Oblicz najmniejszą wspólną wielokrotność. Jak znaleźć najmniejszą wspólną wielokrotność dwóch liczb

Aby zrozumieć, jak obliczyć LCM, należy najpierw określić znaczenie terminu „wielokrotność”.

Wielokrotność A jest liczbą naturalną, która dzieli się przez A bez reszty. Zatem liczby będące wielokrotnością 5 można uznać za 15, 20, 25 i tak dalej.

Liczba dzielników określonej liczby może być ograniczona, ale istnieje nieskończona liczba wielokrotności.

Wspólna wielokrotność liczby naturalne- liczba, która jest przez nie podzielna bez reszty.

Jak znaleźć najmniejszą wspólną wielokrotność liczb

Najmniejsza wspólna wielokrotność (LCM) liczb (dwa, trzy lub więcej) to najmniejsza liczba naturalna, która dzieli się przez wszystkie te liczby.

Aby znaleźć LOC, możesz skorzystać z kilku metod.

W przypadku małych liczb wygodnie jest zapisać wszystkie wielokrotności tych liczb w jednym wierszu, aż znajdziesz wśród nich coś wspólnego. W notacji podano wielokrotności wielka litera DO.

Na przykład wielokrotności liczby 4 można zapisać w następujący sposób:

K. (4) = (8,12, 16, 20, 24, ...)

K. (6) = (12, 18, 24, ...)

Zatem widać, że najmniejszą wspólną wielokrotnością liczb 4 i 6 jest liczba 24. Zapis ten wykonuje się w następujący sposób:

LCM(4, 6) = 24

Jeśli liczby są duże, znajdź wspólną wielokrotność trzech lub więcej liczb, wtedy lepiej zastosować inną metodę obliczenia LCM.

Aby wykonać zadanie, należy rozłożyć podane liczby na czynniki pierwsze.

Najpierw musisz zapisać rozkład największej liczby na linii, a poniżej - resztę.

W rozwinięciu każdej liczby może być inna ilość mnożniki.

Na przykład, rozłóżmy liczby 50 i 20 na czynniki pierwsze.

Przy rozwinięciu mniejszej liczby należy zaznaczyć czynniki, których brakuje przy rozwinięciu pierwszej największej liczby, a następnie dodać je do niej. W przedstawionym przykładzie brakuje dwójki.

Teraz możesz obliczyć najmniejszą wspólną wielokrotność 20 i 50.

LCM(20, 50) = 2 * 5 * 5 * 2 = 100

Zatem iloczyn czynników pierwszych większej liczby i czynników drugiej liczby, które nie zostały uwzględnione w rozwinięciu większej liczby, będzie najmniejszą wspólną wielokrotnością.

Aby znaleźć LCM trzech lub więcej liczb, należy je wszystkie rozłożyć na czynniki pierwsze, tak jak w poprzednim przypadku.

Jako przykład możesz znaleźć najmniejszą wspólną wielokrotność liczb 16, 24, 36.

36 = 2 * 2 * 3 * 3

24 = 2 * 2 * 2 * 3

16 = 2 * 2 * 2 * 2

Zatem tylko dwie dwójki z rozwinięcia szesnastu nie zostały uwzględnione w faktoryzacji większej liczby (jedna jest w rozwinięciu dwudziestu czterech).

Należy je zatem dodać do rozwinięcia większej liczby.

LCM(12, 16, 36) = 2 * 2 * 3 * 3 * 2 * 2 = 9

Istnieją szczególne przypadki wyznaczania najmniejszej wspólnej wielokrotności. Jeśli więc jedną z liczb można podzielić bez reszty przez inną, wówczas większa z tych liczb będzie najmniejszą wspólną wielokrotnością.

Na przykład LCM wynoszący dwanaście i dwadzieścia cztery to dwadzieścia cztery.

Jeśli konieczne jest znalezienie najmniejszej wspólnej wielokrotności liczb względnie pierwszych, które nie mają identycznych dzielników, wówczas ich LCM będzie równa ich iloczynowi.

Na przykład LCM (10, 11) = 110.

Wyrażenia i problemy matematyczne wymagają dużej wiedzy dodatkowej. NOC jest jednym z głównych, szczególnie często używanym w. Temat jest nauczany w szkole średniej i zrozumienie materiału nie jest szczególnie trudne; osoba zaznajomiona z potęgami i tabliczką mnożenia nie będzie miała trudności z identyfikacją niezbędnych liczb i odkryciem wynik.

Definicja

Wspólna wielokrotność to liczba, którą można całkowicie podzielić na dwie liczby jednocześnie (a i b). Najczęściej liczbę tę uzyskuje się poprzez pomnożenie pierwotnych liczb a i b. Liczba musi być podzielna przez obie liczby jednocześnie, bez odchyleń.

NOC to przyjęta do oznaczenia krótka nazwa, zebrana od pierwszych liter.

Sposoby uzyskania numeru

Metoda mnożenia liczb nie zawsze jest odpowiednia do znalezienia LCM; znacznie lepiej sprawdza się w przypadku prostych liczb jednocyfrowych lub dwucyfrowych. Zwyczajowo dzieli się na czynniki; im większa liczba, tym więcej będzie czynników.

Przykład nr 1

W najprostszym przykładzie szkoły zwykle używają liczb pierwszych, jedno- lub dwucyfrowych. Na przykład musisz rozwiązać następujące zadanie, znaleźć najmniejszą wspólną wielokrotność liczb 7 i 3, rozwiązanie jest dość proste, wystarczy je pomnożyć. W rezultacie jest liczba 21, mniejszej liczby po prostu nie ma.

Przykład nr 2

Druga wersja zadania jest znacznie trudniejsza. Podano liczby 300 i 1260, znalezienie LOC jest obowiązkowe. Aby rozwiązać problem, zakłada się następujące działania:

Rozkład pierwszej i drugiej liczby na proste czynniki. 300 = 2 2 * 3 * 5 2 ; 1260 = 2 2 * 3 2 *5 *7. Pierwszy etap został zakończony.

Drugi etap polega na pracy z już uzyskanymi danymi. Każda z otrzymanych liczb musi brać udział w obliczeniu wyniku końcowego. Dla każdego czynnika z liczb pierwotnych pobierana jest największa liczba wystąpień. NOC jest całkowita liczba dlatego też czynniki z liczb muszą się w nim powtórzyć, każdy z osobna, nawet te, które występują w jednym egzemplarzu. Obie liczby początkowe zawierają liczby 2, 3 i 5, w różnych potęgach; 7 występuje tylko w jednym przypadku.

Aby obliczyć wynik końcowy, należy przyjąć każdą liczbę w największej z potęg przedstawionych w równaniu. Pozostaje tylko pomnożyć i uzyskać odpowiedź za pomocą prawidłowe wypełnienie Zadanie składa się z dwóch etapów bez wyjaśnienia:

1) 300 = 2 2 * 3 * 5 2 ; 1260 = 2 2 * 3 2 *5 *7.

2) NOC = 6300.

Na tym polega cały problem, jeśli spróbujesz obliczyć wymaganą liczbę przez pomnożenie, odpowiedź na pewno nie będzie poprawna, ponieważ 300 * 1260 = 378 000.

Badanie:

6300 / 300 = 21 - poprawnie;

6300 / 1260 = 5 - poprawnie.

Poprawność uzyskanego wyniku sprawdza się - dzieląc LCM przez obie liczby pierwotne, jeśli liczba jest liczbą całkowitą w obu przypadkach, to odpowiedź jest prawidłowa.

Co oznacza NOC w matematyce?

Jak wiadomo, w matematyce nie ma ani jednej bezużytecznej funkcji, ta nie jest wyjątkiem. Najczęstszym celem tej liczby jest redukcja ułamków do wspólny mianownik. Czego zwykle uczy się w klasach 5-6 szkoła średnia. Jest to dodatkowo wspólny dzielnik wszystkich wielokrotności, jeśli w zadaniu występują takie warunki. Takie wyrażenie może znaleźć wielokrotność nie tylko dwóch liczb, ale także znacznie większej liczby - trzech, pięciu i tak dalej. Im więcej liczb, tym więcej działań w zadaniu, ale złożoność nie wzrasta.

Na przykład, biorąc pod uwagę liczby 250, 600 i 1500, musisz znaleźć ich wspólny LCM:

1) 250 = 25 * 10 = 5 2 *5 * 2 = 5 3 * 2 - ten przykład szczegółowo opisuje faktoryzację, bez redukcji.

2) 600 = 60 * 10 = 3 * 2 3 *5 2 ;

3) 1500 = 15 * 100 = 33 * 5 3 *2 2 ;

Aby skomponować wyrażenie, należy wymienić wszystkie czynniki, w tym przypadku podano 2, 5, 3 - dla wszystkich tych liczb konieczne jest określenie maksymalnego stopnia.

Uwaga: wszystkie czynniki należy doprowadzić do całkowitego uproszczenia, jeśli to możliwe, rozłożonego na poziom jednocyfrowy.

Badanie:

1) 3000 / 250 = 12 - poprawnie;

2) 3000 / 600 = 5 - prawda;

3) 3000 / 1500 = 2 - poprawnie.

Ta metoda nie wymaga żadnych sztuczek ani genialnych umiejętności, wszystko jest proste i jasne.

Inny sposób

W matematyce wiele rzeczy jest ze sobą powiązanych, wiele rzeczy można rozwiązać na dwa lub więcej sposobów, to samo dotyczy znajdowania najmniejszej wspólnej wielokrotności, LCM. Poniższą metodę można zastosować w przypadku prostych liczb dwucyfrowych i jednocyfrowych. Tworzona jest tabela, w której mnożną wprowadza się pionowo, mnożnik poziomo, a iloczyn jest wskazany w przecinających się komórkach kolumny. Możesz odzwierciedlić tabelę za pomocą linii, wziąć liczbę i zapisać wyniki pomnożenia tej liczby przez liczby całkowite, od 1 do nieskończoności, czasami wystarczy 3-5 punktów, druga i kolejne liczby przechodzą ten sam proces obliczeniowy. Wszystko dzieje się, dopóki nie zostanie znaleziona wspólna wielokrotność.

Biorąc pod uwagę liczby 30, 35, 42, musisz znaleźć LCM łączący wszystkie liczby:

1) Wielokrotności 30: 60, 90, 120, 150, 180, 210, 250 itd.

2) Wielokrotności 35: 70, 105, 140, 175, 210, 245 itd.

3) Wielokrotności 42: 84, 126, 168, 210, 252 itd.

Można zauważyć, że wszystkie liczby są dość różne, jedyną wspólną liczbą jest 210, więc będzie to NOC. Wśród procesów związanych z tym obliczeniem jest również największy wspólny dzielnik, który jest obliczany według podobnych zasad i często występuje w problemach sąsiadujących. Różnica jest niewielka, ale dość znacząca, LCM polega na obliczeniu liczby podzielonej przez wszystkie podane wartości początkowe, a GCD polega na obliczeniu najwyższa wartość przez który dzielone są pierwotne liczby.

Wielokrotność to liczba, która dzieli się przez daną liczbę bez reszty. Najmniejsza wspólna wielokrotność (LCM) grupy liczb to najmniejsza liczba, którą można podzielić przez każdą liczbę w grupie bez pozostawiania reszty. Aby znaleźć najmniejszą wspólną wielokrotność, należy znaleźć czynniki pierwsze danych liczb. LCM można również obliczyć przy użyciu szeregu innych metod, które mają zastosowanie do grup dwóch lub więcej liczb.

Kroki

Seria wielokrotności

Spójrz na te liczby. Opisaną tutaj metodę najlepiej zastosować, gdy podano dwie liczby, z których każda jest mniejsza niż 10. Jeśli podano duże liczby, użyj innej metody.

• Na przykład znajdź najmniejszą wspólną wielokrotność 5 i 8. Są to małe liczby, więc możesz zastosować tę metodę.

1. Wielokrotność to liczba, która dzieli się przez daną liczbę bez reszty. Wielokrotności można znaleźć w tabliczce mnożenia.

   • Na przykład liczby będące wielokrotnościami 5 to: 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40.

2. Zapisz ciąg liczb będący wielokrotnością pierwszej liczby. Zrób to pod wielokrotnościami pierwszej liczby, aby porównać dwa zestawy liczb.

   • Na przykład liczby będące wielokrotnościami 8 to: 8, 16, 24, 32, 40, 48, 56 i 64.

3. Znajdź najmniejszą liczbę występującą w obu zbiorach wielokrotności. Aby znaleźć całkowitą liczbę, konieczne może być napisanie długich serii wielokrotności. Najmniejsza liczba występująca w obu zbiorach wielokrotności jest najmniejszą wspólną wielokrotnością.

   • Na przykład najmniejsza liczba występująca w szeregu wielokrotności 5 i 8 to liczba 40. Dlatego 40 jest najmniejszą wspólną wielokrotnością 5 i 8.

   Faktoryzacja pierwsza

   1. Spójrz na te liczby. Opisaną tutaj metodę najlepiej zastosować, gdy podano dwie liczby, z których każda jest większa niż 10. Jeśli podano mniejsze liczby, użyj innej metody.

      • Na przykład znajdź najmniejszą wspólną wielokrotność liczb 20 i 84. Każda z liczb jest większa niż 10, więc możesz zastosować tę metodę.

   2. Rozłóż pierwszą liczbę na czynniki pierwsze. Oznacza to, że musisz znaleźć taki liczby pierwsze, po pomnożeniu otrzymuje się tę liczbę. Po znalezieniu czynników pierwszych zapisz je jako równości.

      • Na przykład, 2 × 10 = 20 (\ Displaystyle (\ mathbf (2)) \ razy 10 = 20) I 2 × 5 = 10 (\ Displaystyle (\ mathbf (2)) \ razy (\ mathbf (5)) = 10). Zatem czynnikami pierwszymi liczby 20 są liczby 2, 2 i 5. Zapisz je jako wyrażenie: .

   3. Rozłóż drugą liczbę na czynniki pierwsze. Zrób to w taki sam sposób, jak rozłożyłeś pierwszą liczbę, czyli znajdź takie liczby pierwsze, które po pomnożeniu dadzą podaną liczbę.

      • Na przykład, 2 × 42 = 84 (\ Displaystyle (\ mathbf (2)) \ razy 42 = 84), 7 × 6 = 42 (\ Displaystyle (\ mathbf (7)) \ razy 6 = 42) I 3 × 2 = 6 (\ Displaystyle (\ mathbf (3)) \ razy (\ mathbf (2)) = 6). Zatem czynnikami pierwszymi liczby 84 są liczby 2, 7, 3 i 2. Zapisz je jako wyrażenie: .

   4. Zapisz czynniki wspólne obu liczb. Zapisz takie czynniki, jak operacja mnożenia. Podczas wpisywania każdego czynnika przekreśl go w obu wyrażeniach (wyrażeniach opisujących rozkład liczb na czynniki pierwsze).

      • Na przykład obie liczby mają wspólny współczynnik 2, więc napisz 2 × (\ Displaystyle 2 \ razy) i skreśl 2 w obu wyrażeniach.
      • To, co łączy obie liczby, to kolejny współczynnik 2, więc pisz 2 × 2 (\ Displaystyle 2 \ razy 2) i skreśl drugie 2 w obu wyrażeniach.

   5. Dodaj pozostałe czynniki do operacji mnożenia. Są to czynniki, które nie są przekreślone w obu wyrażeniach, czyli czynniki, które nie są wspólne dla obu liczb.

      • Na przykład w wyrażeniu 20 = 2 × 2 × 5 (\ Displaystyle 20 = 2 \ razy 2 \ razy 5) Obie dwójki (2) zostały przekreślone, ponieważ są to czynniki wspólne. Współczynnik 5 nie jest przekreślony, dlatego zapisz operację mnożenia w następujący sposób: 2 × 2 × 5 (\ Displaystyle 2 \ razy 2 \ razy 5)
      • W wyrazie 84 = 2 × 7 × 3 × 2 (\ Displaystyle 84 = 2 \ razy 7 \ razy 3 \ razy 2) obie dwójki (2) są również przekreślone. Współczynniki 7 i 3 nie są przekreślone, więc zapisz operację mnożenia w następujący sposób: 2 × 2 × 5 × 7 × 3 (\ Displaystyle 2 \ razy 2 \ razy 5 \ razy 7 \ razy 3).

   6. Oblicz najmniejszą wspólną wielokrotność. Aby to zrobić, pomnóż liczby w zapisanej operacji mnożenia.

      • Na przykład, 2 × 2 × 5 × 7 × 3 = 420 (\ Displaystyle 2 \ razy 2 \ razy 5 \ razy 7 \ razy 3 = 420). Zatem najmniejszą wspólną wielokrotnością 20 i 84 jest 420.

   Znalezienie wspólnych czynników

   1. Narysuj siatkę przypominającą grę w kółko i krzyżyk. Taka siatka składa się z dwóch równoległych linii, które przecinają się (pod kątem prostym) z kolejnymi dwiema równoległymi liniami. To da ci trzy wiersze i trzy kolumny (siatka wygląda bardzo podobnie do ikony #). Wpisz pierwszą liczbę w pierwszym wierszu i drugiej kolumnie. Wpisz drugą liczbę w pierwszym rzędzie i trzeciej kolumnie.

      • Na przykład znajdź najmniejszą wspólną wielokrotność liczb 18 i 30. Wpisz liczbę 18 w pierwszym rzędzie i drugiej kolumnie, a liczbę 30 w pierwszym rzędzie i trzeciej kolumnie.

   2. Znajdź dzielnik wspólny dla obu liczb. Zapisz to w pierwszym wierszu i pierwszej kolumnie. Lepiej jest szukać czynników pierwszych, ale nie jest to wymagane.

      • Na przykład 18 i 30 to liczby parzyste, więc ich wspólny dzielnik wynosi 2. Zatem wpisz 2 w pierwszym wierszu i pierwszej kolumnie.

   3. Podziel każdą liczbę przez pierwszy dzielnik. Wpisz każdy iloraz pod odpowiednią liczbą. Iloraz jest wynikiem dzielenia dwóch liczb.

      • Na przykład, 18 ÷ 2 = 9 (\ Displaystyle 18 \ div 2 = 9), więc wpisz 9 pod 18.
      • 30 ÷ 2 = 15 (\ Displaystyle 30 \ div 2 = 15), więc zapisz 15 poniżej 30.

   4. Znajdź dzielnik wspólny dla obu ilorazów. Jeżeli nie ma takiego dzielnika, pomiń kolejne dwa kroki. W przeciwnym razie wpisz dzielnik w drugim wierszu i pierwszej kolumnie.

      • Na przykład 9 i 15 są podzielne przez 3, więc wpisz 3 w drugim rzędzie i pierwszej kolumnie.

   5. Podziel każdy iloraz przez jego drugi dzielnik. Zapisz każdy wynik dzielenia pod odpowiednim ilorazem.

      • Na przykład, 9 ÷ 3 = 3 (\ Displaystyle 9 \ div 3 = 3), więc napisz 3 pod 9.
      • 15 ÷ 3 = 5 (\ Displaystyle 15 \ div 3 = 5), więc napisz 5 pod 15.

   6. Jeśli to konieczne, dodaj dodatkowe komórki do siatki. Powtarzaj opisane kroki, aż ilorazy będą miały wspólny dzielnik.

   7. Zakreśl liczby w pierwszej kolumnie i ostatnim rzędzie siatki. Następnie zapisz wybrane liczby w formie operacji mnożenia.

      • Na przykład liczby 2 i 3 znajdują się w pierwszej kolumnie, a liczby 3 i 5 w ostatnim wierszu, więc zapisz operację mnożenia w następujący sposób: 2 × 3 × 3 × 5 (\ Displaystyle 2 \ razy 3 \ razy 3 \ razy 5).

   8. Znajdź wynik mnożenia liczb. Spowoduje to obliczenie najmniejszej wspólnej wielokrotności dwóch podanych liczb.

      • Na przykład, 2 × 3 × 3 × 5 = 90 (\ Displaystyle 2 \ razy 3 \ razy 3 \ razy 5 = 90). Zatem najmniejszą wspólną wielokrotnością 18 i 30 jest 90.

   Algorytm Euklidesa

   1. Zapamiętaj terminologię związaną z operacją dzielenia. Dzielna to liczba, która jest dzielona. Dzielnik to liczba, przez którą jest dzielona. Iloraz jest wynikiem dzielenia dwóch liczb. Reszta to liczba, która pozostaje po podzieleniu dwóch liczb.

      • Na przykład w wyrażeniu 15 ÷ 6 = 2 (\ Displaystyle 15 \ div 6 = 2) ost. 3:
        15 to dywidenda
        6 to dzielnik
        2 jest ilorazem
        3 to reszta.

Największy wspólny dzielnik i najmniejsza wspólna wielokrotność to kluczowe pojęcia arytmetyczne, które pozwalają na łatwe działanie zwykłe ułamki. LCM i są najczęściej używane do znalezienia wspólnego mianownika kilku ułamków.

Podstawowe pojęcia

Dzielnik liczby całkowitej X to inna liczba całkowita Y, przez którą X jest dzielone bez pozostawiania reszty. Na przykład dzielnik liczby 4 to 2, a 36 to 4, 6, 9. Wielokrotność liczby całkowitej X to liczba Y, która dzieli się przez X bez reszty. Na przykład 3 jest wielokrotnością 15, a 6 jest wielokrotnością 12.

Dla każdej pary liczb możemy znaleźć ich wspólne dzielniki i wielokrotności. Na przykład dla liczb 6 i 9 wspólna wielokrotność wynosi 18, a wspólny dzielnik wynosi 3. Oczywiście pary mogą mieć kilka dzielników i wielokrotności, dlatego w obliczeniach używany jest największy dzielnik GCD i najmniejsza wielokrotność LCM.

Najmniejszy dzielnik nie ma znaczenia, ponieważ dla dowolnej liczby jest zawsze jeden. Największa wielokrotność również nie ma znaczenia, ponieważ ciąg wielokrotności zmierza do nieskończoności.

Znalezienie gcd

Istnieje wiele metod znajdowania największego wspólnego dzielnika, z których najbardziej znane to:

• sekwencyjne wyszukiwanie dzielników, wybór wspólnych dla pary i poszukiwanie największego z nich;
• rozkład liczb na czynniki niepodzielne;
• algorytm euklidesowy;
• algorytm binarny.

Dziś o godz instytucje edukacyjne Do najpopularniejszych należą metody faktoryzacji liczb pierwszych i algorytm Euklidesa. To drugie z kolei wykorzystuje się przy rozwiązywaniu równań diofantyny: poszukiwanie NWD jest wymagane, aby sprawdzić równanie pod kątem możliwości rozwiązania w liczbach całkowitych.

Znalezienie NOC

Najmniejszą wspólną wielokrotność wyznacza się również poprzez wyszukiwanie sekwencyjne lub rozkład na niepodzielne czynniki. Ponadto łatwo jest znaleźć LCM, jeśli określono już największy dzielnik. Dla liczb X i Y LCM i GCD są powiązane następującą zależnością:

LCD(X,Y) = X × Y / GCD(X,Y).

Na przykład, jeśli GCM(15,18) = 3, to LCM(15,18) = 15 × 18 / 3 = 90. Najbardziej oczywistym przykładem użycia LCM jest znalezienie wspólnego mianownika, który jest najmniejszą wspólną wielokrotnością dane ułamki.

Liczby względnie pierwsze

Jeśli para liczb nie ma wspólnych dzielników, wówczas taką parę nazywamy względnie pierwszą. Współczynnik gcd dla takich par jest zawsze równy jeden, a na podstawie połączenia między dzielnikami i wielokrotnościami, gcd dla par względnie pierwszych jest równy ich iloczynowi. Na przykład liczby 25 i 28 są względnie pierwsze, ponieważ nie mają wspólnych dzielników, a LCM(25, 28) = 700, co odpowiada ich iloczynowi. Każde dwie niepodzielne liczby zawsze będą względnie pierwsze.

Wspólny dzielnik i kalkulator wielokrotny

Za pomocą naszego kalkulatora możesz obliczyć GCD i LCM dla dowolnej liczby liczb do wyboru. Zadania dotyczące obliczania wspólnych dzielników i wielokrotności znajdują się w arytmetyce w piątej i szóstej klasie, ale GCD i LCM są kluczowymi pojęciami w matematyce i są wykorzystywane w teorii liczb, planimetrii i algebrze komunikacyjnej.

Przykłady z życia wzięte

Wspólny mianownik ułamków

Najmniejsza wspólna wielokrotność jest używana przy znajdowaniu wspólnego mianownika wielu ułamków. Załóżmy, że w zadaniu arytmetycznym musisz zsumować 5 ułamków:

1/8 + 1/9 + 1/12 + 1/15 + 1/18.

Aby dodać ułamki, wyrażenie należy sprowadzić do wspólnego mianownika, co sprowadza się do problemu znalezienia LCM. Aby to zrobić, wybierz 5 liczb w kalkulatorze i wprowadź wartości mianowników w odpowiednich komórkach. Program obliczy LCM (8, 9, 12, 15, 18) = 360. Teraz dla każdego ułamka należy obliczyć dodatkowe współczynniki, które definiuje się jako stosunek LCM do mianownika. Zatem dodatkowe mnożniki będą wyglądać następująco:

• 360/8 = 45
• 360/9 = 40
• 360/12 = 30
• 360/15 = 24
• 360/18 = 20.

Następnie mnożymy wszystkie ułamki przez odpowiedni dodatkowy współczynnik i otrzymujemy:

45/360 + 40/360 + 30/360 + 24/360 + 20/360.

Możemy łatwo zsumować takie ułamki i otrzymać wynik 159/360. Zmniejszamy ułamek o 3 i widzimy ostateczną odpowiedź - 53/120.

Rozwiązywanie liniowych równań diofantyny

Liniowe równania diofantyny są wyrażeniami w postaci ax + by = d. Jeśli stosunek d / gcd(a, b) jest liczbą całkowitą, wówczas równanie można rozwiązać w liczbach całkowitych. Sprawdźmy kilka równań, aby zobaczyć, czy mają rozwiązanie w postaci liczb całkowitych. Najpierw sprawdźmy równanie 150x + 8y = 37. Używając kalkulatora, znajdujemy GCD (150,8) = 2. Podziel 37/2 = 18,5. Liczba nie jest liczbą całkowitą, dlatego równanie nie ma pierwiastków całkowitych.

Sprawdźmy równanie 1320x + 1760y = 10120. Użyj kalkulatora, aby znaleźć GCD(1320, 1760) = 440. Podziel 10120/440 = 23. W rezultacie otrzymamy liczbę całkowitą, zatem równanie diofantyny można rozwiązać przy współczynnikach całkowitych .

Wniosek

GCD i LCM odgrywają dużą rolę w teorii liczb, a same pojęcia są szeroko stosowane w wielu różnych obszarach matematyki. Skorzystaj z naszego kalkulatora, aby obliczyć największe dzielniki i najmniejsze wielokrotności dowolnej liczby liczb.

Zaprezentowany poniżej materiał stanowi logiczną kontynuację teorii z artykułu LCM - najmniejsza wspólna wielokrotność, definicja, przykłady, powiązanie LCM z NWD. Tutaj będziemy rozmawiać znajdowanie najmniejszej wspólnej wielokrotności (LCM), I szczególną uwagę Skupmy się na rozwiązywaniu przykładów. Najpierw pokażemy, jak oblicza się LCM dwóch liczb za pomocą NWD tych liczb. Następnie przyjrzymy się znajdowaniu najmniejszej wspólnej wielokrotności poprzez rozłożenie liczb na czynniki pierwsze. Następnie skupimy się na znalezieniu LCM trzech i więcej liczb, a także zwróć uwagę na obliczenie LCM liczb ujemnych.

Nawigacja strony.

Obliczanie najmniejszej wspólnej wielokrotności (LCM) za pomocą GCD

Jednym ze sposobów znalezienia najmniejszej wspólnej wielokrotności jest relacja między LCM i GCD. Istniejące połączenie między LCM i GCD pozwala nam obliczyć najmniejszą wspólną wielokrotność dwóch dodatnich liczb całkowitych poprzez znany największy wspólny dzielnik. Odpowiednia formuła to LCM(a, b)=a b:GCD(a, b) . Rozważmy przykłady znajdowania LCM za pomocą podanego wzoru.

Przykład.

Znajdź najmniejszą wspólną wielokrotność dwóch liczb 126 i 70.

Rozwiązanie.

W tym przykładzie a=126, b=70. Skorzystajmy z związku pomiędzy LCM i NWD wyrażonego wzorem LCM(a, b)=a b:GCD(a, b). Oznacza to, że najpierw musimy znaleźć największy wspólny dzielnik liczb 70 i 126, po czym możemy obliczyć LCM tych liczb za pomocą zapisanego wzoru.

Znajdźmy NWD(126, 70) korzystając z algorytmu Euklidesa: 126=70·1+56, 70=56·1+14, 56=14·4, zatem GCD(126, 70)=14.

Teraz znajdujemy wymaganą najmniejszą wspólną wielokrotność: NWD(126, 70)=126·70:NWD(126, 70)= 126·70:14=630.

Odpowiedź:

LCM(126, 70)=630 .

Przykład.

Ile wynosi LCM(68, 34)?

Rozwiązanie.

Ponieważ 68 jest podzielne przez 34, wówczas NWD(68, 34)=34. Teraz obliczamy najmniejszą wspólną wielokrotność: NWD(68, 34)=68·34:NWD(68, 34)= 68.34:34=68.

Odpowiedź:

LCM(68, 34)=68.

Należy zauważyć, że poprzedni przykład pasuje do następującej reguły znajdowania LCM dla dodatnich liczb całkowitych a i b: jeśli liczba a jest podzielna przez b, to najmniejszą wspólną wielokrotnością tych liczb jest a.

Znalezienie LCM poprzez rozłożenie liczb na czynniki pierwsze

Innym sposobem znalezienia najmniejszej wspólnej wielokrotności jest rozłożenie liczb na czynniki pierwsze. Jeśli ułożysz iloczyn ze wszystkich czynników pierwszych danych liczb, a następnie wykluczysz z tego iloczynu wszystkie wspólne czynniki pierwsze występujące w rozkładach danych liczb, to otrzymany iloczyn będzie równy najmniejszej wspólnej wielokrotności danych liczb .

Podana zasada znajdowania LCM wynika z równości LCM(a, b)=a b:GCD(a, b). Rzeczywiście, iloczyn liczb aib jest równy iloczynowi wszystkich czynników biorących udział w rozszerzaniu liczb aib. Z kolei NWD(a, b) jest równe iloczynowi wszystkich czynników pierwszych występujących jednocześnie w rozwinięciach liczb a i b (co opisano w rozdziale o znajdowaniu NWD za pomocą rozwinięcia liczb na czynniki pierwsze).

Podajmy przykład. Powiedz nam, że 75=3,5,5 i 210=2,3,5,7. Utwórzmy iloczyn ze wszystkich czynników tych rozwinięć: 2,3,3,5,5,5,7 . Teraz z tego iloczynu wykluczymy wszystkie czynniki występujące zarówno w rozwinięciu liczby 75, jak i rozwinięciu liczby 210 (te czynniki to 3 i 5), wówczas iloczyn przyjmie postać 2,3,5,5,7 . Wartość tego iloczynu jest równa najmniejszej wspólnej wielokrotności 75 i 210, czyli NOC(75, 210)= 2,3,5,5,7=1050.

Przykład.

Rozłóż liczby 441 i 700 na czynniki pierwsze i znajdź najmniejszą wspólną wielokrotność tych liczb.

Rozwiązanie.

Rozłóżmy liczby 441 i 700 na czynniki pierwsze:

Otrzymujemy 441=3·3·7·7 i 700=2·2·5·5·7.

Utwórzmy teraz iloczyn ze wszystkich czynników biorących udział w rozwinięciu tych liczb: 2,2,3,3,5,5,7,7,7. Wykluczmy z tego iloczynu wszystkie czynniki, które występują jednocześnie w obu rozwinięciach (jest tylko jeden taki czynnik – jest to liczba 7): 2,2,3,3,5,5,7,7. Zatem, LCM(441, 700)=2·2·3·3·5·5·7·7=44 100.

Odpowiedź:

NOC(441, 700)= 44 100 .

Regułę znajdowania LCM za pomocą faktoryzacji liczb na czynniki pierwsze można sformułować nieco inaczej. Jeśli brakujące czynniki z rozwinięcia liczby b dodamy do czynników z rozwinięcia liczby a, to wartość otrzymanego iloczynu będzie równa najmniejszej wspólnej wielokrotności liczb a i b.

Weźmy na przykład te same liczby 75 i 210, ich rozkład na czynniki pierwsze wygląda następująco: 75=3,5,5 i 210=2,3,5,7. Do czynników 3, 5 i 5 z rozwinięcia liczby 75 dodajemy brakujące czynniki 2 i 7 z rozwinięcia liczby 210 i otrzymujemy iloczyn 2,3,5,5,7, którego wartość wynosi równe LCM(75, 210).

Przykład.

Znajdź najmniejszą wspólną wielokrotność 84 i 648.

Rozwiązanie.

Najpierw uzyskujemy rozkład liczb 84 i 648 na czynniki pierwsze. Wyglądają jak 84=2·2·3·7 i 648=2·2·2·3·3·3·3. Do czynników 2, 2, 3 i 7 z rozwinięcia liczby 84 dodajemy brakujące czynniki 2, 3, 3 i 3 z rozwinięcia liczby 648 i otrzymujemy iloczyn 2 2 2 3 3 3 3 7, co jest równe 4 536 . Zatem pożądana najmniejsza wspólna wielokrotność 84 i 648 wynosi 4536.

Odpowiedź:

LCM(84, 648) = 4536.

Znajdowanie LCM trzech lub więcej liczb

Najmniejszą wspólną wielokrotność trzech lub więcej liczb można znaleźć, znajdując kolejno LCM dwóch liczb. Przypomnijmy odpowiednie twierdzenie, które pozwala znaleźć LCM trzech lub więcej liczb.

Twierdzenie.

Niech zostaną podane liczby całkowite liczby dodatnie a 1 , a 2 , …, a k , najmniejszą wspólną wielokrotność m k tych liczb można znaleźć poprzez kolejne obliczenie m 2 = LCM(a 1 , a 2) , m 3 = LCM(m 2 , a 3) , …, m k = LCM( m k−1 , a k) .

Rozważmy zastosowanie tego twierdzenia na przykładzie znalezienia najmniejszej wspólnej wielokrotności czterech liczb.

Przykład.

Znajdź LCM czterech liczb 140, 9, 54 i 250.

Rozwiązanie.

W tym przykładzie a 1 =140, a 2 =9, a 3 =54, a 4 =250.

Najpierw znajdujemy m 2 = LOC(a 1, a 2) = LOC(140, 9). Aby to zrobić, korzystając z algorytmu Euklidesa, wyznaczamy NWD(140, 9), mamy 140=9·15+5, 9=5·1+4, 5=4·1+1, 4=1·4, dlatego NWD(140, 9)=1, skąd NWD(140, 9)=140 9:NWD(140, 9)= 140·9:1=1260. Oznacza to, że m 2 = 1 260.

Teraz znajdujemy m 3 = LOC (m 2 , a 3) = LOC (1 260, 54). Obliczmy to poprzez NWD(1 260, 54), które również wyznaczamy za pomocą algorytmu Euklidesa: 1 260=54·23+18, 54=18·3. Wtedy gcd(1260, 54)=18, skąd gcd(1260, 54)= 1260·54:gcd(1260, 54)= 1260·54:18=3780. Oznacza to, że m 3 =3 780.

Pozostaje tylko znaleźć m 4 = LOC(m 3, a 4) = LOC(3 780, 250). Aby to zrobić, znajdujemy NWD(3,780, 250) za pomocą algorytmu Euklidesa: 3,780=250·15+30, 250=30,8+10, 30=10,3. Zatem GCM(3780, 250)=10, skąd GCM(3780, 250)= 3 780 250: NWD(3 780, 250)= 3780·250:10=94500. Oznacza to, że m 4 = 94 500.

Zatem najmniejsza wspólna wielokrotność pierwotnych czterech liczb wynosi 94 500.

Odpowiedź:

LCM(140, 9, 54, 250) = 94 500.

W wielu przypadkach wygodnie jest znaleźć najmniejszą wspólną wielokrotność trzech lub więcej liczb, stosując rozkład na czynniki pierwsze podanych liczb. W takim przypadku należy przestrzegać następującej zasady. Najmniejsza wspólna wielokrotność kilku liczb jest równa iloczynowi, który składa się z następującego wzoru: brakujące czynniki z rozwinięcia drugiej liczby dodawane są do wszystkich czynników z rozwinięcia pierwszej liczby, brakujące czynniki z rozwinięcia do otrzymanych czynników dodaje się trzecią liczbę i tak dalej.

Spójrzmy na przykład znajdowania najmniejszej wspólnej wielokrotności przy użyciu rozkładu na czynniki pierwsze.

Przykład.

Znajdź najmniejszą wspólną wielokrotność pięciu liczb 84, 6, 48, 7, 143.

Rozwiązanie.

Najpierw otrzymujemy rozkład tych liczb na czynniki pierwsze: 84=2·2·3·7, 6=2·3, 48=2·2·2·2·3, 7 (7 jest liczbą pierwszą, pokrywa się z rozkładem na czynniki pierwsze) i 143=11·13.

Aby znaleźć LCM tych liczb, do współczynników pierwszej liczby 84 (są to 2, 2, 3 i 7), należy dodać brakujące czynniki z rozwinięcia drugiej liczby 6. Rozkład liczby 6 nie zawiera brakujących czynników, ponieważ zarówno 2, jak i 3 są już obecne w rozkładzie pierwszej liczby 84. Następnie do czynników 2, 2, 3 i 7 dodajemy brakujące czynniki 2 i 2 z rozwinięcia trzeciej liczby 48 i otrzymujemy zbiór czynników 2, 2, 2, 2, 3 i 7. W następnym kroku nie będzie potrzeby dodawania mnożników do tego zestawu, ponieważ 7 jest już w nim zawarte. Na koniec do współczynników 2, 2, 2, 2, 3 i 7 dodajemy brakujące czynniki 11 i 13 z rozwinięcia liczby 143. Otrzymujemy iloczyn 2,2,2,2,3,7,11,13, który jest równy 48,048.