnik nachylenia w wartości bezwzględnej, tym bardziej stromy jest wykres liniowy..

Rozważmy na przykład dwie linie proste. Tutaj zatem linia prosta ma bardziej strome nachylenie. Przypominam, że moduł pozwala zignorować znak, który nas interesuje wartości bezwzględne współczynniki kątowe.

Z kolei linia prosta jest bardziej stroma niż linie proste .

I odwrotnie: im mniejszy współczynnik nachylenia w wartości bezwzględnej, tym bardziej płaska jest linia prosta.

Do linii prostych nierówność jest prawdziwa, zatem linia prosta jest bardziej płaska. Zjeżdżalnia dla dzieci, aby nie zrobić sobie siniaków i guzów.

Dlaczego jest to konieczne?

Przedłuż swoją mękę Znajomość powyższych faktów pozwala od razu dostrzec swoje błędy, zwłaszcza błędy przy konstruowaniu wykresów – jeśli na rysunku okaże się „najwyraźniej coś jest nie tak”. Wskazane jest, abyś ty od razu było jasne, że np. linia prosta jest bardzo stroma i biegnie od dołu do góry, a linia prosta jest bardzo płaska, dociśnięta blisko osi i biegnie od góry do dołu.

W problemach geometrycznych często pojawia się kilka linii prostych, dlatego wygodnie jest je w jakiś sposób wyznaczyć.

Oznaczenia: linie proste oznaczono małymi literami łacińskimi: . Popularną opcją jest oznaczanie ich tą samą literą z naturalnymi indeksami dolnymi. Na przykład pięć linii, które właśnie sprawdziliśmy, można oznaczyć przez .

Ponieważ każda linia prosta jest jednoznacznie określona przez dwa punkty, można ją oznaczyć za pomocą tych punktów: itp. Oznaczenie wyraźnie sugeruje, że punkty należą do linii.

Czas się trochę rozgrzać:

Jak napisać równanie prostej ze współczynnikiem kąta?

Jeżeli znany jest punkt należący do danej prostej oraz współczynnik kątowy tej prostej, to równanie tej prostej wyraża się wzorem:

Przykład 1

Napisz równanie prostej o nachyleniu, jeśli wiadomo, że punkt należy do danej prostej.

Rozwiązanie: Ułóżmy równanie prostej korzystając ze wzoru . W tym przypadku:

Odpowiedź:

Badanie robi się to prosto. Najpierw patrzymy na wynikowe równanie i upewniamy się, że nasze nachylenie jest na swoim miejscu. Po drugie, współrzędne punktu muszą spełniać to równanie. Podstawmy je do równania:

Otrzymuje się poprawną równość, co oznacza, że ​​punkt spełnia otrzymane równanie.

Wniosek: Równanie zostało znalezione poprawnie.

Bardziej skomplikowany przykład do samodzielnego rozwiązania:

Przykład 2

Napisz równanie prostej, jeśli wiadomo, że jej kąt nachylenia do dodatniego kierunku osi wynosi , a punkt należy do tej prostej.

Jeśli będziesz miał jakieś trudności, przeczytaj ponownie materiał teoretyczny. Dokładniej, bardziej praktycznie, pomijam wiele dowodów.

Zadzwonił ostatni dzwonek i ucichł koncert na promenadzie, a za bramami naszej rodzimej szkoły czeka na nas sama geometria analityczna. Skończyły się żarty... A może dopiero zaczynają =)

Z nostalgią machamy piórem do znajomych i zapoznajemy się z ogólnym równaniem linii prostej. Ponieważ w geometrii analitycznej dokładnie to się stosuje:

Ogólne równanie prostej ma postać: , gdzie są pewne liczby. Jednocześnie współczynniki jednocześnie nie są równe zeru, ponieważ równanie traci sens.

Ubierzmy się w garnitur i powiążmy równanie ze współczynnikiem nachylenia. Najpierw przesuńmy wszystkie wyrazy na lewą stronę:

Termin z „X” należy umieścić na pierwszym miejscu:

W zasadzie równanie ma już postać , ale zgodnie z zasadami etykiety matematycznej współczynnik pierwszego wyrazu (w tym przypadku) musi być dodatni. Zmiana znaków:

Pamiętaj o tym cecha techniczna! Sprawiamy, że pierwszy współczynnik (najczęściej) jest dodatni!

W geometrii analitycznej równanie prostej prawie zawsze będzie podane w formie ogólnej. Cóż, jeśli to konieczne, można to łatwo sprowadzić do postaci „szkolnej” ze współczynnikiem kątowym (z wyjątkiem linii prostych równoległych do osi rzędnych).

Zadajmy sobie pytanie co wystarczająco umiesz konstruować linię prostą? Dwa punkty. Ale więcej o tym incydencie z dzieciństwa, teraz trzyma się zasady strzałek. Każda linia prosta ma bardzo specyficzne nachylenie, do którego łatwo się „dostosować”. wektor.

Wektor równoległy do ​​prostej nazywany jest wektorem kierunkowym tej prostej. Jest oczywiste, że każda linia prosta ma nieskończenie wiele wektorów kierunkowych i wszystkie będą współliniowe (współkierunkowe lub nie – to nie ma znaczenia).

Oznaczę wektor kierunkowy następująco: .

Ale jeden wektor nie wystarczy, aby zbudować linię prostą; wektor jest swobodny i nie jest powiązany z żadnym punktem na płaszczyźnie. Dlatego dodatkowo konieczna jest znajomość jakiegoś punktu należącego do prostej.

Jak napisać równanie prostej za pomocą punktu i wektora kierunku?

Jeżeli znany jest pewien punkt należący do prostej oraz wektor kierunkowy tej prostej, to równanie tej prostej można ułożyć ze wzoru:

Czasem się to nazywa równanie kanoniczne prostej .

Co zrobić, kiedy jedna ze współrzędnych jest równa zeru, zrozumiemy to na praktycznych przykładach poniżej. Swoją drogą, uwaga - oba na raz współrzędne nie mogą być równe zeru, ponieważ wektor zerowy nie określa określonego kierunku.

Przykład 3

Napisz równanie prostej, używając punktu i wektora kierunku

Rozwiązanie: Ułóżmy równanie prostej, korzystając ze wzoru. W tym przypadku:

Korzystając z właściwości proporcji pozbywamy się ułamków:

I doprowadzamy równanie do jego ogólnej postaci:

Odpowiedź:

Z reguły w takich przykładach nie ma potrzeby rysowania, ale dla zrozumienia:

Na rysunku widzimy punkt początkowy, pierwotny wektor kierunku (można go wykreślić z dowolnego punktu na płaszczyźnie) oraz skonstruowaną linię prostą. Nawiasem mówiąc, w wielu przypadkach najwygodniej jest skonstruować linię prostą za pomocą równania ze współczynnikiem kątowym. Łatwo jest przekształcić nasze równanie w formę i łatwo wybrać inny punkt, aby skonstruować linię prostą.

Jak zauważono na początku akapitu, linia prosta ma nieskończenie wiele wektorów kierunkowych i wszystkie są współliniowe. Na przykład narysowałem trzy takie wektory: . Niezależnie od tego, jaki wektor kierunkowy wybierzemy, wynikiem będzie zawsze to samo równanie linii prostej.

Utwórzmy równanie linii prostej za pomocą punktu i wektora kierunku:

Rozwiązanie proporcji:

Podziel obie strony przez –2 i otrzymaj znajome równanie:

Zainteresowani mogą w ten sam sposób testować wektory lub dowolny inny wektor współliniowy.

Teraz rozwiążmy problem odwrotny:

Jak znaleźć wektor kierunku, korzystając z ogólnego równania linii prostej?

Bardzo proste:

Jeżeli prostą wyznacza równanie ogólne w prostokątnym układzie współrzędnych, to wektor jest wektorem kierunkowym tej prostej.

Przykłady znajdowania wektorów kierunkowych linii prostych:

To stwierdzenie pozwala nam znaleźć tylko jeden wektor kierunkowy z nieskończonej liczby, ale nie potrzebujemy więcej. Chociaż w niektórych przypadkach wskazane jest zmniejszenie współrzędnych wektorów kierunkowych:

Zatem równanie określa linię prostą równoległą do osi, a współrzędne powstałego wektora kierunkowego wygodnie dzieli się przez –2, uzyskując dokładnie wektor bazowy jako wektor kierunkowy. Logiczny.

Podobnie równanie określa linię prostą równoległą do osi i dzieląc współrzędne wektora przez 5, otrzymujemy wektor ort jako wektor kierunkowy.

Teraz zróbmy to sprawdzenie Przykładu 3. Przykład poszedł, więc przypominam, że w nim skompilowaliśmy równanie linii prostej za pomocą punktu i wektora kierunku

Po pierwsze, korzystając z równania prostej rekonstruujemy jej wektor kierunkowy: – wszystko jest w porządku, otrzymaliśmy wektor pierwotny (w niektórych przypadkach wynikiem może być wektor współliniowy z pierwotnym, co zwykle łatwo zauważyć po proporcjonalności odpowiednich współrzędnych).

Po drugie, współrzędne punktu muszą spełniać równanie. Podstawiamy je do równania:

Uzyskano prawidłową równość, z czego bardzo się cieszymy.

Wniosek: Zadanie zostało wykonane poprawnie.

Przykład 4

Napisz równanie prostej, używając punktu i wektora kierunku

To jest przykład, który możesz rozwiązać samodzielnie. Rozwiązanie i odpowiedź znajdują się na końcu lekcji. Zdecydowanie zaleca się sprawdzenie przy użyciu właśnie omówionego algorytmu. Staraj się zawsze (jeśli to możliwe) sprawdzać wersję roboczą. Głupotą jest popełnianie błędów, których można w 100% uniknąć.

W przypadku, gdy jedna ze współrzędnych wektora kierunku wynosi zero, należy postępować bardzo prosto:

Przykład 5

Rozwiązanie: Wzór nie jest odpowiedni, ponieważ mianownik po prawej stronie wynosi zero. Jest wyjście! Korzystając z właściwości proporcji, przepisujemy formułę w postaci, a resztę toczymy po głębokiej koleinie:

Odpowiedź:

Badanie:

1) Przywróć wektor kierunkowy linii prostej:
– otrzymany wektor jest współliniowy z pierwotnym wektorem kierunku.

2) Podstaw współrzędne punktu do równania:

Otrzymuje się poprawną równość

Wniosek: zadanie wykonane poprawnie

Powstaje pytanie, po co zawracać sobie głowę formułą, skoro istnieje wersja uniwersalna, która sprawdzi się w każdym przypadku? Są dwa powody. Po pierwsze, formuła ma postać ułamka dużo lepiej zapamiętany. Po drugie, wadą uniwersalnej formuły jest to ryzyko pomyłki znacznie wzrasta podczas zastępowania współrzędnych.

Przykład 6

Napisz równanie prostej, używając punktu i wektora kierunku.

To jest przykład, który możesz rozwiązać samodzielnie.

Wróćmy do wszechobecnych dwóch punktów:

Jak napisać równanie prostej wykorzystując dwa punkty?

Jeżeli znane są dwa punkty, to równanie prostej przechodzącej przez te punkty można ułożyć ze wzoru:

W rzeczywistości jest to rodzaj wzoru i oto dlaczego: jeśli znane są dwa punkty, to wektor będzie wektorem kierunku danej prostej. W klasie Wektory dla manekinów rozważaliśmy najprostszy problem - jak znaleźć współrzędne wektora z dwóch punktów. Zgodnie z tym problemem współrzędne wektora kierunku to:

Notatka : punkty można „zamienić” i zastosować formułę . Takie rozwiązanie będzie równoważne.

Przykład 7

Napisz równanie prostej, korzystając z dwóch punktów .

Rozwiązanie: Korzystamy ze wzoru:

Łączenie mianowników:

I przetasuj talię:

Nadszedł czas, aby pozbyć się liczb ułamkowych. W takim przypadku musisz pomnożyć obie strony przez 6:

Otwórz nawiasy i przypomnij sobie równanie:

Odpowiedź:

Badanie jest oczywiste – współrzędne punktów początkowych muszą spełniać otrzymane równanie:

1) Zastąp współrzędne punktu:

Prawdziwa równość.

2) Zastąp współrzędne punktu:

Prawdziwa równość.

Wniosek: Równanie prostej jest zapisane poprawnie.

Jeśli przynajmniej jeden punktów nie spełnia równania, poszukaj błędu.

Warto zaznaczyć, że weryfikacja graficzna jest w tym przypadku trudna, gdyż skonstruowanie linii prostej i sprawdzenie, czy punkty do niej należą , nie takie proste.

Zwrócę uwagę na jeszcze kilka technicznych aspektów rozwiązania. Być może w tym problemie bardziej opłaca się zastosować formułę lustrzaną i w tych samych punktach zrób równanie:

Mniej frakcji. Jeśli chcesz, możesz przeprowadzić rozwiązanie do końca, wynikiem powinno być to samo równanie.

Drugą kwestią jest spojrzenie na ostateczną odpowiedź i ustalenie, czy można ją jeszcze bardziej uprościć? Na przykład, jeśli otrzymasz równanie, warto je zmniejszyć o dwa: – równanie będzie definiować tę samą prostą. Jednak jest to już temat do rozmów względne położenie linii.

Otrzymawszy odpowiedź w przykładzie 7 na wszelki wypadek sprawdziłem, czy WSZYSTKIE współczynniki równania są podzielne przez 2, 3 lub 7. Chociaż najczęściej takich redukcji dokonuje się w trakcie rozwiązania.

Przykład 8

Napisz równanie prostej przechodzącej przez te punkty .

To przykład samodzielnego rozwiązania, które pozwoli lepiej zrozumieć i przećwiczyć techniki obliczeniowe.

Podobnie jak w poprzednim akapicie: jeśli we wzorze jeden z mianowników (współrzędna wektora kierunku) przyjmuje wartość zero, wówczas zapisujemy to w postaci . Ponownie zwróć uwagę, jak niezręcznie i zdezorientowana wygląda. Nie widzę większego sensu w przynoszeniu praktyczne przykłady, ponieważ faktycznie rozwiązaliśmy już taki problem (patrz nr 5, 6).

Bezpośredni wektor normalny (wektor normalny)

Co jest normalne? W prostych słowach, normalna jest prostopadła. Oznacza to, że wektor normalny linii jest prostopadły do ​​danej linii. Oczywiście każda linia prosta ma ich nieskończoną liczbę (podobnie jak wektorów kierunkowych), a wszystkie wektory normalne linii prostej będą współliniowe (współkierunkowe lub nie, to nie ma znaczenia).

Radzenie sobie z nimi będzie jeszcze łatwiejsze niż z wektorami prowadzącymi:

Jeżeli prostą wyznacza równanie ogólne w prostokątnym układzie współrzędnych, to wektor jest wektorem normalnym tej prostej.

Jeżeli współrzędne wektora kierunkowego trzeba ostrożnie „wyciągnąć” z równania, wówczas współrzędne wektora normalnego można po prostu „usunąć”.

Wektor normalny jest zawsze prostopadły do ​​wektora kierunku linii. Sprawdźmy ortogonalność tych wektorów za pomocą produkt kropkowy:

Podam przykłady z tymi samymi równaniami, co dla wektora kierunku:

Czy można skonstruować równanie prostej, mając jeden punkt i wektor normalny? Czuję to w brzuchu, to możliwe. Jeśli znany jest wektor normalny, wówczas kierunek samej linii prostej jest jasno określony - jest to „sztywna konstrukcja” o kącie 90 stopni.

Jak napisać równanie prostej z punktu i wektora normalnego?

Jeżeli znany jest pewien punkt należący do prostej oraz wektor normalny tej prostej, to równanie tej prostej wyraża się wzorem:

Tutaj wszystko udało się bez ułamków i innych niespodzianek. To jest nasz wektor normalny. Kochaj go. I szacunek =)

Przykład 9

Napisz równanie prostej, mając dany punkt i wektor normalny. Znajdź wektor kierunkowy linii.

Rozwiązanie: Korzystamy ze wzoru:

Otrzymaliśmy ogólne równanie prostej, sprawdźmy:

1) „Usuń” współrzędne wektora normalnego z równania: – tak, rzeczywiście z warunku otrzymano wektor pierwotny (lub należy uzyskać wektor współliniowy).

2) Sprawdźmy, czy punkt spełnia równanie:

Prawdziwa równość.

Po upewnieniu się, że równanie jest poprawnie ułożone, przystąpimy do drugiej, łatwiejszej części zadania. Wyciągamy wektor kierujący linii prostej:

Odpowiedź:

Na rysunku sytuacja wygląda następująco:

W celach szkoleniowych podobne zadanie do samodzielnego rozwiązania:

Przykład 10

Napisz równanie prostej, mając dany punkt i wektor normalny. Znajdź wektor kierunkowy linii.

Ostatnia część lekcji zostanie poświęcona mniej powszechnym, ale także ważne gatunki równania prostej na płaszczyźnie

Równanie prostej w odcinkach.
Równanie prostej w postaci parametrycznej

Równanie prostej w odcinkach ma postać , gdzie są niezerowe stałe. Niektórych typów równań nie można przedstawić w tej formie, na przykład bezpośredniej proporcjonalności (ponieważ wolny wyraz jest równy zeru i nie ma możliwości uzyskania jedynki po prawej stronie).

Jest to, mówiąc w przenośni, równanie „techniczne”. Typowym zadaniem jest przedstawienie ogólnego równania linii jako równania linii w odcinkach. Jak to jest wygodne? Równanie prostej w odcinkach pozwala szybko znaleźć punkty przecięcia prostej z osiami współrzędnych, co może być bardzo ważne w niektórych zagadnieniach matematyki wyższej.

Znajdźmy punkt przecięcia linii z osią. Resetujemy „y” i równanie przyjmuje postać . Pożądany punkt jest uzyskiwany automatycznie: .

To samo z osią – punkt, w którym prosta przecina oś rzędnych.

W matematyce jednym z parametrów opisujących położenie prostej na płaszczyźnie współrzędnych kartezjańskich jest współczynnik kątowy tej prostej. Parametr ten charakteryzuje nachylenie prostej do osi odciętej. Aby zrozumieć, jak znaleźć nachylenie, najpierw przypomnij sobie ogólną postać równania linii prostej w układzie współrzędnych XY.

W widok ogólny dowolną linię prostą można przedstawić za pomocą wyrażenia ax+by=c, gdzie a, b i c są dowolnymi liczbami rzeczywistymi, ale zawsze a 2 + b 2 ≠ 0.

Za pomocą prostych przekształceń równanie takie można sprowadzić do postaci y=kx+d, gdzie k i d są liczbami rzeczywistymi. Liczba k jest nachyleniem, a równanie prostej tego typu nazywa się równaniem z nachyleniem. Okazuje się, że aby znaleźć nachylenie, wystarczy zredukować pierwotne równanie do postaci wskazanej powyżej. Aby uzyskać pełniejsze zrozumienie, rozważ konkretny przykład:

Zadanie: Znajdź nachylenie prostej podanej równaniem 36x - 18y = 108

Rozwiązanie: Przekształćmy pierwotne równanie.

Odpowiedź: Wymagane nachylenie tej linii wynosi 2.

Jeśli podczas transformacji równania otrzymaliśmy wyrażenie typu x = const i w rezultacie nie możemy przedstawić y jako funkcji x, to mamy do czynienia z prostą równoległą do osi X. Współczynnik kątowy takiego linia prosta jest równa nieskończoności.

W przypadku linii wyrażonych równaniem takim jak y = const nachylenie wynosi zero. Jest to typowe dla linii prostych równoległych do osi odciętych. Na przykład:

Zadanie: Znajdź nachylenie prostej podanej równaniem 24x + 12y - 4(3y + 7) = 4

Rozwiązanie: Doprowadźmy pierwotne równanie do jego ogólnej postaci

24x + 12 lat - 12 lat + 28 = 4

Z powstałego wyrażenia nie można wyrazić y, dlatego współczynnik kątowy tej linii jest równy nieskończoności, a sama linia będzie równoległa do osi Y.

Znaczenie geometryczne

Dla lepsze zrozumienie Spójrzmy na zdjęcie:

Na rysunku widzimy wykres funkcji takiej jak y = kx. Dla uproszczenia przyjmijmy współczynnik c = 0. W trójkącie OAB stosunek boku BA do AO będzie równy współczynnikowi kątowemu k. Jednocześnie stosunek VA/AO jest tangensem kąta ostrego α w prawy trójkąt OAV. Okazuje się, że współczynnik kątowy prostej jest równy tangensowi kąta, jaki ta prosta tworzy z osią odciętych siatki współrzędnych.

Rozwiązując problem znalezienia współczynnika kątowego linii prostej, znajdujemy tangens kąta między nią a osią X siatki współrzędnych. Przypadki graniczne, gdy rozpatrywana linia jest równoległa do osi współrzędnych, potwierdzają powyższe. Rzeczywiście, dla prostej opisanej równaniem y=const, kąt pomiędzy nią a osią odciętych wynosi zero. Tangens kąta zerowego również wynosi zero i nachylenie również wynosi zero.

Dla prostych prostopadłych do osi x i opisanych równaniem x=const, kąt między nimi a osią X wynosi 90 stopni. Tangens kąta prostego jest równy nieskończoności, a współczynnik kątowy podobnych prostych jest również równy nieskończoności, co potwierdza to, co napisano powyżej.

Nachylenie styczne

Częstym zadaniem często spotykanym w praktyce jest również znalezienie nachylenia stycznej do wykresu funkcji w określonym punkcie. Styczna jest linią prostą, dlatego też można do niej zastosować pojęcie nachylenia.

Aby dowiedzieć się, jak znaleźć nachylenie stycznej, będziemy musieli przypomnieć sobie pojęcie pochodnej. Pochodną dowolnej funkcji w pewnym punkcie jest stała liczbowo równa tangensowi kąta utworzonego pomiędzy styczną w określonym punkcie do wykresu tej funkcji a osią odciętych. Okazuje się, że aby wyznaczyć współczynnik kątowy stycznej w punkcie x 0, musimy obliczyć wartość pochodnej funkcji pierwotnej w tym punkcie k = f”(x 0). Spójrzmy na przykład:

Zadanie: Znajdź nachylenie prostej stycznej do funkcji y = 12x 2 + 2xe x przy x = 0,1.

Rozwiązanie: Znajdź pochodną funkcji pierwotnej w postaci ogólnej

y"(0,1) = 24,0,1 + 2,0,1, e 0,1 + 2, e 0,1

Odpowiedź: Wymagane nachylenie w punkcie x = 0,1 wynosi 4,831