Problem 1.2
Biorąc pod uwagę dwie liczby całkowite X i T. Jeśli tak różne znaki, następnie przypisz X wartość iloczynu tych liczb, a T wartość ich różnicy modulo. Jeżeli liczby mają te same znaki, to przypisz X wartość różnicy modulo pierwotnych liczb, a T wartość iloczynu tych liczb. Wyświetl nowe wartości X i T na ekranie.
Zadanie również nie jest trudne. „Nieporozumienia” mogą powstać tylko wtedy, gdy zapomnisz, czym jest różnica modułów (mam nadzieję, że nadal pamiętasz, jaki jest iloczyn dwóch liczb całkowitych))).
Różnica modulo dwóch liczb
Różnica modulo dwóch liczb całkowitych (choć niekoniecznie liczb całkowitych - to nie ma znaczenia, po prostu w naszym zadaniu liczby są liczbami całkowitymi) - to najprościej mówiąc, gdy wynikiem obliczeń jest moduł różnicy dwóch takty muzyczne.
Oznacza to, że najpierw wykonywana jest operacja odejmowania jednej liczby od drugiej. Następnie obliczany jest moduł wyniku tej operacji.
Matematycznie można to zapisać w następujący sposób:
Jeśli ktoś zapomniał, czym jest moduł lub jak go obliczyć w Pascalu, to zobacz.
Algorytm wyznaczania znaków dwóch liczb
Rozwiązanie problemu jako całości jest dość proste. Jedyną rzeczą, która może sprawić trudności początkującym, jest identyfikacja znaków dwóch liczb. Oznacza to, że musimy odpowiedzieć na pytanie: jak dowiedzieć się, czy liczby mają te same znaki, czy różne.
Po pierwsze, sugeruje jedno po drugim porównanie liczb z zerem. Jest to dopuszczalne. Ale kod źródłowy będzie dość duży. Dlatego bardziej poprawne jest użycie tego algorytmu:
- Mnożymy liczby przez siebie
- Jeśli wynik jest mniejszy od zera, liczby mają różne znaki
- Jeżeli wynik wynosi zero lub jest większy od zera, wówczas liczby mają te same znaki
Zaimplementowałem ten algorytm jako oddzielny plik . A sam program okazał się taki, jak pokazano w przykładach w Pascalu i C++ poniżej.
Rozwiązywanie problemu 1.2 w Pascalu liczby kontrolne programu; var A, X, T: liczba całkowita; //************************************************** **************** // Sprawdza, czy liczby N1 i N2 mają te same znaki. Jeśli tak, to // zwraca PRAWDA, w przeciwnym razie - FAŁSZ //*********************************** * *************************** funkcja ZnakNumbers(N1, N2: liczba całkowita): logiczna; początek := (N1 * N2) >= 0; koniec; //************************************************** **************** // PROGRAM GŁÓWNY //****************************** ************************************ rozpocznij zapis("X = ");
CzytajLn(X); Napisz("T = ");
CzytajLn(T);
jeśli ZnakNumbers(X, T) to //Jeśli liczby mają te same znaki, zacznij A:= (X - T); //Znajdź różnicę modulo oryginalnych liczb T:= X * T; end else //Jeśli liczby mają różne znaki, rozpocznij A:= X * T; T:= Abs(X - T);
koniec; X:= A; //Zapisz wartość A do X WriteLn("X = ", X); //Wyjście X WriteLn("T = ", T); //Wyjście T WriteLn("Koniec. Naciśnij ENTER..."); CzytajLn; koniec.
Nauka o liczbach całkowitych. Pojęcie liczby całkowitej (patrz Liczba) oraz działania arytmetyczne na liczbach znane są od czasów starożytnych i stanowią jedną z pierwszych abstrakcji matematycznych. Szczególne miejsce wśród liczb całkowitych, czyli liczb..., 3... Wielka encyklopedia radziecka
Rzeczownik, s., używany. często Morfologia: (nie) co? działa, dlaczego? pracować, (widzisz) co? praca czego? praca, o czym? o pracy; pl. Co? działa, (nie) co? działa, dlaczego? działa, (widzę) co? działa,... ... Słownik wyjaśniający Dmitriewa
Macierz to obiekt matematyczny zapisany w postaci prostokątnej tabeli liczb (lub elementów pierścienia) i umożliwiający operacje algebraiczne (dodawanie, odejmowanie, mnożenie itp.) pomiędzy nią a innymi podobnymi obiektami. Zasady wykonania... ...Wikipedii
W arytmetyce mnożenie jest rozumiane jako krótki zapis sumy identycznych wyrazów. Na przykład zapis 5*3 oznacza „5 jest dodawane do siebie 3 razy”, czyli jest to po prostu krótki zapis 5+5+5. Wynik mnożenia nazywany jest iloczynem i… ... Wikipedia
Dział teorii liczb, którego głównym zadaniem jest badanie właściwości pól całkowitych liczb algebraicznych stopnia skończonego nad ciałem liczby wymierne. Wszystkie liczby całkowite w polu rozszerzenia K stopnia n można uzyskać za pomocą... ... Encyklopedia matematyczna
Teoria liczb, czyli wyższa arytmetyka, jest gałęzią matematyki zajmującą się badaniem liczb całkowitych i podobnych obiektów. W szeroko pojętej teorii liczb uwzględnia się zarówno liczby algebraiczne, jak i przestępne, a także funkcje różnego pochodzenia, które ... ... Wikipedia
Gałąź teorii liczb zajmująca się badaniem wzorców rozkładu liczby pierwsze(p.h.) wśród liczby naturalne. Głównym problemem jest najlepsze rozwiązanie asymptotyczne. wyrażenia na funkcję p(x), oznaczające liczbę p.p. nieprzekraczającą x, a... ... Encyklopedia matematyczna
- (w literaturze zagranicznej iloczyn skalarny, iloczyn skalarny, iloczyn wewnętrzny) operacja na dwóch wektorach, której wynikiem jest liczba (skalar) niezależna od układu współrzędnych i charakteryzująca długości wektorów czynnikowych i kąt między ... ... Wikipedii
Symetryczna forma hermitowska zdefiniowana na przestrzeni wektorowej L nad ciałem K, zwykle traktowana jako integralna część definicji tej przestrzeni, tworząca przestrzeń (w zależności od rodzaju przestrzeni i właściwości przestrzeni wewnętrznej ... Wikipedia
Książki
- Zbiór problemów matematycznych, Bachurin V.. Zagadnienia matematyczne omówione w książce w pełni odpowiadają treściom któregokolwiek z trzech programów: szkoły, wydziałów przygotowawczych, egzaminów wstępnych. I chociaż ta książka nazywa się...
- Żywa materia. Fizyka życia i procesów ewolucyjnych, Yashin A.A.. Niniejsza monografia stanowi podsumowanie badań autora prowadzonych na przestrzeni ostatnich kilku lat. Wyniki eksperymentów przedstawione w książce zostały uzyskane przez Naukową Szkołę Biofizyki Polowej w Tule i...
Jeśli salę koncertową oświetlą 3 żyrandole po 25 żarówek każdy, wówczas łączna liczba żarówek w tych żyrandolach wyniesie 25 + 25 + 25, czyli 75.
Sumę, w której wszystkie wyrazy są sobie równe, zapisuje się krócej: zamiast 25 + 25 + 25 napisz 25 3. Oznacza to 25 3 = 75 (ryc. 43). Nazywa się numer 75 praca nazywane są liczby 25 i 3 oraz liczby 25 i 3 mnożniki.
Ryż. 43. Iloczyn liczb 25 i 3
Mnożenie liczby m przez liczbę naturalną n oznacza znalezienie sumy n wyrazów, z których każdy jest równy m.
Wywołuje się wyrażenie m n i wartość tego wyrażenia praca takty muzyczneMIN. Nazywa się liczby, które są pomnożone mnożniki. Te. m i n są czynnikami.
Produkty 7 4 i 4 7 są równe tej samej liczbie 28 (ryc. 44).
Ryż. 44. Produkt 7 4 = 4 7
1. Iloczyn dwóch liczb nie zmienia się po zmianie układu czynników.
przemienne
A × B = B × A .
Iloczyny (5 3) 2 = 15 2 i 5 (3 2) = 5 6 mają tę samą wartość 30. Oznacza to, że 5 (3 2) = (5 3) 2 (ryc. 45).
Ryż. 45. Produkt (5 3) 2 = 5 (3 2)
2. Aby pomnożyć liczbę przez iloczyn dwóch liczb, możesz najpierw pomnożyć ją przez pierwszy współczynnik, a następnie uzyskany iloczyn przez drugi współczynnik.
Ta właściwość mnożenia nazywa się asocjacyjny. Używając liter, zapisuje się to w następujący sposób:
A (Bc) = (aBZ).
Suma n wyrazów, każdy równy 1, jest równa n. Zatem równość 1 n = n jest prawdziwa.
Suma n wyrazów, z których każdy jest równy zero, jest równa zeru. Zatem równość 0 n = 0 jest prawdziwa.
Aby przemienność mnożenia była prawdziwa dla n = 1 i n = 0, przyjmuje się, że m 1 = m i m 0 = 0.
Znaku mnożenia zwykle nie zapisuje się przed czynnikami alfabetycznymi: zamiast 8 X napisz 8 X, zamiast AB pisać AB.
Znak mnożenia jest również pomijany przed nawiasami. Na przykład zamiast 2 ( +B) napisz 2 (+B) i zamiast ( X+ 2) (y + 3) napisz (x + 2) (y + 3).
Zamiast ( ok) z napisem ABC.
Jeżeli w zapisie iloczynu nie ma nawiasów, mnożenie wykonuje się w kolejności od lewej do prawej.
Prace są czytane, wymieniając każdy czynnik dopełniacz. Na przykład:
1) 175 60 jest iloczynem stu siedemdziesięciu pięciu i sześćdziesięciu;
2) 80 (X+ 1 7) – produkt r.p. r.p.
osiemdziesiąt i suma x i siedemnaście
Rozwiążmy problem.
Ile liczb trzycyfrowych (ryc. 46) można utworzyć z liczb 2, 4, 6, 8, jeśli liczby w liczbie się nie powtarzają?
Rozwiązanie.
Pierwszą cyfrą liczby może być dowolna liczba cztery podane liczby, druga – dowolna z trzy inne, a trzeci – którykolwiek z dwa pozostałe. Okazuje się:
Ryż. 46. Do problemu komponowania liczb trzycyfrowych
W sumie z tych liczb możesz utworzyć 4 3 2 = 24 liczby trzycyfrowe.
Rozwiążmy problem.
Zarząd spółki składa się z 5 osób. Zarząd musi spośród swoich członków wybrać prezesa i wiceprezesa. Na ile sposobów można to zrobić?
Rozwiązanie.
Na prezesa spółki może zostać wybrana jedna z 5 osób:
Prezydent:
Po wyborze prezesa na wiceprezesa można wybrać dowolnego z czterech pozostałych członków zarządu (ryc. 47):
|
Ryż. 47. O problemie wyborczym
Oznacza to, że istnieje pięć sposobów wyboru prezydenta, a dla każdego wybranego prezydenta istnieją cztery sposoby wyboru wiceprezydenta. Stąd, całkowita liczba Liczba sposobów wyboru prezesa i wiceprezesa spółki wynosi: 5 · 4 = 20 (patrz ryc. 47).
Rozwiążmy kolejny problem.
Ze wsi Anikiewo do wsi Bolszowo prowadzą cztery drogi, a ze wsi Bolszowo do wsi Winogradowo – trzy drogi (ryc. 48). Na ile sposobów można przejść z Anikejewa do Winogradowa przez wieś Bolszewo?
Ryż. 48. O problemie dróg
Rozwiązanie.
Jeśli z A do B dojedziesz pierwszą drogą, możesz kontynuować podróż na trzy sposoby (ryc. 49).
Ryż. 49. Opcje ścieżki
Rozumując w ten sam sposób, otrzymujemy trzy możliwości kontynuowania podróży, zaczynając od dróg 2., 3. i 4. Oznacza to, że w sumie istnieje 4 3 = 12 sposobów, aby dostać się z Anikeeva do Winogradowa.
Rozwiążmy jeszcze jeden problem.
Rodzina składająca się z babci, ojca, matki, córki i syna otrzymała 5 różne kubki. Na ile sposobów można podzielić puchary pomiędzy członków rodziny?
Rozwiązanie. Pierwszy członek rodziny (np. babcia) ma 5 możliwości, kolejny (niech będzie to tata) ma 4 możliwości. Kolejna (np. mama) wybierze jeden z 3 kubków, następna z dwóch, a ostatnia otrzyma jeden pozostały kubek. Pokażmy te metody na schemacie (ryc. 50).
Ryż. 50. Schemat rozwiązania problemu
Ustaliliśmy, że każdy kubek wybrany przez babcię odpowiada czterem możliwe wybory tatusiowie, tj. tylko 5 4 sposoby. Po tym jak tata wybrał kubek, mama ma trzy możliwości, córka dwa, syn jeden, czyli: tylko 3 2 1 sposobów. Wreszcie okazuje się, że aby rozwiązać problem, musimy znaleźć iloczyn 5 4 3 2 1.
Zauważ, że otrzymaliśmy iloczyn wszystkich liczb naturalnych od 1 do 5. Takie iloczyny zapisuje się krócej:
5 4 3 2 1 = 5! (czytaj: „pięć silni”).
Silnia liczby– iloczyn wszystkich liczb naturalnych od 1 do tej liczby.
Zatem odpowiedź na problem brzmi: 5! = 120, tj. Kubki można rozdawać członkom rodziny na sto dwadzieścia sposobów.
Aby rozwiązać wiele problemów „przy maksimum i minimum”, tj. Aby znaleźć największą i najmniejszą wartość zmiennej, możesz z powodzeniem skorzystać z niektórych instrukcji algebraicznych, z którymi teraz się zapoznamy.
x y
Rozważ następujący problem:
Na jakie dwie części należy podzielić tę liczbę, aby ich iloczyn był największy?
Niech podana liczbaA. Następnie części, na które liczba jest podzielonaA, można oznaczyć przez
a/2 + x I a/2-x;
numer X pokazuje, jak bardzo te części różnią się od połowy liczby A. Iloczyn obu stron jest równy
(a/2 + x) · ( a/2-x) = a 2 / 4 - x 2.
Oczywiste jest, że iloczyn wziętych części będzie rósł wraz ze wzrostem X, tj. w miarę zmniejszania się różnicy między tymi częściami. Najlepszy produkt będzie o godz x = 0, tj. w przypadku, gdy obie strony są równe a/2.
Więc,
iloczyn dwóch liczb, których suma jest stała, będzie największy, gdy liczby te będą sobie równe.
x i z
Rozważmy to samo pytanie dla trzech liczb.
Na jakie trzy części należy podzielić tę liczbę, aby ich iloczyn był największy?
Rozwiązując ten problem, będziemy opierać się na poprzednim.
Niech numer A podzielony na trzy części. Załóżmy najpierw, że żadna część nie jest równa a/3.Wtedy będzie wśród nich część, duża a/3(wszystkie trzy nie mogą być mniejsze a/3); oznaczmy to przez
a/3+x.
W ten sam sposób wśród nich będzie część mniejsza a/3; oznaczmy to przez
a/3 - r.
Takty muzyczne X I Na są pozytywne. Trzecia część będzie oczywiście równa
a/3 + y - x.
Takty muzyczne a/3 I a/3 + x - y mają tę samą sumę co dwie pierwsze części liczby A i różnicę między nimi, tj. x - y, mniej niż różnica między dwiema pierwszymi częściami, która była równa x + y. Jak wiemy z rozwiązania poprzedniego problemu wynika, że iloczyn
a/3 · ( a/3 + x - y)
większy niż iloczyn pierwszych dwóch części liczby A.
Tak więc, jeśli pierwsze dwie części liczby A zamień na liczby
a/3 I a/3 + x - y,
i pozostaw trzeci bez zmian, wtedy produkt wzrośnie.
Niech teraz jedna z części jest już równa a/3. Następnie pozostałe dwa mają formę
a/3+z I a/3 - z.
Jeśli zrównamy te dwie ostatnie części a/3 (dlatego ich suma się nie zmieni), wówczas iloczyn ponownie wzrośnie i stanie się równy
a/3 a/3 a/3 = a 3/27 .
Więc,
jeśli liczbę a podzielimy na 3 nierówne części, wówczas iloczyn tych części będzie mniejszy niż 3/27, tj. niż iloczyn trzech równych czynników, które sumują się do a.
W podobny sposób można udowodnić to twierdzenie dla czterech czynników, dla pięciu itd.
x p · y q
Rozważmy teraz bardziej ogólny przypadek.
Dla jakich wartości x i y wyrażenie x p y q jest największe, jeśli x + y = a?
Musimy dowiedzieć się, przy jakiej wartości x wyrażenie
x p ·(a - x) Q
osiąga największą wartość.
Pomnóżmy to wyrażenie przez liczbę 1/р p q q. Uzyskajmy nowe wyrażenie
x p / p p · (topór ) q / q q,
która oczywiście osiąga największą wartość w tym samym czasie co początkowa.
Przedstawmy otrzymane teraz wyrażenie w formie
(topór) /Q (topór) /Q · ... · (topór) /Q ,
gdzie powtarzają się czynniki pierwszego typu P raz i dwa - Q raz.
Suma wszystkich czynników tego wyrażenia jest równa
x / p + x / p + ... + x / p + (topór) /q+ (topór) /q + ... + (topór) /Q =
= px/p + q (topór) / q = x + a - x = a ,
te. stała wartość.
Na podstawie tego, co zostało wcześniej udowodnione, stwierdzamy, że produkt
x/p · x/p · ... · x/p · (topór) /Q (topór) /Q · ... · (topór) /Q
osiąga maksimum, gdy wszystkie jego indywidualne czynniki są równe, tj. Gdy
x/p= (topór) /Q.
Wiedząc to a - x = y, otrzymujemy, przestawiając wyrazy, proporcję
x / y = p / q.
Więc,
iloczyn x p y q, przy stałej sumie x + y, osiąga największą wartość, gdy
x: y = p: q .
W ten sam sposób można to udowodnić
fabryka
x p y q z r , x p y q z r t u itd.
ze stałymi kwotami x + y + z, x + y + z + t itp. osiągają największą wartość, gdy
x: y: z = p: q: r,x: y: z: t = p: q: r: u itd.
Przyjrzyjmy się pojęciu mnożenia na przykładzie:
Turyści byli w drodze przez trzy dni. Codziennie szli tą samą ścieżką o długości 4200 m. Jaki dystans pokonali w ciągu trzech dni? Rozwiąż problem na dwa sposoby.
Rozwiązanie:
Rozważmy problem szczegółowo.
Pierwszego dnia turyści przeszli 4200 m. Drugiego dnia turyści przeszli tą samą trasą 4200 m, a trzeciego dnia – 4200 m. Zapiszmy to w języku matematycznym:
4200+4200+4200=12600m.
Widzimy wzór, w którym liczba 4200 powtarza się trzykrotnie, dlatego sumę można zastąpić mnożeniem:
4200⋅3=12600m.
Odpowiedź: turyści przeszli 12 600 metrów w trzy dni.
Spójrzmy na przykład:
Aby uniknąć pisania długiego wpisu, możemy zapisać go w formie mnożenia. Liczba 2 powtarza się 11 razy, zatem przykład mnożenia będzie wyglądał następująco:
2⋅11=22
Podsumujmy. Co to jest mnożenie?
Mnożenie– jest to czynność zastępująca powtórzenie wyrazu n razy.
Nazywa się zapis m⋅n i wynik tego wyrażenia iloczyn liczb, a liczby m i n są nazywane mnożniki.
Spójrzmy na to na przykładzie:
7⋅12=84
Wywoływane jest wyrażenie 7⋅12 i wynik 84 iloczyn liczb.
Nazywa się cyfry 7 i 12 mnożniki.
W matematyce istnieje kilka praw mnożenia. Przyjrzyjmy się im:
Przemienne prawo mnożenia.
Rozważmy problem:
Daliśmy po dwa jabłka pięciu naszym przyjaciołom. Matematycznie wpis będzie wyglądał następująco: 2⋅5.
Albo daliśmy 5 jabłek dwóm naszym przyjaciołom. Matematycznie wpis będzie wyglądał następująco: 5⋅2.
W pierwszym i drugim przypadku rozdamy taką samą liczbę jabłek równą 10 sztuk.
Jeśli pomnożymy 2⋅5=10 i 5⋅2=10, wynik się nie zmieni.
Własność prawa przemiennego mnożenia:
Zmiana miejsc czynników nie powoduje zmiany iloczynu.
M⋅
N=n⋅M
Kombinacyjne prawo mnożenia.
Spójrzmy na przykład:
(2⋅3)⋅4=6⋅4=24 lub 2⋅(3⋅4)=2⋅12=24 otrzymujemy,
(2⋅3)⋅4=2⋅(3⋅4)
(A⋅
B) ⋅
C=
A⋅(B⋅
C)
Własność prawa mnożenia łącznego:
Aby pomnożyć liczbę przez iloczyn dwóch liczb, możesz najpierw pomnożyć ją przez pierwszy współczynnik, a następnie uzyskany iloczyn przez drugi.
Zamiana wielu czynników i umieszczenie ich w nawiasach spowoduje, że wynik lub produkt nie ulegnie zmianie.
Prawa te obowiązują dla dowolnych liczb naturalnych.
Mnożenie dowolnej liczby naturalnej przez jeden.
Spójrzmy na przykład:
7⋅1=7 lub 1⋅7=7
A⋅1=a lub 1⋅A=
A
Kiedy dowolną liczbę naturalną pomnożymy przez jeden, iloczyn zawsze będzie tą samą liczbą.
Mnożenie dowolnej liczby naturalnej przez zero.
6⋅0=0 lub 0⋅6=0
A⋅0=0 lub 0⋅A=0
Gdy dowolną liczbę naturalną pomnożymy przez zero, iloczyn będzie równy zero.
Pytania na temat „Mnożenie”:
Co to jest iloczyn liczb?
Odpowiedź: iloczyn liczb lub mnożenie liczb to wyrażenie m⋅n, gdzie m jest wyrazem, a n jest liczbą powtórzeń tego wyrazu.
Do czego służy mnożenie?
Odpowiedź: żeby nie pisać długiego dodawania liczb, ale pisać w skrócie. Na przykład 3+3+3+3+3+3=3⋅6=18
Jaki jest wynik mnożenia?
Odpowiedź: sens dzieła.
Co oznacza mnożenie 3⋅5?
Odpowiedź: 3⋅5=5+5+5=3+3+3+3+3=15
Jeśli pomnożysz milion przez zero, jaki będzie iloczyn?
Odpowiedź: 0
Przykład nr 1:
Zamień sumę na iloczyn: a) 12+12+12+12+12 b)3+3+3+3+3+3+3+3+3
Odpowiedź: a) 12⋅5=60 b) 3⋅9=27
Przykład nr 2:
Zapisz to jako iloczyn: a) a+a+a+a b) c+c+c+c+c+c+c
Rozwiązanie:
a)a+a+a+a=4⋅a
b) s+s+s+s+s+s+s=7⋅s
Zadanie nr 1:
Mama kupiła 3 pudełka czekoladek. W każdym pudełku znajduje się 8 cukierków. Ile cukierków kupiła mama?
Rozwiązanie:
W jednym pudełku jest 8 cukierków, a my mamy 3 takie pudełka.
8+8+8=8⋅3=24 cukierki
Odpowiedź: 24 cukierki.
Zadanie nr 2:
Nauczycielka plastyki kazała swoim ośmiu uczniom przygotować po siedem ołówków na każdą lekcję. Ile ołówków miały w sumie dzieci?
Rozwiązanie:
Możesz obliczyć sumę zadania. Pierwszy uczeń miał 7 ołówków, drugi 7 ołówków itd.
7+7+7+7+7+7+7+7=56
Nagranie okazało się niewygodne i długie, zamieńmy sumę na iloczyn.
7⋅8=56
Odpowiedź to 56 ołówków.
Załadunek...