Oferujemy Państwu wygodne bezpłatne kalkulator internetowy do rozwiązywania równań kwadratowych. Możesz szybko uzyskać i zrozumieć, jak je rozwiązano, korzystając z jasnych przykładów.
Produkować rozwiązuj równania kwadratowe online, najpierw sprowadź równanie do ogólny wygląd:
topór 2 + bx + c = 0
Wypełnij odpowiednio pola formularza:
Jak rozwiązać równanie kwadratowe
| Jak rozwiązać równanie kwadratowe: | Rodzaje korzeni: |
|
1.
Sprowadź równanie kwadratowe do postaci ogólnej: Widok ogólny Аx 2 +Bx+C=0 Przykład: 3x - 2x 2 +1=-1 Zmniejsz do -2x 2 +3x+2=0 2.
Znajdź dyskryminator D. 3.
Znalezienie pierwiastków równania. |
1.
Prawdziwe korzenie. Ponadto. x1 nie jest równe x2 Sytuacja ma miejsce, gdy D>0 i A nie jest równe 0. 2.
Prawdziwe korzenie są takie same. x1 równa się x2 3.
Dwa złożone korzenie. x1=d+ei, x2=d-ei, gdzie i=-(1) 1/2 5.
Równanie ma niezliczoną ilość rozwiązań. 6.
Równanie nie ma rozwiązań. |
Aby skonsolidować algorytm, oto kilka innych ilustrujące przykłady rozwiązań równań kwadratowych.
Przykład 1. Rozwiązywanie zwykłego równania kwadratowego z różnymi pierwiastkami rzeczywistymi.
x 2 + 3 x -10 = 0
W tym równaniu
A=1, B=3, C=-10
D=B 2 -4*A*C = 9-4*1*(-10) = 9+40 = 49
pierwiastek kwadratowy Oznaczymy to jako liczbę 1/2!
x1=(-B+D 1/2)/2A = (-3+7)/2 = 2
x2=(-B-D 1/2)/2A = (-3-7)/2 = -5
Aby to sprawdzić, podstawimy:
(x-2)*(x+5) = x2 -2x +5x – 10 = x2 + 3x -10
Przykład 2. Rozwiązywanie równania kwadratowego z dopasowaniem pierwiastków rzeczywistych.
x 2 – 8x + 16 = 0
A=1, B = -8, C=16
re = k 2 – AC = 16 – 16 = 0
X = -k/A = 4
Zastąpmy
(x-4)*(x-4) = (x-4)2 = X 2 – 8x + 16
Przykład 3. Rozwiązywanie równania kwadratowego ze złożonymi pierwiastkami.
13x 2 – 4x + 1 = 0
A=1, B = -4, C=9
D = b 2 – 4AC = 16 – 4*13*1 = 16 - 52 = -36
Dyskryminator jest ujemny – korzenie są złożone.
X1=(-B+D 1/2)/2A = (4+6i)/(2*13) = 2/13+3i/13
x2=(-B-D 1/2)/2A = (4-6i)/(2*13) = 2/13-3i/13
, gdzie I jest pierwiastkiem kwadratowym z -1
To wszystko możliwe przypadki rozwiązywanie równań kwadratowych.
Mamy nadzieję, że nasz kalkulator internetowy będzie dla Ciebie bardzo przydatny.
Jeśli materiał był przydatny, możesz
W tym artykule nauczymy się rozwiązywać równania dwukwadratowe.
Jakie więc rodzaje równań nazywamy dwukwadratowymi?
Wszystko równania postaci ach 4 +
bx
2
+
C
= 0
, Gdzie a ≠ 0, które są kwadratowe względem x 2 i nazywane są dwukwadratowymi równania. Jak widać, zapis ten jest bardzo podobny do wpisu dotyczącego równania kwadratowego, zatem równania dwukwadratowe rozwiążemy korzystając ze wzorów, których użyliśmy do rozwiązania równania kwadratowego.
Tylko będziemy musieli wprowadzić nową zmienną, czyli oznaczamy x 2 inna zmienna, np Na Lub T (lub jakakolwiek inna litera alfabetu łacińskiego).
Na przykład, rozwiążmy równanie x 4 + 4x 2 ‒ 5 = 0.
Oznaczmy x 2
Poprzez Na
(x 2 = y
) i otrzymujemy równanie y 2 + 4y – 5 = 0.
Jak widać, już wiesz, jak rozwiązać takie równania.
Rozwiązujemy powstałe równanie:
re = 4 2 – 4 (‒ 5) = 16 + 20 = 36, √D = √36 = 6.
y 1 = (‒ 4 – 6)/2= ‒ 10 /2 = ‒ 5,
y 2 = (‒ 4 + 6)/2= 2 /2 = 1.
Wróćmy do naszej zmiennej x.
Ustaliliśmy, że x 2 = ‒ 5 i x 2 = 1.
Zauważmy, że pierwsze równanie nie ma rozwiązań, natomiast drugie daje dwa rozwiązania: x 1 = 1 i x 2 = ‒1. Uważaj, aby nie zgubić pierwiastka ujemnego (najczęściej dostają odpowiedź x = 1, ale nie jest to poprawne).
Odpowiedź:- 1 i 1.
Aby lepiej zrozumieć temat, spójrzmy na kilka przykładów.
Przykład 1. Rozwiąż równanie 2x 4 ‒ 5 x 2 + 3 = 0.
Niech x 2 = y, wtedy 2y 2 ‒ 5y + 3 = 0.
re = (‒ 5) 2 – 4 2 3 = 25 ‒ 24 = 1, √D = √1 = 1.
y 1 = (5 – 1)/(2 2) = 4 /4 =1, y 2 = (5 + 1)/(2 2) = 6 /4 =1,5.
Wtedy x 2 = 1 i x 2 = 1,5.
Otrzymujemy x 1 = ‒1, x 2 = 1, x 3 = ‒ √1,5, x 4 = √1,5.
Odpowiedź: ‒1; 1; ‒ √1,5; √1,5.
Przykład 2. Rozwiąż równanie 2x 4 + 5 x 2 + 2 = 0.
2 lata 2 + 5 lat + 2 = 0.
re = 5 2 – 4 2 2 = 25 ‒ 16 = 9, √D = √9 = 3.
y 1 = (‒ 5 – 3)/(2 2) = ‒ 8 /4 = ‒2, y 2 = (‒5 + 3)/(2 2) = ‒ 2 /4 = ‒ 0,5.
Wtedy x 2 = - 2 i x 2 = - 0,5. Należy pamiętać, że żadne z tych równań nie ma rozwiązania.
Odpowiedź: nie ma rozwiązań.
Niekompletne równania dwukwadratowe- to jest kiedy B = 0 (ax 4 + c = 0) lub C = 0
(ax 4 + bx 2 = 0) rozwiązuje się jak niepełne równania kwadratowe.
Przykład 3. Rozwiąż równanie x 4 ‒ 25 x 2 = 0
Rozłóżmy na czynniki, usuńmy x 2 z nawiasów i wtedy x 2 (x 2 ‒ 25) = 0.
Otrzymujemy x 2 = 0 lub x 2 ‒ 25 = 0, x 2 = 25.
Następnie mamy pierwiastki 0; 5 i – 5.
Odpowiedź: 0; 5; – 5.
Przykład 4. Rozwiąż równanie 5x 4 ‒ 45 = 0.
x 2 = ‒ √9 (nie ma rozwiązań)
x 2 = √9, x 1 = ‒ 3, x 2 = 3.
Jak widać, jeśli potrafisz rozwiązywać równania kwadratowe, możesz także rozwiązywać równania dwukwadratowe.
Jeśli nadal masz pytania, zapisz się na moje lekcje. Korepetytor Valentina Galinevskaya.
stronie internetowej, przy kopiowaniu materiału w całości lub w części wymagany jest link do oryginalnego źródła.
Cele:
- Usystematyzować i uogólnić wiedzę i umiejętności na temat: Rozwiązania równań trzeciego i czwartego stopnia.
- Pogłębiaj swoją wiedzę, wykonując szereg zadań, z których niektóre są nieznane ani pod względem typu, ani metody rozwiązania.
- Kształtowanie zainteresowań matematyką poprzez studiowanie nowych działów matematyki, pielęgnowanie kultury graficznej poprzez konstruowanie wykresów równań.
Typ lekcji: połączone.
Sprzęt: projektor graficzny.
Widoczność: tabela „Twierdzenie Viete’a”.
Postęp lekcji
1. Liczenie ustne
a) Jaka jest reszta z dzielenia wielomianu p n (x) = a n x n + a n-1 x n-1 + ... + a 1 x 1 + a 0 przez dwumian x-a?
b) Ile pierwiastków może mieć równanie sześcienne?
c) Jak rozwiązujemy równania trzeciego i czwartego stopnia?
d) Jeśli b jest liczbą parzystą w równaniu kwadratowym, jaka jest wartość D i x 1;
2. Niezależna praca(w grupach)
Napisz równanie, jeśli znane są pierwiastki (odpowiedzi na zadania są zakodowane) Wykorzystuje się „Twierdzenie Vieta”
1 grupa
Pierwiastki: x 1 = 1; x 2 = -2; x 3 = -3; x 4 = 6
Ułóż równanie:
B=1 -2-3+6=2; b=-2
c=-2-3+6+6-12-18= -23; c= -23
d=6-12+36-18=12; d= -12
e=1(-2)(-3)6=36
x 4 -2 x 3 - 23 x 2 - 12 x + 36 = 0(to równanie jest następnie rozwiązywane przez grupę 2 na planszy)
Rozwiązanie . Szukamy całych pierwiastków wśród dzielników liczby 36.
р = ±1;±2;±3;±4;±6…
p 4 (1)=1-2-23-12+36=0 Liczba 1 spełnia równanie, zatem =1 jest pierwiastkiem równania. Według schematu Hornera
p 3 (x) = x 3 - x 2 -24x -36
p 3 (-2) = -8 -4 +48 -36 = 0, x 2 = -2
p 2 (x) = x 2 -3x -18=0
x 3 =-3, x 4 =6
Odpowiedź: 1;-2;-3;6 suma pierwiastków 2 (P)
2. grupa
Pierwiastki: x 1 = -1; x 2 = x 3 = 2; x 4 = 5
Ułóż równanie:
B=-1+2+2+5-8; b= -8
c=2(-1)+4+10-2-5+10=15; c=15
D=-4-10+20-10= -4; d=4
e=2(-1)2*5=-20;e=-20
8+15+4x-20=0 (grupa 3 rozwiązuje to równanie na tablicy)
р = ±1;±2;±4;±5;±10;±20.
p 4 (1)=1-8+15+4-20=-8
р 4 (-1)=1+8+15-4-20=0
p 3 (x) = x 3 -9x 2 +24x -20
p 3 (2) = 8 -36+48 -20=0
p 2 (x) = x 2 -7x +10 = 0 x 1 = 2; x2 =5
Odpowiedź: -1;2;2;5 suma pierwiastków 8(P)
3 grupa
Pierwiastki: x 1 = -1; x2 =1; x 3 = -2; x 4 = 3
Ułóż równanie:
В=-1+1-2+3=1;В=-1
с=-1+2-3-2+3-6=-7;с=-7
D=2+6-3-6=-1; d=1
e=-1*1*(-2)*3=6
x 4 - x 3- 7x 2 + x + 6 = 0(grupa 4 rozwiązuje to równanie później na tablicy)
Rozwiązanie. Szukamy całych pierwiastków wśród dzielników liczby 6.
р = ±1;±2;±3;±6
p 4 (1)=1-1-7+1+6=0
p 3 (x) = x 3 - 7x -6
р 3 (-1) = -1+7-6=0
p 2 (x) = x 2 - x -6 = 0; x 1 = -2; x2 =3
Odpowiedź: -1;1;-2;3 Suma pierwiastków 1(O)
4 grupa
Pierwiastki: x 1 = -2; x 2 = -2; x 3 = -3; x 4 = -3
Ułóż równanie:
B=-2-2-3+3=-4; b=4
c=4+6-6+6-6-9=-5; с=-5
D=-12+12+18+18=36; d=-36
e=-2*(-2)*(-3)*3=-36;e=-36
x 4 +4x 3 – 5x 2 – 36x -36 = 0(to równanie jest następnie rozwiązywane przez grupę 5 na planszy)
Rozwiązanie. Szukamy całych pierwiastków wśród dzielników liczby -36
р = ±1;±2;±3…
p(1)= 1 + 4-5-36-36 = -72
p 4 (-2) = 16 -32 -20 + 72 -36 = 0
p 3 (x) = x 3 +2x 2 -9x-18 = 0
p 3 (-2) = -8 + 8 + 18-18 = 0
p 2 (x) = x 2 -9 = 0; x=±3
Odpowiedź: -2; -2; -3; 3 Suma pierwiastków-4 (F)
5 grupa
Pierwiastki: x 1 = -1; x 2 = -2; x 3 = -3; x 4 = -4
Napisz równanie
x 4+ 10x 3 + 35x 2 + 50x + 24 = 0(to równanie jest następnie rozwiązywane przez grupę 6 na planszy)
Rozwiązanie . Szukamy całych pierwiastków wśród dzielników liczby 24.
р = ±1;±2;±3
p 4 (-1) = 1 -10 + 35 -50 + 24 = 0
p 3 (x) = x- 3 + 9x 2 + 26x+ 24 = 0
p 3 (-2) = -8 + 36-52 + 24 = O
p 2 (x) = x 2 + 7x+ 12 = 0
Odpowiedź: -1;-2;-3;-4 suma-10 (I)
6 grupa
Pierwiastki: x 1 = 1; x2 = 1; x 3 = -3; x 4 = 8
Napisz równanie
B=1+1-3+8=7;b=-7
c=1 -3+8-3+8-24= -13
D=-3-24+8-24= -43; d=43
x 4 - 7 x 3- 13x2 + 43X - 24 = 0 (to równanie jest następnie rozwiązywane przez grupę 1 na planszy)
Rozwiązanie . Szukamy całych pierwiastków wśród dzielników liczby -24.
p 4 (1)=1-7-13+43-24=0
p 3 (1)=1-6-19+24=0
p 2 (x) = x 2 -5x - 24 = 0
x 3 =-3, x 4 =8
Odpowiedź: 1;1;-3;8 suma 7 (L)
3. Rozwiązywanie równań z parametrem
1. Rozwiąż równanie x 3 + 3x 2 + mx - 15 = 0; jeśli jeden z pierwiastków jest równy (-1)
Zapisz odpowiedź w kolejności rosnącej
R=P 3 (-1)=-1+3-m-15=0
x 3 + 3x 2 -13x - 15 = 0; -1+3+13-15=0
Według warunku x 1 = - 1; D=1+15=16
P 2 (x) = x 2 +2x-15 = 0
x 2 = -1-4 = -5;
x 3 = -1 + 4 = 3;
Odpowiedź: - 1; -5; 3
W kolejności rosnącej: -5;-1;3. (bNS)
2. Znajdź wszystkie pierwiastki wielomianu x 3 - 3x 2 + ax - 2a + 6, jeśli reszty z jego podziału na dwumiany x-1 i x +2 są równe.
Rozwiązanie: R=P 3 (1) = P 3 (-2)
P 3 (1) = 1-3 + a- 2a + 6 = 4-a
P 3 (-2) = -8-12-2a-2a + 6 = -14-4a
x 3 -Zx 2 -6x + 12 + 6 = x 3 -Zx 2 -6x + 18
x 2 (x-3)-6(x-3) = 0
(x-3)(x 2 -6) = 0
3) a=0, x 2 -0*x 2 +0 = 0; x2 =0; x 4 = 0
a=0; x=0; x=1
a>0; x=1; x=a ± √a
2. Napisz równanie
1 grupa. Korzenie: -4; -2; 1; 7;
2. grupa. Korzenie: -3; -2; 1; 2;
3 grupa. Korzenie: -1; 2; 6; 10;
4 grupa. Korzenie: -3; 2; 2; 5;
5 grupa. Korzenie: -5; -2; 2; 4;
6 grupa. Korzenie: -8; -2; 6; 7.
Załadunek...