Definicja.
Prostokąt jest czworokątem, w którym dwa przeciwległe boki są równe i wszystkie cztery kąty są równe.Prostokąty różnią się od siebie jedynie stosunkiem długiego boku do krótszego boku, ale wszystkie cztery rogi są proste, czyli 90 stopni.
Nazywa się dłuższy bok prostokąta długość prostokąta i ten krótki - szerokość prostokąta.
Boki prostokąta są jednocześnie jego wysokościami.
Podstawowe właściwości prostokąta
Prostokąt może być równoległobokiem, kwadratem lub rombem.
1. Przeciwległe boki prostokąta mają tę samą długość, to znaczy są równe:
AB = CD, BC = AD
2. Przeciwległe boki prostokąta są równoległe:
3. Sąsiednie boki prostokąta są zawsze prostopadłe:
AB ┴ BC, BC ┴ CD, CD ┴ AD, AD ┴ AB
4. Wszystkie cztery rogi prostokąta są proste:
∠ABC = ∠BCD = ∠CDA = ∠DAB = 90°
5. Suma kątów prostokąta wynosi 360 stopni:
∠ABC + ∠BCD + ∠CDA + ∠DAB = 360°
6. Przekątne prostokąta mają tę samą długość:
7. Suma kwadratów przekątnej prostokąta jest równa sumie kwadratów boków:
2d 2 = 2a 2 + 2b 2
8. Każda przekątna prostokąta dzieli prostokąt na dwie identyczne figury, czyli trójkąty prostokątne.
9. Przekątne prostokąta przecinają się i w punkcie przecięcia dzielą się na pół:
| AO=BO=CO=ZROBIĆ= | D | ||
| 2 |
10. Punkt przecięcia przekątnych nazywany jest środkiem prostokąta i jest także środkiem okręgu opisanego
11. Przekątna prostokąta to średnica okręgu opisanego
12. Zawsze możesz opisać okrąg wokół prostokąta, ponieważ suma przeciwnych kątów wynosi 180 stopni:
∠ABC = ∠CDA = 180° ∠BCD = ∠DAB = 180°
13. Nie można wpisać koła w prostokąt, którego długość nie jest równa jego szerokości, gdyż sumy przeciwległych boków nie są sobie równe (okrąg można wpisać tylko w szczególnym przypadku prostokąta – kwadratu) .
Boki prostokąta
Definicja.
Długość prostokąta jest długością dłuższej pary jego boków. Szerokość prostokąta jest długością krótszej pary jego boków.Wzory na wyznaczanie długości boków prostokąta
1. Wzór na bok prostokąta (długość i szerokość prostokąta) poprzez przekątną i drugi bok:
a = √ d 2 - b 2
b = √ d 2 - a 2
2. Wzór na bok prostokąta (długość i szerokość prostokąta) przechodzący przez pole i drugi bok:
| b = dcos | β |
| 2 |
Przekątna prostokąta
Definicja.
Przekątny prostokąt Nazywa się dowolny odcinek łączący dwa wierzchołki przeciwległych narożników prostokąta.Wzory na określenie długości przekątnej prostokąta
1. Wzór na przekątną prostokąta wykorzystując dwa boki prostokąta (poprzez twierdzenie Pitagorasa):
re = √ za 2 + b 2
2. Wzór na przekątną prostokąta wykorzystując pole i dowolny bok:
4. Wzór na przekątną prostokąta ze względu na promień opisanego koła:
d = 2R
5. Wzór na przekątną prostokąta ze względu na średnicę okręgu opisanego:
re = D o
6. Wzór na przekątną prostokąta wykorzystując sinus kąta przylegającego do przekątnej i długość boku przeciwnego do tego kąta:
8. Wzór na przekątną prostokąta poprzez sinus kąta ostrego między przekątnymi a polem prostokąta
d = √2S: grzech β
Obwód prostokąta
Definicja.
Obwód prostokąta jest sumą długości wszystkich boków prostokąta.Wzory na określenie długości obwodu prostokąta
1. Wzór na obwód prostokąta wykorzystując dwa boki prostokąta:
P = 2a + 2b
P = 2(a + b)
2. Wzór na obwód prostokąta z wykorzystaniem pola i dowolnego boku:
| P= | 2S + 2a 2 | = | 2S + 2b 2 |
| A | B |
3. Wzór na obwód prostokąta wykorzystując przekątną i dowolny bok:
P = 2(a + √ d 2 - a 2) = 2(b + √ d 2 - b 2)
4. Wzór na obwód prostokąta wykorzystując promień opisanego koła i dowolny bok:
P = 2(a + √4R 2 - 2) = 2(b + √4R 2 - b 2)
5. Wzór na obwód prostokąta wykorzystując średnicę okręgu opisanego i dowolny bok:
P = 2(a + √D o 2 - 2) = 2(b + √D o 2 - b 2)
Pole prostokąta
Definicja.
Pole prostokąta nazywana przestrzenią ograniczoną bokami prostokąta, czyli mieszczącą się w obwodzie prostokąta.Wzory do wyznaczania pola prostokąta
1. Wzór na pole prostokąta wykorzystujący dwa boki:
S = a b
2. Wzór na pole prostokąta z wykorzystaniem obwodu i dowolnego boku:
5. Wzór na pole prostokąta wykorzystujący promień okręgu opisanego i dowolny bok:
S = a √4R 2 - 2= b √4R 2 - b 2
6. Wzór na pole prostokąta wykorzystujący średnicę okręgu opisanego i dowolny bok:
S = za √D o 2 - 2= b √D o 2 - b 2
Okrąg opisany na prostokącie
Definicja.
Okrąg opisany na prostokącie jest okręgiem przechodzącym przez cztery wierzchołki prostokąta, którego środek leży na przecięciu przekątnych prostokąta.Wzory na wyznaczanie promienia okręgu opisanego na prostokącie
1. Wzór na promień okręgu opisanego na prostokącie z dwóch stron:
Zazwyczaj formuła lewego prostokąta na segmencie wygląda tak (21) :
W tej formule X 0 =a, x N =b, ponieważ ogólnie każda całka wygląda następująco: (patrz wzór 18 ).
h można obliczyć ze wzoru 19 .
y 0 , j 1 ,..., j n-1 X 0 , X 1 ,..., X n-1 (X I =x i-1 +h).
Wzór na prostokąty prostokątne.
Zazwyczaj formuła prawego prostokąta na segmencie wygląda tak (22) :
W tej formule X 0 =a, x N =b(patrz wzór na lewe prostokąty).
h można obliczyć korzystając z tego samego wzoru co we wzorze na lewe prostokąty.
y 1 , j 2 ,..., j N są wartościami odpowiedniej funkcji f(x) w punktach X 1 , X 2 ,..., X N (X I =x i-1 +h).
Wzór na średnie prostokąty.
Zazwyczaj formuła środkowego prostokąta na segmencie wygląda tak (23) :
Gdzie X I =x i-1 +h.
W tym wzorze, podobnie jak w poprzednich, h należy pomnożyć sumę wartości funkcji f(x), ale nie po prostu przez podstawienie odpowiednich wartości X 0 ,X 1 ,...,X n-1 do funkcji f(x) i dodawanie do każdej z tych wartości godz./2(x 0 +h/2, x 1 +h/2,..., x n-1 +h/2), a następnie jedynie podstawienie ich do zadanej funkcji.
h można obliczyć stosując ten sam wzór, co we wzorze na lewe prostokąty.” [ 6 ]
W praktyce metody te są wdrażane w następujący sposób:
Mathcad ;
Przewyższać .
Mathcad ;
Przewyższać .
Aby obliczyć całkę za pomocą wzoru średnich prostokątów w programie Excel, należy wykonać następujące kroki:
Kontynuuj pracę w tym samym dokumencie, co przy obliczaniu całki, korzystając ze wzorów lewego i prawego prostokąta.
W komórce E6 wpisz tekst xi+h/2, a w F6 - f(xi+h/2).
Wprowadź formułę =B7+$B$4/2 do komórki E7, skopiuj tę formułę przeciągając do zakresu komórek E8:E16
Wprowadź formułę =ROOT(E7^4-E7^3+8) do komórki F7, skopiuj tę formułę przeciągając do zakresu komórek F8:F16
Wprowadź formułę =SUMA(F7:F16) w komórce F18.
Wprowadź formułę =B4*F18 w komórce F19.
Wprowadź średnie tekstowe w komórce F20.
W efekcie otrzymujemy co następuje:
Odpowiedź: wartość podanej całki wynosi 13,40797.
Na podstawie uzyskanych wyników można stwierdzić, że wzór na prostokąty środkowe jest dokładniejszy niż wzory na prostokąty prawy i lewy.
1. Metoda Monte Carlo
„Główną ideą metody Monte Carlo jest wielokrotne powtarzanie losowych testów. Cechą charakterystyczną metody Monte Carlo jest wykorzystanie liczb losowych (wartości liczbowych jakiejś zmiennej losowej). Liczby takie można otrzymać za pomocą czujniki liczb losowych Na przykład w języku programowania Turbo Pascal istnieje funkcja standardowa losowy, których wartości są liczbami losowymi równomiernie rozłożonymi na segmencie . Oznacza to, że jeśli podzielisz określony segment na pewną liczbę równych przedziałów i obliczysz wartość funkcji losowej dużą liczbę razy, to w każdym przedziale znajdzie się w przybliżeniu taka sama liczba liczb losowych. W języku programowania basenu podobnym czujnikiem jest funkcja rd. W procesorze arkuszy kalkulacyjnych MS Excel funkcja SKRAJ zwraca równomiernie rozłożoną liczbę losową większą lub równą 0 i mniejszą niż 1 (zmiana po ponownym obliczeniu)” [ 7 ].
Aby to obliczyć, musisz skorzystać ze wzoru () :
Gdzie (i=1, 2, …, n) to liczby losowe leżące w przedziale .
Aby otrzymać takie liczby na podstawie ciągu liczb losowych x i równomiernie rozłożonych w przedziale , wystarczy wykonać transformację x i =a+(b-a)x i .
W praktyce metodę tę realizuje się w następujący sposób:
Aby obliczyć całkę metodą Monte Carlo w programie Excel należy wykonać następujące kroki:
W komórce B1 wpisz tekst n=.
W komórce B2 wpisz tekst a=.
W komórce B3 wpisz tekst b=.
Wpisz liczbę 10 w komórce C1.
Wpisz liczbę 0 w komórce C2.
W komórce C3 wpisz liczbę 3.2.
Wpisz I w komórce A5, xi w B5, f(xi) w C5.
Wypełnij komórki A6:A15 liczbami 1,2,3, ...,10 – ponieważ n=10.
Do komórki B6 wprowadź formułę =RAND()*3,2 (generowane są liczby z zakresu od 0 do 3,2), skopiuj tę formułę przeciągając ją do zakresu komórek B7:B15.
Wprowadź formułę =ROOT(B6^4-B6^3+8) do komórki C6 i skopiuj tę formułę, przeciągając do zakresu komórek C7:C15.
Wpisz tekst „kwota” w komórce B16, „(b-a)/n” w komórce B17, „I=” w komórce B18.
Wprowadź formułę =SUMA(C6:C15) do komórki C16.
Wprowadź formułę =(C3-C2)/C1 do komórki C17.
Wprowadź formułę =C16*C17 do komórki C18.
W rezultacie otrzymujemy:
Odpowiedź: wartość podanej całki wynosi 13,12416.
Jednym z podstawowych pojęć matematyki jest obwód prostokąta. Istnieje wiele problemów na ten temat, których rozwiązania nie da się rozwiązać bez wzoru na obwód i umiejętności jego obliczenia.
Podstawowe pojęcia
Prostokąt to czworokąt, w którym wszystkie kąty są proste, a przeciwległe boki są równe i równoległe parami. W naszym życiu wiele postaci ma kształt prostokąta, na przykład powierzchnia stołu, notesu itp.
Spójrzmy na przykład: Wzdłuż granic działki należy wznieść ogrodzenie. Aby poznać długość każdego boku, musisz je zmierzyć.
Ryż. 1. Działka w kształcie prostokąta.
Działka ma boki o długościach 2 m, 4 m, 2 m, 4 m Dlatego, aby poznać całkowitą długość ogrodzenia, należy dodać długości wszystkich boków:
2+2+4+4= 2,2+4,2 =(2+4)·2 =12 m.
Ta wielkość jest ogólnie nazywana obwodem. Zatem, aby znaleźć obwód, należy dodać wszystkie boki figury. Litera P służy do oznaczenia obwodu.
Aby obliczyć obwód prostokątnej figury, nie trzeba dzielić jej na prostokąty; wystarczy zmierzyć wszystkie boki tej figury linijką (taśmą mierniczą) i znaleźć ich sumę.
Obwód prostokąta mierzy się w mm, cm, m, km i tak dalej. W razie potrzeby dane w zadaniu są konwertowane do tego samego systemu miar.
Obwód prostokąta mierzy się w różnych jednostkach: mm, cm, m, km i tak dalej. W razie potrzeby dane w zadaniu są konwertowane do jednego systemu pomiarowego.
Wzór na obwód figury
Jeśli weźmiemy pod uwagę fakt, że przeciwległe boki prostokąta są równe, możemy wyprowadzić wzór na obwód prostokąta:
$P = (a+b) * 2$, gdzie a, b to boki figury.
Ryż. 2. Prostokąt z zaznaczonymi przeciwległymi bokami.
Istnieje inny sposób znalezienia obwodu. Jeśli w zadaniu podano tylko jedną stronę i obszar figury, możesz wyrazić drugą stronę za pomocą pola. Wtedy formuła będzie wyglądać następująco:
$P = ((2S + 2a2)\over(a))$, gdzie S jest polem prostokąta.
Ryż. 3. Prostokąt o bokach a, b.
Ćwiczenia : Oblicz obwód prostokąta, jeśli jego boki wynoszą 4 cm i 6 cm.
Rozwiązanie:
Używamy wzoru $P = (a+b)*2$
$P = (4+6)*2=20 cm$
Zatem obwód figury wynosi $P = 20 cm$.
Ponieważ obwód jest sumą wszystkich boków figury, półobwód jest sumą tylko jednej długości i szerokości. Aby uzyskać obwód, należy pomnożyć półobwód przez 2.
Pole i obwód to dwa podstawowe pojęcia pomiaru dowolnej figury. Nie należy ich mylić, chociaż są ze sobą powiązane. Jeśli zwiększysz lub zmniejszysz obszar, odpowiednio jego obwód wzrośnie lub zmniejszy.
Czego się nauczyliśmy?
Nauczyliśmy się obliczać obwód prostokąta. Zapoznaliśmy się również ze wzorem na jego obliczenie. Temat ten można spotkać nie tylko przy rozwiązywaniu problemów matematycznych, ale także w prawdziwym życiu.
Testuj w temacie
Ocena artykułu
Średnia ocena: 4,5. Łączna liczba otrzymanych ocen: 365.
Prostokąt jest czworokątem, w którym każdy kąt jest prosty.
Dowód
Właściwość wyjaśnia działanie cechy 3 równoległoboku (czyli \angle A = \angle C , \angle B = \angle D )
2. Przeciwne strony są równe.
AB = CD,\enspace BC = AD
3. Przeciwne boki są równoległe.
AB \parallel CD,\enspace BC \parallel AD
4. Sąsiednie boki są do siebie prostopadłe.
AB \perp BC,\enspace BC \perp CD,\enspace CD \perp AD,\enspace AD \perp AB
5. Przekątne prostokąta są równe.
AC = BD
Dowód
Według nieruchomość 1 prostokąt jest równoległobokiem, co oznacza AB = CD.
Zatem \triangle ABD = \triangle DCA na dwóch nogach (AB = CD i AD - staw).
Jeżeli obie figury ABC i DCA są identyczne, to ich przeciwprostokątne BD i AC również są identyczne.
Zatem AC = BD.
Ze wszystkich figur (tylko równoległoboków!) tylko prostokąt ma równe przekątne.
To też udowodnijmy.
ABCD jest równoległobokiem \Strzałka w prawo AB = CD, AC = BD według warunku. \Strzałka w prawo \triangle ABD = \triangle DCA już z trzech stron.
Okazuje się, że \angle A = \angle D (podobnie jak kąty równoległoboku). Oraz \angle A = \angle C , \angle B = \angle D .
Dochodzimy do wniosku, że \angle A = \angle B = \angle C = \angle D. Wszystkie są 90^(\circ) . Razem - 360^(\circ) .
Udowodniony!
6. Kwadrat przekątnej jest równy sumie kwadratów jej dwóch sąsiednich boków.
Własność ta jest prawdziwa na podstawie twierdzenia Pitagorasa.
AC^2=AD^2+CD^2
7. Przekątna dzieli prostokąt na dwa identyczne trójkąty prostokątne.
\triangle ABC = \triangle ACD, \enspace \triangle ABD = \triangle BCD
8. Punkt przecięcia przekątnych dzieli je na pół.
AO = BO = CO = DO
.png)
9. Punkt przecięcia przekątnych to środek prostokąta i okręgu opisanego.
10. Suma wszystkich kątów wynosi 360 stopni.
\angle ABC + \angle BCD + \angle CDA + \angle DAB = 360^(\circ)
11. Wszystkie kąty prostokąta są proste.
\angle ABC = \angle BCD = \angle CDA = \angle DAB = 90^(\circ)
12. Średnica okręgu opisanego na prostokącie jest równa przekątnej prostokąta.
13. Zawsze możesz opisać okrąg wokół prostokąta.
Własność ta jest prawdziwa, ponieważ suma przeciwległych kątów prostokąta wynosi 180^(\circ)
\angle ABC = \angle CDA = 180^(\circ),\enspace \angle BCD = \angle DAB = 180^(\circ)
14. Prostokąt może zawierać okrąg wpisany i tylko jeden, jeśli ma równe długości boków (jest to kwadrat).
Oszacowanie pozostałego wyrazu wzoru:
, 
Lub 
.
Cel usługi. Usługa przeznaczona do obliczania całki oznaczonej on-line z wykorzystaniem wzoru na prostokąt.
Instrukcje. Wprowadź funkcję całkową f(x) i kliknij Rozwiąż. Powstałe rozwiązanie jest zapisywane w pliku Word. W programie Excel tworzony jest także szablon rozwiązania. Poniżej instrukcja wideo.
Zasady wprowadzania funkcji
Przykłady≡ x^2/(1+x)
cos 2 (2x+π) ≡ (cos(2*x+pi))^2
≡ x+(x-1)^(2/3) Jest to najprostszy wzór kwadraturowy do obliczania całki, który wykorzystuje jedną wartość funkcji
(1)
Gdzie ; h=x 1 -x 0 .
Formuła (1) jest centralną formułą prostokątów. Obliczmy pozostałą część. Rozwińmy funkcję y=f(x) w punkcie ε 0 w szereg Taylora:
(2)
gdzie ε 1; x∈. Zintegrujmy (2):
(3)
W drugim członie całka jest nieparzysta, a granice całkowania są symetryczne względem punktu ε 0. Zatem druga całka jest równa zeru. Zatem z (3) wynika 
.
Ponieważ drugi czynnik całki nie zmienia znaku, to na podstawie twierdzenia o wartości średniej otrzymujemy 
, Gdzie . Po całkowaniu otrzymujemy 
. (4)
Porównując z resztą wyrazu wzoru na trapez, widzimy, że błąd wzoru na prostokąt jest dwa razy mniejszy niż błąd wzoru na trapez. Wynik ten jest prawdziwy, jeśli we wzorze na prostokąt przyjmiemy wartość funkcji w punkcie środkowym.
Otrzymujemy wzór na prostokąty i resztę na przedział. Niech będzie dana siatka x i =a+ih, i=0,1,...,n, h=x i+1 -x i. Rozważmy siatkę ε i =ε 0 +ih, i=1,2,..,n, ε 0 =a-h/2. Następnie 
. (5)
Pozostały termin 
.
Geometrycznie wzór na prostokąty można przedstawić na poniższym rysunku: 
Jeżeli w tabeli podana jest funkcja f(x), to należy skorzystać ze wzoru na prostokąt po lewej stronie (dla siatki jednolitej) 
lub formuła prostokąta prawoskrętnego
.
Błąd tych wzorów szacuje się za pomocą pierwszej pochodnej. Dla przedziału błąd jest równy
; .
Po całkowaniu otrzymujemy .
Przykład. Oblicz całkę dla n=5:
a) według wzoru trapezowego;
b) stosując wzór na prostokąty;
c) według wzoru Simpsona;
d) zgodnie ze wzorem Gaussa;
e) zgodnie ze wzorem Czebyszewa.
Oblicz błąd.
Rozwiązanie. Dla 5 węzłów integracji krok siatki będzie wynosić 0,125.
Podczas rozwiązywania będziemy korzystać z tabeli wartości funkcji. Tutaj f(x)=1/x.
| X | k(x) | ||
| x0 | 0.5 | y0 | 2 |
| x1 | 0.625 | y1 | 1.6 |
| x2 | 0.750 | y2 | 1.33 |
| x3 | 0.875 | y3 | 1.14 |
| x4 | 1.0 | y4 | 1 |
I=h/2×;
I=(0,125/2)×= 0.696;
R= [-(b-a)/12]×h×y¢¢(x);
f¢¢(x)=2/(x 3).
Maksymalna wartość drugiej pochodnej funkcji na przedziale wynosi 16: max (f¢¢(x)), xО=2/(0,5 · 3)=16 zatem
R=[-(1-0,5)/12]×0,125×16=- 0.0833;
b) wzór na prostokąty:
dla wzoru leworęcznego I=h×(y0+y1+y2+y3);
I=0,125×(2+1,6+1,33+1,14)= 0.759;
R=[(b-a)/6]×h 2 ×y¢¢(x);
R=[(1-0,5)/6]×0,125 2×16= 0.02;
c) Wzór Simpsona:
I=(2h/6)×(y0+y4+4×(y1+y3)+2×y2);
I=(2×0,125)/6×(2+1+4×(1,6+1,14)+2×1,33)= 0.693;
R=[-(b-a)/180]×h 4×y (4) (x);
f (4) (x)=24/(x5)=768;
R=[-(1-0,5)/180]×(0,125) 4×768 = - 5.2 mi-4;
d) Wzór Gaussa:
I=(b-a)/2×;
x ja = (b+a)/2+t ja (b-a)/2
(A i, t i - wartości tabeli).
| t (n=5) | A (n=5) | ||||||
| x1 | 0.9765 | y1 | 1.02 | t 1 | 0.90617985 | 1 | 0.23692688 |
| x2 | 0.8846 | y2 | 1.13 | t 2 | 0.53846931 | 2 | 0.47862868 |
| x3 | 0.75 | y3 | 1.33 | t 3 | 0 | 3 | 0.56888889 |
| x4 | 0.61 | y4 | 1.625 | t 4 | -0.53846931 | 4 | 0.47862868 |
| x5 | 0.52 | y5 | 1.91 | t 5 | -0.90617985 | 5 | 0.23692688 |
e) Wzór Czebyszewa:
I=[(b-a)/n] ×S f(x i), i=1..n,
x i =(b+a)/2+[ t i (b-a)]/2 - konieczna redukcja przedziału całkowania do przedziału [-1;1].
Dla n=5
| t1 | 0.832498 |
| t2 | 0.374541 |
| t3 | 0 |
| t4 | -0.374541 |
| t5 | -0.832498 |
| x1 | 0,958 | f(x1) | 1,043 |
| x2 | 0,844 | f(x2) | 1,185 |
| x3 | 0,75 | k(x3) | 1,333 |
| x4 | 0,656 | k(x4) | 1,524 |
| x5 | 0,542 | f(x5) | 1,845 |
I=(1-0,5)/5×6,927=0,6927.
Załadunek...