Tetraedr. Zagadnienia konstruowania przekrojów czworościanu. Konstruowanie przekrojów czworościanu

Typ lekcji:

Lekcja uczenia się nowego materiału.

Typ lekcji:

Lekcja z wykorzystaniem technologii ICT.

Geometria: podręcznik dla klas 10-11. / L.S. Atanazjan. – M.: Edukacja, 2010;

Materiały informacyjne: karty z zadaniami.

Tablica interaktywna;

Laptopa;

Prezentacja wykonana w programie PowerPoint;

Rysunki wykonane w programie Paint;

Modele czworościanu, równoległościanu, prostopadłościanu, sześcianu.

Pobierać:

Zapowiedź:

Aby korzystać z podglądów prezentacji utwórz dla siebie konto ( konto) Google i zaloguj się: https://accounts.google.com

Podpisy slajdów:

Fajna robota. Temat lekcji: Konstruowanie odcinków czworościanu. 29.10.

A B C D TETRAHEDRON - DAVS Czworościan „tetra” - cztery, „hedra” - twarz.

Cel lekcji: Cele lekcji: Wykształcenie umiejętności konstruowania odcinków czworościanu z płaszczyzną przechodzącą przez trzy dane punkty. Edukacyjne: - zapoznanie z definicją płaszczyzny przekroju i przekroju czworościanu przez płaszczyznę; - sformułować algorytm konstruowania punktu przecięcia prostej i płaszczyzny; - sformułować algorytm konstruowania przekroju czworościanu przez płaszczyznę. Rozwojowe: - kontynuacja kształtowania wyobraźni przestrzennej i mowy matematycznej; - rozwijać myślenie analityczne przy opracowywaniu algorytmu konstruowania punktu przecięcia prostej z płaszczyzną oraz przekroju wielościanów. Wychowawcy: - rozwijają umiejętność świadomego działania na rzecz celu; - kształtowanie kultury komunikacji.

Aksjomaty i twierdzenia stereometrii. 1. Jeśli dwie równoległe płaszczyzny przecinają się z trzecią, wówczas linie przecięcia są równoległe. 2. Płaszczyzna i tylko jedna przechodzi przez linię prostą i punkt na niej nie leżący. 3. Jeżeli dwie różne płaszczyzny mają wspólny punkt, to przecinają się po prostej przechodzącej przez ten punkt. 4. Jeżeli dwa punkty prostej leżą na płaszczyźnie, to wszystkie punkty prostej leżą na tej płaszczyźnie. 5. Samolot przechodzi przez dwie przecinające się linie i tylko jedną. A B C D E

Zadanie: Znajdź punkt przecięcia prostej AB z płaszczyzną M NK.

2. Zadanie: Zbuduj proste przechodzące przez punkty M, N, K.

Sekcja A B C D M N K

A B C D M N K α

A B C D M N K Ścieżka jest linią prostą przecięcia płaszczyzny przekroju i płaszczyzny dowolnej ściany wielościanu. MK – ślad płaszczyzny MNK na płaszczyźnie ABC MN - … NK - …

Jakie wielokąty można uzyskać w przekroju? Czworościan ma 4 ściany, z których mogą powstać: Czworokąty Trójkąty

Skonstruuj odcinek czworościanu z płaszczyzną przechodzącą przez punkty E, F, K. E F K L A B C D M 1. Wykonaj K F . 2. Wykonujemy FE. 3. Kontynuuj EF, kontynuuj AC. 5. Wykonujemy MK. 7. Wykonujemy EL EFKL – wymagany rozdział Zasada 6. MK AB=L 4. EF AC = M

W takim przypadku należy wziąć pod uwagę, co następuje: 1. Można połączyć tylko dwa punkty leżące na płaszczyźnie jednej ściany. Aby skonstruować przekrój, należy skonstruować punkty przecięcia płaszczyzny cięcia z krawędziami i połączyć je segmentami. 2. Jeżeli na płaszczyźnie czołowej zaznaczony jest tylko jeden punkt należący do płaszczyzny przekroju, wówczas należy skonstruować dodatkowy punkt. Aby to zrobić, konieczne jest znalezienie punktów przecięcia już skonstruowanych linii z innymi liniami leżącymi na tych samych ścianach.

Skonstruuj odcinek czworościanu z płaszczyzną przechodzącą przez punkty E, F, K. 1 sposób 2 sposób

Wniosek: niezależnie od metody budowy, przekroje są takie same. Metoda numer 1. Metoda numer 2.

Sprawdź, czy sekcja jest poprawnie skonstruowana. Wyjaśnij błąd.

A B C D N K M X P T Sprawdź się Rozwiązanie 1. KN = α ∩ ICE X = K N ∩ BC T = MX ∩ AB P = TX ∩ AC RT = α ∩ ABC, M є RT PN = α ∩ ADS TP N K - wymagany odcinek

Punkt M jest wewnętrznym punktem ściany BC D czworościanu DABC. Skonstruuj odcinek tego czworościanu z płaszczyzną przechodzącą przez punkt M, równoległą do płaszczyzny AB D. C D A B M K L N

Zadanie Skonstruuj odcinek czworościanu ABCD przechodzący przez punkt R, równolegle do ściany BCD. 2. Skonstruuj odcinek czworościanu ABCD przechodzący przez punkt S równoległy do ściany ABC. 3. Skonstruuj odcinek czworościanu ABCD przechodzący przez punkt T, równoległy do ściany ACD. 4. Skonstruuj odcinek czworościanu DABC z płaszczyzną przechodzącą przez punkt M, równoległą do ściany BC D.

A D B C  S 2 . A D B C  R 1 . A D B C T  3 . 4.

Praca domowa Studium akapit 14 2. Nr 73 (s. 29) 3. Zadanie twórcze (do wyboru): wykonaj papierowy model czworościanu.

Zapowiedź:

MBOU „Szkoła średnia Kimovskaya”

Okręg miejski Spasski

Republika Tatarstanu”

Temat lekcji:

„Budowa odcinków czworościanu”

10. klasa

Rozwinięty

Mamonova Evgenia Gennadievna,

Nauczyciel matematyki pierwszej kategorii kwalifikacyjnej

Październik 2013

Cele edukacyjne:

podczas lekcji upewnij się, że znasz algorytm rozwiązywania problemów związanych z konstruowaniem odcinków czworościanu.
zapewnić przyswojenie pojęć czworościanów, usystematyzować wiedzę związaną z aksjomatami stereometrii, definicjami, właściwościami, pojęciami położenie względne punkty, linie i płaszczyzny w przestrzeni.
rozwijać umiejętności przedstawiania przedmiotowych obiektów na płaszczyźnie i „czytania” proponowanych obrazów, umiejętności graficzne;
rozwinięcie umiejętności stosowania technik porównań, uogólnień i wnioskowania.

Zadania rozwojowe:

rozwijanie umiejętności zastosowania zdobytej wiedzy z zakresu stereometrii w praktyce,
rozwijanie umiejętności analizowania i uogólniania wiedzy w procesie rozwiązywania problemów związanych z konstruowaniem przekrojów czworościanu.
potrafić wykonywać różne obliczenia związane z wyznaczaniem pola przekroju poprzecznego.

Zadania edukacyjne:

kształtowanie świadomej potrzeby wiedzy,
doskonalenie umiejętności i zdolności edukacyjnych,
kultywowanie zainteresowania poznawczego tematem poprzez nabywanie wyobraźni przestrzennej i umiejętności dostrzegania piękna otaczającego świata.

Typ lekcji:

Lekcja uczenia się nowego materiału.

Typ lekcji:

Lekcja z wykorzystaniem technologii ICT.

Metody nauczania:

Rozmowa;

Badanie czołowe;

Ilustracyjne i wizualne;

Praktyczny;

Metoda porównania, uogólnianie.

Sprzęt dydaktyczno-metodyczny:

Geometria: podręcznik dla klas 10-11. / L.S. Atanazjan. – M.: Edukacja, 2010;

Materiały informacyjne: karty z zadaniami.

Materiał i wyposażenie techniczne:

Tablica interaktywna;

Laptopa;

Prezentacja wykonana w programie PowerPoint;

Rysunki wykonane w programie Paint;

Modele czworościanu, równoległościanu, prostopadłościanu, sześcianu.

Struktura lekcji:

Org. chwila (1 minuta).
Aktualizacja wcześniej zdobytej wiedzy (3 min).
Przygotowanie do percepcji nowego materiału (3 min).
Tworzenie sytuacji problemowej (3 min).
Wyjaśnienienowy materiał (10 min).
Konsolidacja badanego materiału (5 min).
Samodzielna praca, po której następuje testowanie (3 min).
Warsztaty (5 minut).
Rozwiązanie problemu (8 min)
To jest interesujące (1 minuta).
Inscenizacja praca domowa(1 minuta).
Podsumowanie lekcji, refleksja (2 min).

Postęp lekcji:

Gradacja lekcja	Działalność nauczyciela	Działalność studenci	Czas
1. Org. moment	Witam chłopaki. Usiąść. „Myślę, że nigdy wcześniej nie żyliśmy w tak geometrycznym okresie. Wszystko wokół jest geometrią”.(Slajd nr 2) Te słowa, wypowiedziane przez wielkiego francuskiego architekta Le Corbusiera na początku XX wieku, bardzo trafnie charakteryzują nasze czasy. Świat, w którym żyjemy, wypełniony jest geometrią domów i ulic, gór i pól, wytworów natury i człowieka. Ta nauka pomoże Ci lepiej się po niej poruszać, odkrywać nowe rzeczy oraz rozumieć piękno i mądrość otaczającego Cię świata. Dlatego sugeruję jeszcze większą pilność studiowania geometrii.	Pozdrowienia od nauczycieli. Siadają.	1 minuta
2.Aktualizacja zdobytej wcześniej wiedzy	Praca ustna. Pytania: Jaki wielościan spotkaliśmy na ostatniej lekcji? Zdefiniuj czworościan. (Slajd nr 3) Pokaż na modelu elementy czworościanu. Temat dzisiejszej lekcji brzmi: „Konstruowanie odcinków czworościanu”(Slajd nr 4). Zapisz temat w zeszytach. Musimy dowiedzieć się, która płaszczyzna nazywa się sieczną, sposoby i metody konstruowania przekrojów, nauczyć się konstruować przekroje czworościanu(Slajd nr 5). Podczas lekcji będziesz pracować z notatkami i konstruować w nich przekroje czworościanu.	Z czworościanem. Powierzchnię złożoną z czterech trójkątów nazywa się czworościanem. Trójkąty tworzące czworościan nazywane są ścianami, ich boki nazywane są krawędziami, a ich wierzchołki nazywane są wierzchołkami czworościanu. Czworościan ma 4 ściany, 6 krawędzi i 4 wierzchołki. Jedna ze ścian czworościanu nazywana jest podstawą, a pozostałe trzy nazywane są ścianami bocznymi. Dwie krawędzie czworościanu, które nie mają wspólnych wierzchołków, nazywane są przeciwległymi. Zapisz w zeszycie datę i temat lekcji.	3 minuty
3.Przygotowanie do percepcji nowego materiału	Aby to zrobić, musimy przypomnieć sobie kilka aksjomatów i twierdzeń. Zadanie: Powiąż rysunek ze sformułowaniem twierdzenia lub aksjomatu. ( Slajd 6)	Formułuj aksjomaty i twierdzenia i odnoś je do obrazków. Odpowiedź: D-1 V-2 B-3 A-4 G-5	3 minuty
4. Stworzenie sytuacji problematycznej.	1. Zadanie: (slajd 7) Znajdź punkt przecięcia prostej AB z płaszczyzną MNK. Pytania: Do której płaszczyzny należy linia AB? Zbuduj to. Do jakich płaszczyzn należy linia MN? Kontynuuj to. Otrzymałeś punkt przecięcia prostych AB i MN. Oznacz to. Do której płaszczyzny należy ten punkt? Wyciągnij wniosek. 2. Zadanie: (slajd 8) Konstruuj proste przechodzące przez punkty M, N, K. Jaki kształt uzyskuje się, gdy linie się przecinają? Jaką cechę ma ten trójkąt?	Zapisz zadanie w zeszycie: Odpowiedz na pytania: AB = MDN. MN = MDN ∩ MКN. P = MN ∩ AB P є MКN P = AB ∩ MNK. Buduj linie proste MK, KN, MN. Podaj uzasadnienie swojej odpowiedzi. Kiedy linie się przecinają, powstaje trójkąt MNK. Trójkąt dzieli czworościan na dwie części. Każdy bok trójkąta należy do ściany wielościanu.	3 minuty
5. Wyjaśnienie nowego materiału.	Skonstruowaliśmy więc przekrój czworościanu. Trójkąt utworzony z linii prostych MK, MN, KN nazywa się przekrojem ( Slajd 9 ), a płaszczyzna MKN jest sieczną płaszczyzną.(slajd 10) Jakie są cechy płaszczyzny cięcia? ( Slajd 9,10) Podstawowe pojęcia ( Slajd 11) Konstruując sekcję, zastosowaliśmy metodę śledzenia.(slajd 12) Teraz przypomnisz sobie, jak skonstruowaliśmy przekrój i sformułowaliśmy algorytm konstruowania przekrojów metodą śledzenia. Sprawdźmy algorytmy. Jakie wielokąty można otrzymać w przekroju czworościanu? ( Slajd 13) Rozwiązanie problemu. (slajd 14) Skonstruuj odcinek czworościanu z płaszczyzną przechodzącą przez bok podstawy czworościanu i zadany punkt na przeciwległej krawędzi. Budowa odcinka przechodzącego przez punkty E, F, K. ( Slajd 15, 16) Jak zlokalizowane są punkty E, F, K. Jakie proste można zbudować? Aby skonstruować przekrój, potrzebujemy dodatkowego punktu. E.F.∩AC =M. Prowadzimy MK. MK∩ AB = L. Wykonaj EL. EFKL jest wymaganą sekcją.	1. Jest to płaszczyzna, po obu stronach której znajdują się punkty danego wielościanu. 2. Płaszczyzna cięcia przecina ściany wielościanu wzdłuż odcinków. Przeczytaj definicję śladu. Zwroty są kontynuowane. Algorytm. 1. Znajdź dwa punkty przekroju na jednej ścianie. 2. Skonstruuj ślad przekroju na płaszczyźnie czworościanu. 3. Powtórz kroki 1-2 jeszcze 2 razy. 4. Zacień powstałą sekcję. Robienie notatek Trójkąty i czworokąty. E, F = ADC, F, K = BDC. Można konstruować linie proste KF, FE.	10 minut
6. Konsolidacja badanego materiału.	Budowa sekcji na tablicy interaktywnej. Dwa sposoby. (slajd 17) Wniosek: niezależnie od metody budowy, przekroje są takie same. ( Slajd 18) Jaki warunek powinniśmy uzupełnić w naszym algorytmie, aby skonstruować przekrój poprzeczny metodą śladu? Pomyśl i dodaj algorytm. Sprawdźmy. Ćwiczenia: Sprawdź, czy sekcja jest poprawnie skonstruowana. Wyjaśnij błąd.(slajd 19)	Sekcje czworościanu buduje się na dwa sposoby. Znajdź dodatkowy punkt przekroju na krawędzi czworościanu Narysuj linię prostą przez powstały dodatkowy punkt na ścieżce i punkt przekroju na wybranej ścianie Zaznacz punkty przecięcia linii z krawędziami twarzy. Błędy: 1. Płaszczyzna cięcia przecina ściany czworościanu wzdłuż odcinków (w ścianie AVK nie ma takiego odcinka, a w ścianie VKS są 2 takie segmenty) 2. Przekrój czworościanu nie może być pięciokątem.	5 minut
7. Samodzielna praca z późniejszą weryfikacją	(slajd 20)	Wykonać niezależna praca (-Jeśli pojawią się problemy, możesz skonsultować się ze swoim współpracownikiem)	3 minuty
8.Warsztat	Inną metodą stosowaną przy konstruowaniu odcinków jest metoda linii równoległych. Zadanie: (slajd 21) Punkt M jest punktem wewnętrznym ściany VSD czworościanu DAVS. Skonstruuj odcinek tego czworościanu z płaszczyzną przechodzącą przez punkt M, równoległą do płaszczyzny ABP. Zapamiętaj nazwę metody i zaproponuj sposób skonstruowania sekcji. Rozwiązanie. Ponieważ Jeżeli płaszczyzna cięcia jest równoległa do płaszczyzny AB, to jest ona równoległa do prostych AD, AB, DV. W konsekwencji płaszczyzna cięcia przecina boczne ściany czworościanu wzdłuż linii prostych równoległych do boków trójkąta ABD. Prowadzi to do następującej metody konstruowania pożądanej sekcji. Poprowadźmy prostą przez punkt M, równoległą do odcinka VD i oznaczmy literami L i N punkty przecięcia tej prostej z bocznymi krawędziami DV i DS. Następnie przez punkt L rysujemy prostą równoległą do odcinka AC i oznaczamy literą K punkt przecięcia tej prostej z krawędzią AC. Trójkąt LKN jest wymaganym przekrojem. Ćwiczenia . Zbuduj sekcję na tablicy interaktywnej Zadanie: (slajd 22) Konstruuj sekcje. Sprawdźmy odpowiedzi (slajd 23)		5 minut
9 Rozwiązanie problemu	Załącznik 1		8 minut
10.To interesujące	Sekcja w rysunku, podczas modelowania ubrań, w życiu. ( Slajdy 24-26)		1 minuta
11. Zadawanie zadań domowych	Przestudiuj akapit 14, nr 73 (s. 29)(slajd 27) Zadanie twórcze (opcjonalne): wykonaj papierowy model czworościanu.		1 minuta
12. Refleksja, podsumowanie lekcji	O jakim wielościanie rozmawialiśmy dzisiaj na zajęciach? Jakie problemy nauczyliśmy się dzisiaj rozwiązywać?(zadania dotyczące budowy sekcji) Jakie czynności powinien umieć wykonać uczeń, aby skonstruować przekroje wielościanów?(znajdź punkty przecięcia prostej i płaszczyzny; zbuduj linię przecięcia dwóch płaszczyzn) (slajd 29)		2 minuty

Na tej lekcji przyjrzymy się czworościanowi i jego elementom (krawędź czworościanu, powierzchnia, ściany, wierzchołki). Rozwiążemy kilka problemów związanych z konstruowaniem przekrojów czworościanu, stosując ogólną metodę konstruowania przekrojów.

Temat: Równoległość linii i płaszczyzn

Lekcja: czworościan. Zagadnienia konstruowania przekrojów czworościanu

Jak zbudować czworościan? Weźmy dowolny trójkąt ABC. Dowolny punkt D, nie leżącego w płaszczyźnie tego trójkąta. Otrzymujemy 4 trójkąty. Powierzchnia utworzona przez te 4 trójkąty nazywana jest czworościanem (ryc. 1.). Wewnętrzne punkty ograniczone tą powierzchnią są również częścią czworościanu.

Ryż. 1. Czworościan ABCD

Elementy czworościanu
A,B, C, D - wierzchołki czworościanu.
AB, AC, OGŁOSZENIE, przed Chrystusem, BD, płyta CD - krawędzie czworościanu.
ABC, ABD, BDC, ADC - twarze czworościanów.

Komentarz: można brać na płasko ABC Do podstawa czworościanu, a następnie wskaż D Jest wierzchołek czworościanu. Każda krawędź czworościanu jest przecięciem dwóch płaszczyzn. Na przykład żebro AB- to jest przecięcie płaszczyzn ABD I ABC. Każdy wierzchołek czworościanu jest przecięciem trzech płaszczyzn. Wierzchołek A leży w płaszczyznach ABC, ABD, ADZ. Kropka A jest przecięciem trzech wyznaczonych płaszczyzn. Fakt ten zapisano w następujący sposób: A= ABC ∩ ABD ∩ ACD.

Definicja czworościanu

Więc, tetraedr to powierzchnia utworzona przez cztery trójkąty.

Krawędź czworościanu- linia przecięcia dwóch płaszczyzn czworościanu.

Z 6 zapałek utwórz 4 równe trójkąty. Nie da się rozwiązać problemu w samolocie. A jest to łatwe do zrobienia w kosmosie. Weźmy czworościan. 6 zapałek to jego krawędzie, cztery ściany czworościanu i będą cztery równe trójkąty. Problem został rozwiązany.

Biorąc pod uwagę czworościan ABCD. Kropka M należy do krawędzi czworościanu AB, punkt N należy do krawędzi czworościanu WD i okres R należy do krawędzi DZ(ryc. 2.). Skonstruuj odcinek czworościanu z płaszczyzną MNP.

Ryż. 2. Rysunek do zadania 2 - Skonstruuj odcinek czworościanu z płaszczyzną

Rozwiązanie:
Rozważmy ścianę czworościanu DSłoneczny. Z tej strony N I P należą do twarzy DSłoneczny, a zatem czworościan. Ale zgodnie z warunkiem punktu N., P należą do płaszczyzny cięcia. Oznacza, NP- jest to linia przecięcia dwóch płaszczyzn: płaszczyzna twarzy DSłoneczny i płaszczyzna cięcia. Załóżmy, że linie proste NP I Słoneczny nie równolegle. Leżą w tej samej płaszczyźnie DSłoneczny. Znajdźmy punkt przecięcia linii NP I Słoneczny. Oznaczmy to mi(ryc. 3.).

Ryż. 3. Rysunek problemu 2. Znalezienie punktu E

Kropka mi należy do płaszczyzny przekroju MNP, ponieważ leży na prostej NP i linię prostą NP leży całkowicie w płaszczyźnie przekroju MNP.

Wskaż także mi leży w samolocie ABC, ponieważ leży na prostej Słoneczny z samolotu ABC.

Rozumiemy to EM- linia przecięcia płaszczyzn ABC I MNP, od punktów mi I M leżą jednocześnie w dwóch płaszczyznach - ABC I MNP. Połączmy kropki M I mi i jedź dalej prosto EM do przecięcia z linią AC. Punkt przecięcia linii EM I AC oznaczmy Q.

Więc w tym przypadku NPQМ- wymagana sekcja.

Ryż. 4. Rysunek problemu 2. Rozwiązanie problemu 2

Rozważmy teraz przypadek, kiedy NP równoległy przed Chrystusem. Jeśli prosto NP równolegle do jakiejś linii, na przykład linii prostej Słoneczny z samolotu ABC, potem prosto NP równolegle do całej płaszczyzny ABC.

Wymagana płaszczyzna przekroju przechodzi przez linię prostą NP, równolegle do płaszczyzny ABC, i przecina płaszczyznę po linii prostej MQ. Zatem linia przecięcia MQ równolegle do linii NP. Dostajemy NPQМ- wymagana sekcja.

Kropka M leży na bocznej krawędzi ADW tetraedr ABCD. Skonstruuj odcinek czworościanu z płaszczyzną przechodzącą przez ten punkt M równolegle do podstawy ABC.

Ryż. 5. Rysunek do zadania 3 Skonstruuj przekrój czworościanu z płaszczyzną

Rozwiązanie:
Płaszczyzna cięcia φ równolegle do płaszczyzny ABC zgodnie z warunkiem oznacza to, że ten samolot φ równolegle do linii AB, AC, Słoneczny.
W samolocie ABD przez punkt M zróbmy bezpośredni PQ równoległy AB(ryc. 5). Prosty PQ leży w samolocie ABD. Podobnie w samolocie ACD przez punkt R zróbmy bezpośredni PR równoległy AC. Mam rację R. Dwie przecinające się linie PQ I PR samolot PQR odpowiednio równoległe do dwóch przecinających się linii AB I AC samolot ABC, czyli samoloty ABC I PQR równoległy. PQR- wymagana sekcja. Problem został rozwiązany.

Biorąc pod uwagę czworościan ABCD. Kropka M- punkt wewnętrzny, punkt na ścianie czworościanu ABD. N - punkt wewnętrzny segment DZ(ryc. 6.). Skonstruuj punkt przecięcia linii N.M. i samoloty ABC.

Ryż. 6. Rysunek do zadania 4

Rozwiązanie:
Aby rozwiązać ten problem, zbudujemy płaszczyznę pomocniczą DMN. Niech będzie prosto DM przecina w punkcie prostą AB DO(ryc. 7.). Następnie, SKD- to jest fragment samolotu DMN i czworościan. W samolocie DMN kłamstwa i prosto N.M. i wynikową linię prostą SK. Więc jeśli N.M. nie równolegle SK, to w pewnym momencie się przetną R. Kropka R i pojawi się pożądany punkt przecięcia linii N.M. i samoloty ABC.

Ryż. 7. Rysunek problemu 4. Rozwiązanie problemu 4

Biorąc pod uwagę czworościan ABCD. M- wewnętrzny punkt twarzy ABD. R- wewnętrzny punkt twarzy ABC. N- punkt wewnętrzny krawędzi DZ(ryc. 8.). Skonstruuj odcinek czworościanu z płaszczyzną przechodzącą przez punkty M, N I R.

Ryż. 8. Rysunek do zadania 5 Skonstruuj przekrój czworościanu z płaszczyzną

Rozwiązanie:
Rozważmy pierwszy przypadek, gdy linia prosta MN nie jest równoległy do płaszczyzny ABC. W poprzednim zadaniu znaleźliśmy punkt przecięcia prostej MN i samoloty ABC. O to właśnie chodzi DO, uzyskuje się to za pomocą płaszczyzny pomocniczej DMN, tj. prowadzimy DM i mamy punkt F. Wykonujemy CF i na skrzyżowaniu MN zdobywamy punkt DO.

Ryż. 9. Rysunek problemu 5. Znalezienie punktu K

Zróbmy bezpośredni KR. Prosty KR leży zarówno w płaszczyźnie przekroju, jak i w płaszczyźnie ABC. Zdobycie punktów P 1 I R2. Złączony P 1 I M i jako kontynuacja rozumiemy sedno M 1. Łączenie kropki R2 I N. W rezultacie otrzymujemy pożądaną sekcję P 1 P 2 NM 1. W pierwszym przypadku problem został rozwiązany.
Rozważmy drugi przypadek, gdy linia prosta MN równolegle do płaszczyzny ABC. Samolot MNP przechodzi przez linię prostą MN równolegle do płaszczyzny ABC i przecina płaszczyznę ABC wzdłuż jakiejś linii prostej R 1 R 2, potem prosto R 1 R 2 równolegle do danej linii MN(ryc. 10.).

Ryż. 10. Rysunek do zadania 5. Wymagana sekcja

Teraz narysujmy linię prostą R1 M i mamy punkt M 1.P 1 P 2 NM 1- wymagana sekcja.

Przyjrzeliśmy się więc czworościanowi i rozwiązaliśmy kilka typowych problemów z czworościanem. W następnej lekcji przyjrzymy się równoległościanowi.

1. I. M. Smirnova, V. A. Smirnov. - wydanie V, poprawione i rozszerzone - M.: Mnemosyne, 2008. - 288 s. : chory. Geometria. Klasy 10-11: podręcznik dla uczniów szkół ogólnokształcących (poziom podstawowy i specjalizowany)

2. Sharygin I.F. - M.: Drop, 1999. - 208 s.: chory. Geometria. Klasy 10-11: Podręcznik dla placówek kształcenia ogólnego

3. E. V. Potoskuev, L. I. Zvalich. - Wydanie 6, stereotyp. - M.: Drop, 008. - 233 s. :il. Geometria. Klasa 10: Podręcznik dla placówek kształcenia ogólnego obejmujący pogłębioną i specjalistyczną naukę matematyki

Dodatkowe zasoby internetowe

2. Jak skonstruować przekrój czworościanu. Matematyka().

3. Festiwal idei pedagogicznych ().

Rozwiązuj w domu zadania na temat „Czworościan”, jak znaleźć krawędź czworościanu, ściany czworościanu, wierzchołki i powierzchnię czworościanu

1. Geometria. Klasy 10-11: podręcznik dla uczniów szkół ogólnokształcących (poziom podstawowy i specjalistyczny) I. M. Smirnova, V. A. Smirnov. - wydanie V, poprawione i rozszerzone - M.: Mnemosyne, 2008. - 288 s.: il. Zadania 18, 19, 20 s. 50

2. Punkt miżyłka MAMA tetraedr MAVS. Skonstruuj odcinek czworościanu z płaszczyzną przechodzącą przez punkty B, C I mi.

3. W czworościanie MABC punkt M należy do ściany AMV, punkt P należy do ściany BMC, punkt K należy do krawędzi AC. Skonstruuj odcinek czworościanu z płaszczyzną przechodzącą przez punkty M, R, K.

4. Jakie kształty można uzyskać w wyniku przecięcia czworościanu z płaszczyzną?

Slajd 2

Informacje dla nauczycieli. Celem stworzenia tej prezentacji jest jasne zademonstrowanie algorytmów konstruowania punktu przecięcia prostej i płaszczyzny, linii przecięcia płaszczyzn i odcinków czworościanu. Nauczyciel może wykorzystać prezentację podczas prowadzenia lekcji na ten temat lub polecić ją samokształcenie dla uczniów, którzy z jakiegoś powodu opuścili naukę, lub dla nich, aby powtórzyli pewne pytania. Studenci dołączają do zapoznania się z prezentacją, wypełniając krótkie podsumowanie.

Slajd 3

Informacja dla studenta. Celem stworzenia tej prezentacji jest jasne zademonstrowanie algorytmów rozwiązywania problemów związanych z budową w przestrzeni. Staraj się uważnie i powoli przestudiować komentarze do objaśnień i porównać je z rysunkiem. Wpisać krótkie podsumowanie wszystkie pominięcia. Rozwiązując problemy samodzielnie, należy najpierw samodzielnie przemyśleć rozwiązanie, a następnie przyjrzeć się temu zaproponowanemu przez autora. Zapisz pytania do nauczyciela i zadaj je na lekcji.

Slajd 4

I. Prosta a przecina płaszczyznę α. Zbuduj punkt przecięcia.

α β P m a Odpowiedź: I. Aby skonstruować punkt przecięcia prostej a z płaszczyzną α należy: 1) narysować (znaleźć) płaszczyznę β przechodzącą przez linię a i płaszczyznę przecinającą α wzdłuż prostej m 2) skonstruować punkt P przecięcia prostych a i m. Przez prostą a rysujemy płaszczyznę β przecinającą płaszczyznę α wzdłuż prostej t. Przecinamy prostą a z linią przecięcia płaszczyzn α i β: linia prosta t Punkt P jest punktem wspólnym prostej a i płaszczyzna α, ponieważ prosta m leży w płaszczyźnie α. Zapisz algorytm w krótkim podsumowaniu.

Slajd 5

1) Skonstruuj punkt przecięcia prostej MN i płaszczyzny BDC.

D B A C M N P (M, N) (ABC) Odpowiedź: Płaszczyzna ABC przechodzi przez prostą MN i przecina płaszczyznę BDC wzdłuż prostej BC. Prosta MN przecina prostą BC w punkcie P. Prosta BC leży w płaszczyźnie BDC, co oznacza, że prosta MN przecina płaszczyznę BDC w punkcie P.

Slajd 6

2) Skonstruuj punkt przecięcia prostej MN i płaszczyzny ABD.

D B A C M N P Odpowiedź: Zobacz rozwiązanie Prosta MN należy do płaszczyzny ВDC, która przecina płaszczyznę АВD wzdłuż prostej DB. Przetnijmy proste MN i DB. Następny

Slajd 7

II. Niech prosta AB nie będzie równoległa do płaszczyzny α. Skonstruuj linię przecięcia płaszczyzn α i ABC, jeśli punkt C należy do płaszczyzny α

B C A α β P m Skonstruujmy punkt przecięcia prostej AB z płaszczyzną α. Ze względu na stan i konstrukcję punkty C i P są wspólne płaszczyznom ABC i α. Ze względu na stan i konstrukcję punkty C i P są wspólne płaszczyznom ABC i α. Oznacza to, że prosta CP jest pożądaną prostą przecięcia płaszczyzn ABC i α. II. Aby skonstruować linię przecięcia płaszczyzny α i płaszczyzny ABC (C α, (A, B) α, AB || α), należy: skonstruować punkt przecięcia prostej AB i płaszczyzny α - punkt P; 2) punkty P i C są punktami wspólnymi płaszczyzn (ABC) oraz α, co oznacza (ABC) α = CP Zapisz algorytm w krótkim podsumowaniu.

Slajd 8

3).Skonstruuj prostą przecięcia płaszczyzn MNP i ADB.

Skonstruuj przecięcie płaszczyzny MNP i ściany ADB. M D B A C N P X Q R Odpowiedź: Skonstruujmy punkt przecięcia prostej MR z płaszczyzną ADB (punkt X). Prosta MR leży w płaszczyźnie ADC, która przecina płaszczyznę ADB wzdłuż prostej AD. Prosta MR leży w płaszczyźnie ADC, która przecina płaszczyznę ADB wzdłuż prostej AD. Punkty X i N są punktami wspólnymi płaszczyzn ADB i MNP. Oznacza to, że przecinają się one wzdłuż linii prostej XN. Zapisuj postęp budowy w krótkim podsumowaniu.

Slajd 9

Przekrój czworościanu.

C D B A M N P α Wielokąt złożony z odcinków, wzdłuż których płaszczyzna przecięcia przecina ściany wielościanu, nazywany jest przekrojem wielościanu. Segmenty tworzące przekrój nazywane są śladami płaszczyzny cięcia na ścianach. ∆ MNP – przekrój. Niech płaszczyzna przecina czworościan, wtedy nazywa się to płaszczyzną cięcia. Płaszczyzna przecina krawędzie czworościanu punkty M, N, P

, a ściany - wzdłuż odcinków MN, MP, NP... Trójkąt MNP nazywa się przekrojem czworościanu przez tę płaszczyznę... Zapisz to w krótkiej notatce.

Slajd 10

Przekrój czworościanu może być również czworokątem.

A C D B M N P Q α MNPQ – przekrój.

Slajd 11

Sekcja MNPQ jest wymagana. D B A C M N P Q X Utwórz ślady płaszczyzny cięcia na tych ścianach, które mają z nią 2 punkty wspólne. 3) Przez zbudowane punkty poprowadź linię prostą, wzdłuż której płaszczyzna cięcia przecina płaszczyznę wybranej ściany ABC. 4) Zaznacz i zaznacz punkty, w których linia ta przecina krawędzie ściany ABC i uzupełnij pozostałe ślady. 2) Wybierz twarz, która nie ma jeszcze śladu.

Skonstruuj punkty przecięcia prostych zawierających już skonstruowane ścieżki z płaszczyzną wybranej ściany: ABC.

Slajd 12

Skonstruuj przekrój metodą płaszczyzny czworościennej MNP.2.

D B A C M N P Q X MNPQ – wymagana sekcja.

Slajd 13

nr 1. (Sam rozwiąż problem). Skonstruuj przekrój czworościanu, korzystając z płaszczyzny MNP.

Q D A C M N P X B X Zobacz rozwiązanie Druga metoda: Dalej

Slajd 14

Nr 2. (Zdecyduj sam). Skonstruuj przekrój czworościanu, korzystając z płaszczyzny MNP, jeśli P należy do ściany ADC.

Slajd 15

Nr 3. Skonstruuj przekrój, korzystając z płaszczyzny czworościennej α, równoległej do krawędzi CD i przechodzącej przez punkt F leżący na płaszczyźnie DBC i punkt M.

3)α (ADB)= MN, α (ABC)=QP. Q D B A M N P F C Dane: α||DC, (M;F) α, F (BDC), M AD. Skonstruuj przekrój czworościanu DABC. α||DC, wówczas (DBC) α=FP i FP||DC, FP BC=P, FP BD=N. 2) Ponieważ α||DC, to (DAC) α=MQ i MQ||DC, MQ AC=Q. DC || NP i NP α, oznaczają DC||α, zatem MNPQ jest pożądaną sekcją. Kontynuuj zdanie: Jeżeli dana prosta a jest równoległa do pewnej płaszczyzny α, to każda płaszczyzna przechodząca przez tę prostą a i nierównoległa do płaszczyzny α przecina płaszczyznę α wzdłuż prostej b………………… ……………… równolegle do prostej A. Kontynuuj... α||DC, wówczas płaszczyzna BDC przecina α wzdłuż prostej równoległej do DC i przechodzącej przez punkt F α||DC, wówczas płaszczyzna ADC przecina α wzdłuż prostej równoległej do DC i przechodzącej przez punkt m

Slajd 16

2)α||DВC, (ADC) (DBC)=CD, (ADC)α=MN MP||CD. P#4. Skonstruuj przekrój płaszczyzny czworościennej α równoległej do ściany BDC i przechodzącej przez punkt M. B A C M N D Dane: α||DBC, M α, M AD. Skonstruuj przekrój czworościanu DABC przez płaszczyznę α α||DВC, (ADB) (DBC)=BD, MN||BD. (ADB)α=MN 3)α (ABC)=NP. ∆ MNP jest sekcją wymaganą, ponieważ………. Kontynuuj zdanie: Jeżeli dwie równoległe płaszczyzny przecina trzecia płaszczyzna, to linie ich przecięcia……………………… są równoległe. dwie przecinające się linie MN i MP płaszczyzny α są odpowiednio równoległe do dwóch przecinających się linii DB i DC płaszczyzny (DBC), co oznacza α||(DBC). α||DВC, wówczas płaszczyzny AВ i ADC przecinają płaszczyzny α i (ВДС) wzdłuż prostych MN i МР, równoległych odpowiednio do DB i DC i przechodzących przez punkt M.

Dalej M R B A C N Nr 5. Rozwiąż samodzielnie i zapisz rozwiązanie. Skonstruuj przekrój czworościanu przez płaszczyznę α przechodzącą przez punkt M i odcinek PN, jeżeli PN||AB i M należą do płaszczyzny (ABC). P Q D 1)NP||AB NP||(ABC) NP α, α (ABC)=MQ MQ||NP. 2)MQ AC=R. α (ADC)=NR, α (BDC)=PQ.

Przekrój wymagany przez RNPQ. Zobacz rozwiązanie NP||(ABC), co oznacza, że płaszczyzna MNP przecina płaszczyznę ABC po prostej MQ równoległej do NP i przechodzącej przez punkt M.

Slajd 18

Nie zapomnij sformułować pytań do nauczyciela, jeśli coś nie było jasne, a także zaleceń dotyczących ulepszenia tej prezentacji.

Slajd 19

Przy tworzeniu prezentacji wykorzystano podręczniki i podręczniki: 1. L.S. Atanasyan, V.F. Butuzow i inni. Geometria 10-11. M. „Oświecenie” 2008. 2.B.G. Ziv, V.M. Mailer, A.G. Bakhansky Problemy z geometrii 7-11.M. „Oświecenie” 2000

Temat: Równoległość linii i płaszczyzn

Lekcja: czworościan. Zagadnienia konstruowania przekrojów czworościanu

Ryż. 1. Czworościan ABCD

Definicja czworościanu

Więc, tetraedr to powierzchnia utworzona przez cztery trójkąty.

Krawędź czworościanu- linia przecięcia dwóch płaszczyzn czworościanu.

Ryż. 2. Rysunek do zadania 2 - Skonstruuj odcinek czworościanu z płaszczyzną

Ryż. 3. Rysunek problemu 2. Znalezienie punktu E

Kropka mi należy do płaszczyzny przekroju MNP, ponieważ leży na prostej NP i linię prostą NP leży całkowicie w płaszczyźnie przekroju MNP.

Wskaż także mi leży w samolocie ABC, ponieważ leży na prostej Słoneczny z samolotu ABC.

Więc w tym przypadku NPQМ- wymagana sekcja.

Ryż. 4. Rysunek problemu 2. Rozwiązanie problemu 2

Kropka M leży na bocznej krawędzi ADW tetraedr ABCD. Skonstruuj odcinek czworościanu z płaszczyzną przechodzącą przez ten punkt M równolegle do podstawy ABC.

Ryż. 5. Rysunek do zadania 3 Skonstruuj przekrój czworościanu z płaszczyzną

Biorąc pod uwagę czworościan ABCD. Kropka M- punkt wewnętrzny, punkt na ścianie czworościanu ABD. N Wyświetl wszystkie slajdy DZ(ryc. 6.). Skonstruuj punkt przecięcia linii N.M. i samoloty ABC.

Ryż. 6. Rysunek do zadania 4

Ryż. 7. Rysunek problemu 4. Rozwiązanie problemu 4

Ryż. 8. Rysunek do zadania 5 Skonstruuj przekrój czworościanu z płaszczyzną

Ryż. 9. Rysunek problemu 5. Znalezienie punktu K

Ryż. 10. Rysunek do zadania 5. Wymagana sekcja

Teraz narysujmy linię prostą R1 M i mamy punkt M 1.P 1 P 2 NM 1- wymagana sekcja.

Przyjrzeliśmy się więc czworościanowi i rozwiązaliśmy kilka typowych problemów z czworościanem. W następnej lekcji przyjrzymy się równoległościanowi.

2. Sharygin I.F. - M.: Drop, 1999. - 208 s.: chory. Geometria. Klasy 10-11: Podręcznik dla placówek kształcenia ogólnego

Dodatkowe zasoby internetowe

2. Jak skonstruować przekrój czworościanu. Matematyka().

3. Festiwal idei pedagogicznych ().

Rozwiązuj w domu zadania na temat „Czworościan”, jak znaleźć krawędź czworościanu, ściany czworościanu, wierzchołki i powierzchnię czworościanu

2. Punkt miżyłka MAMA tetraedr MAVS. Skonstruuj odcinek czworościanu z płaszczyzną przechodzącą przez punkty B, C I mi.

4. Jakie kształty można uzyskać w wyniku przecięcia czworościanu z płaszczyzną?

- punkt wewnętrzny odcinka Budowa odcinków czworościanu i równoległościanu. Treść: 1. Cele i zadania. 2. Wprowadzenie. 3. Pojęcie płaszczyzny cięcia. 4. Definicja przekroju. 5. Zasady budowy przekrojów. 6. Rodzaje przekrojów czworościanu. 7. Rodzaje przekrojów równoległościanu. 8. Zagadnienie konstrukcji przekroju czworościanu wraz z wyjaśnieniem. 9. Zagadnienie konstrukcji przekroju czworościanu wraz z wyjaśnieniem. 10. Zadanie skonstruowania przekroju czworościanu za pomocą pytań pomocniczych. 11. Druga możliwość rozwiązania poprzedniego problemu. 12. Problem budowy odcinka równoległościanu. 13. Problem budowy odcinka równoległościanu. 14. Życzenia dla uczniów. Cel pracy: Kształtowanie koncepcji przestrzennych u studentów. Cele: Zapoznanie z zasadami konstruowania przekrojów. Rozwijanie umiejętności konstruowania przekrojów czworościanu i równoległościanu z wykorzystaniem określenie płaszczyzny cięcia. Rozwijanie umiejętności stosowania zasad konstruowania przekrojów przy rozwiązywaniu problemów na tematy „Wielościany”. Aby rozwiązać wiele problemów geometrycznych, konieczne jest konstruowanie ich przekrojów w różnych płaszczyznach. Płaszczyzną przecięcia równoległościanu (czworościanu) jest dowolna płaszczyzna, po obu stronach której znajdują się punkty danego równoległościanu (czworościanu). L Płaszczyzna cięcia przecina ściany czworościanu (równoległościanu) wzdłuż odcinków. L Wielokąt, którego boki są tymi segmentami, nazywany jest odcinkiem czworościanu (równoległościanu). Aby skonstruować przekrój, należy skonstruować punkty przecięcia płaszczyzny cięcia z krawędziami i połączyć je segmentami. W takim przypadku należy wziąć pod uwagę, co następuje: 1. Można połączyć tylko dwa punkty leżące na płaszczyźnie jednej ściany. 2. Płaszczyzna cięcia przecina równoległe ściany wzdłuż równoległych segmentów. 3. Jeżeli na płaszczyźnie czołowej zaznaczony jest tylko jeden punkt należący do płaszczyzny przekroju, należy skonstruować dodatkowy punkt. Aby to zrobić, konieczne jest znalezienie punktów przecięcia już skonstruowanych linii z innymi liniami leżącymi na tych samych ścianach. Jakie wielokąty można uzyskać w przekroju? Czworościan ma 4 ściany. W przekrojach możesz otrzymać: Trójkąty Czworokąty Równoległościan ma 6 ścian Trójkąty Pięciokąty Z jego przekrojów możesz otrzymać: Czworokąty Sześciokąty Skonstruuj przekrój czworościanu DABC z płaszczyzną przechodzącą przez punkty M,N,K D M AA 1. Narysuj linię prostą przez punkty M i K, ponieważ leżą na tej samej twarzy (ADC). N K BB C C 2. Narysujmy linię prostą przechodzącą przez punkty K i N, ponieważ leżą na tej samej twarzy (CDB). 3. Kierując się podobnym rozumowaniem, rysujemy linię prostą MN. 4. MNK – sekcja wymagana. Skonstruuj odcinek czworościanu z płaszczyzną przechodzącą przez punkty E, F, K. 1. Narysuj KF. 2. Wykonujemy FE. 3. Kontynuuj EF, kontynuuj AC. D F 4. EF AC =M 5. Wykonaj MK. E M C 6. MK AB=L A L K Reguły B 7. Narysuj EL EFKL – wymagany przekrój Skonstruuj przekrój czworościanu z płaszczyzną przechodzącą przez punkty E, F, K. Którą linią prostą znajduje się punkt W którym można połączyć wynikowy Które granice można rozszerzyć jednocześnie, aby uzyskać punkty leżące w tym samym połączeniu? połączyć powstały dodatkowy punkt? twarze, nazwij sekcję. dodatkowy punkt? D i E AC ELFK FSEK i punkt K oraz FK F L C M A E K B Zasady Metoda druga Skonstruuj przekrój czworościanu z płaszczyzną przechodzącą przez punkty E, F, K. D F L C A E K B Zasady Pierwsza metoda O Metoda nr 1. Metoda numer 2. Wniosek: niezależnie od metody budowy, przekroje są takie same. Zbuduj odcinki równoległościanu za pomocą płaszczyzny przechodzącej przez punkty B1, M, N Reguły B1 D1 C1 A1 P K B D A E N C O M 1. MN 3.MN ∩ BA=O 2. Kontynuuj 4. B1O MN,BA 5. B1O ∩ A1A=K 6. KM 7. Kontynuuj MN i BD. 8. MN ∩ BD=E 9. B1E 10. B1E ∩ D1D=P, PN Równoległościan i czworościan, sekcje Dyktowanie na temat „Czworościan, równoległościan” Opcja I Opcja II 1. Jaką powierzchnię nazywamy czworościanem? równoległościan? 2. Jakie są ściany, krawędzie i wierzchołki równoległościanu? tetraedr? 3. Podaj własność równoległościanu dotyczącą przekątnych. o krawędziach. Dyktando na temat „Czworościan, równoległościan” Opcja I 4. Które krawędzie czworościanu nazywane są przeciwległymi? Opcja II 4. Które ściany równoległościanu nazywamy sąsiadującymi? 5. Narysuj obraz równoległościanu. tetraedr. Wymień wszystkie elementy i podaj ich ilość. Skonstruuj odcinek równoległościanu z płaszczyzną przechodzącą przez punkty M, A, D. В1 D1 E A1 С1 В А М D С 1. AD 2. MD 3. ME AD, ponieważ (ABC) (A1B1C1) 4. AE AEMD – sekcja. Konstruowanie odcinków czworościanu Rozwiążmy problem D M B A C Rozwiążmy problem K M L A N Rozwiążmy problem D AC BD B A M C Rozwiążmy problem D M K ABC B A K N Jaka inna opcja jest możliwa? C Rozwiąż zadanie D M B A K N C Rozwiąż zadanie D M ABC K N ACD B N A M C Rozwiąż zadanie D M ABC K N ACD N B A M C Zadanie domowe powtórz kroki 1 – 14, przygotuj się do testu nr 74, 75(b), 107, 79 Konstrukcja odcinków równoległościanu Rozwiąż problem B1 C1 М АА1В1В A1 D1 M (BDD1) B A C D Rozwiąż problem C1 B1 A1 D1 B A C D Rozwiąż problem B1 A1 C1 D1 B A C D Rozwiąż problem B1 A1 C1 D1 M B N A C K D Rozwiąż problem B1 A1 C1 D1 M B N A C K D Rozwiąż problem B1 A1 C1 D1 M B N A C K D Rozwiąż zadanie B1 C1 A1 D1 M B N A C K D 1. Wszystkie wierzchołki przekroju leżą na krawędziach wielościanu. 2. Wszystkie boki przekroju leżą na ścianach wielościanu. 3. Każda ściana zawiera nie więcej niż jedną stronę przekroju. 10 10 10 10 WIELE NAUCZYŁEŚ SIĘ I DUŻO WIDZIAŁEŚ! Zatem do dzieła, bądźcie dobrzy i twórzcie! DZIĘKUJĘ ZA UWAGĘ.