Zapoznaj się z przykładowymi rozwiązaniami funkcjonalnymi. Badanie funkcji metodami rachunku różniczkowego

Jeden z najważniejsze zadania rachunek różniczkowy jest rozwojem typowe przykłady badania zachowania funkcji.

Jeżeli funkcja y=f(x) jest ciągła na przedziale , a jej pochodna jest dodatnia lub równa 0 na przedziale (a,b), to y=f(x) zwiększa się o (f"(x)0) Jeżeli funkcja y=f (x) jest ciągła na odcinku i jej pochodna jest ujemna lub równa 0 na przedziale (a,b), to y=f(x) zmniejsza się o (f"(x)0 )

Przedziały, w których funkcja nie maleje ani nie rośnie, nazywane są przedziałami monotoniczności funkcji. Charakter monotoniczności funkcji może się zmieniać tylko w tych punktach jej dziedziny definicji, w których zmienia się znak pierwszej pochodnej. Punkty, w których pierwsza pochodna funkcji zanika lub ma nieciągłość, nazywamy krytycznymi.

Twierdzenie 1 (pierwszy warunek wystarczający istnienia ekstremum).

Niech będzie zdefiniowana funkcja y=f(x) w punkcie x 0 i niech będzie otoczenie δ>0 takie, że funkcja będzie ciągła na przedziale i różniczkowalna na przedziale (x 0 -δ,x 0)u( x 0 , x 0 + δ) , a jego pochodna zachowuje stały znak na każdym z tych przedziałów. Wtedy jeśli na x 0 -δ,x 0) i (x 0 , x 0 +δ) znaki pochodnej są różne, to x 0 jest punktem ekstremalnym, a jeśli się pokrywają, to x 0 nie jest punktem ekstremalnym . Ponadto, jeżeli przy przejściu przez punkt x0 pochodna zmienia znak z plusa na minus (na lewo od x 0 f"(x)>0 jest spełnione, to x 0 jest punktem maksymalnym; jeżeli pochodna zmienia znak z minus do plus (na prawo od x 0 wykonane f"(x)<0, то х 0 - точка минимума.

Punkty maksymalne i minimalne nazywane są ekstremami funkcji, a punkty maksymalne i minimalne funkcji są jej wartościami ekstremalnymi.

Twierdzenie 2 (znak konieczny ekstremum lokalnego).

Jeśli funkcja y=f(x) ma ekstremum w bieżącym x=x 0, to albo f’(x 0)=0, albo f’(x 0) nie istnieje.
W ekstremalnych punktach funkcji różniczkowalnej styczna do jej wykresu jest równoległa do osi Wółu.

Algorytm badania funkcji ekstremum:

1) Znajdź pochodną funkcji.
2) Znajdź punkty krytyczne, tj. punkty, w których funkcja jest ciągła, a pochodna wynosi zero lub nie istnieje.
3) Rozważ sąsiedztwo każdego punktu i sprawdź znak pochodnej po lewej i prawej stronie tego punktu.
4) Określ współrzędne punktów skrajnych; w tym celu podstaw wartości punktów krytycznych do tej funkcji. Korzystając z warunków wystarczających dla ekstremum, wyciągnij odpowiednie wnioski.

Przykład 18. Sprawdź funkcję y=x 3 -9x 2 +24x dla ekstremum

Rozwiązanie.
1) y"=3x 2 -18x+24=3(x-2)(x-4).
2) Przyrównując pochodną do zera, znajdujemy x 1 =2, x 2 =4. W tym przypadku pochodna jest zdefiniowana wszędzie; Oznacza to, że poza dwoma znalezionymi punktami nie ma innych punktów krytycznych.
3) Znak pochodnej y"=3(x-2)(x-4) zmienia się w zależności od przedziału jak pokazano na rysunku 1. Po przejściu przez punkt x=2 pochodna zmienia znak z plusa na minus, a przy przejściu przez punkt x=4 - od minus do plusa.
4) W punkcie x=2 funkcja ma maksimum y max =20, a w punkcie x=4 minimum y min =16.

Twierdzenie 3. (Drugi warunek wystarczający istnienia ekstremum).

Niech f”(x 0) i w punkcie x 0 istnieje f””(x 0). Wtedy jeśli f””(x 0)>0, to x 0 jest punktem minimalnym, a jeśli f””(x 0)<0, то х 0 – точка максимума функции y=f(x).

Na odcinku funkcja y=f(x) może osiągnąć najmniejszą (y najmniej) lub największą (y największa) wartość albo w punktach krytycznych funkcji leżącej w przedziale (a;b), albo w końce segmentu.

Algorytm znajdowania największych i najmniejszych wartości funkcji ciągłej y=f(x) na odcinku:

1) Znajdź f”(x).
2) Znajdź punkty, w których f"(x)=0 lub f"(x) nie istnieje i wybierz spośród nich te, które leżą wewnątrz odcinka.
3) Oblicz wartość funkcji y=f(x) w punktach uzyskanych w kroku 2), a także na końcach odcinka i wybierz z nich największy i najmniejszy: są one odpowiednio największe (y największa) i najmniejsza (y najmniejsza) wartość funkcji na przedziale.

Przykład 19. Znajdź największą wartość funkcji ciągłej y=x 3 -3x 2 -45+225 na odcinku.

1) Mamy y"=3x 2 -6x-45 w segmencie
2) Pochodna y” istnieje dla każdego x. Znajdźmy punkty, w których y”=0; otrzymujemy:
3x2 -6x-45=0
x 2 -2x-15=0
x 1 = -3; x2 =5
3) Oblicz wartość funkcji w punktach x=0 y=225, x=5 y=50, x=6 y=63
Odcinek zawiera tylko punkt x=5. Największa ze znalezionych wartości funkcji to 225, a najmniejsza to liczba 50. Zatem y max = 225, y min = 50.

Badanie funkcji na wypukłości

Rysunek przedstawia wykresy dwóch funkcji. Pierwsza z nich jest wypukła w górę, druga wypukła w dół.

Funkcja y=f(x) jest ciągła na odcinku i różniczkowalna w przedziale (a;b), nazywana jest na tym odcinku wypukłą w górę (w dół), jeśli dla axb jej wykres leży nie wyżej (nie niżej) od styczna poprowadzona w dowolnym punkcie M 0 (x 0 ;f(x 0)), gdzie axb.

Twierdzenie 4. Niech funkcja y=f(x) ma drugą pochodną w dowolnym punkcie wewnętrznym x odcinka i jest ciągła na końcach tego odcinka. Jeżeli wówczas zachodzi nierówność f""(x)0 na przedziale (a;b), to funkcja jest wypukła w dół na tym przedziale ; jeśli nierówność f""(x)0 zachodzi na przedziale (a;b), to funkcja jest wypukła w górę na .

Twierdzenie 5. Jeżeli funkcja y=f(x) ma drugą pochodną na przedziale (a;b) i zmienia znak przy przejściu przez punkt x 0, to M(x 0 ;f(x 0)) wynosi punkt przegięcia.

Reguła znajdowania punktów przegięcia:

1) Znajdź punkty, w których f""(x) nie istnieje lub znika.
2) Sprawdź znak f""(x) po lewej i prawej stronie każdego punktu znalezionego w pierwszym kroku.
3) Na podstawie Twierdzenia 4 wyciągnij wniosek.

Przykład 20. Znajdź ekstrema i punkty przegięcia wykresu funkcji y=3x 4 -8x 3 +6x 2 +12.

Mamy f"(x)=12x 3 -24x 2 +12x=12x(x-1) 2. Oczywiście f"(x)=0 gdy x 1 =0, x 2 =1. Po przejściu przez punkt x=0 pochodna zmienia znak z minus na plus, natomiast przy przejściu przez punkt x=1 nie zmienia znaku. Oznacza to, że x=0 jest punktem minimalnym (ymin=12), a w punkcie x=1 nie ma ekstremum. Dalej znajdujemy . Druga pochodna znika w punktach x 1 =1, x 2 =1/3. Znaki drugiej pochodnej zmieniają się następująco: Na półprostej (-∞;) mamy f""(x)>0, na przedziale (;1) f""(x)<0, на луче (1;+∞) имеем f""(x)>0. Zatem x= jest punktem przegięcia wykresu funkcji (przejście od wypukłości w dół do wypukłości w górę) i x=1 jest także punktem przegięcia (przejście od wypukłości w górę do wypukłości w dół). Jeśli x=, to y=; jeśli, to x=1, y=13.

Algorytm znajdowania asymptoty grafu

I. Jeśli y=f(x) jako x → a, to x=a jest asymptotą pionową.
II. Jeśli y=f(x) jako x → ∞ lub x → ​​-∞, to y=A jest asymptotą poziomą.
III. Aby znaleźć asymptotę ukośną, używamy następującego algorytmu:
1) Oblicz. Jeżeli granica istnieje i jest równa b, to y=b jest asymptotą poziomą; jeśli , przejdź do drugiego kroku.
2) Oblicz. Jeśli ta granica nie istnieje, to nie ma asymptoty; jeśli istnieje i jest równy k, to przejdź do trzeciego kroku.
3) Oblicz. Jeśli ta granica nie istnieje, to nie ma asymptoty; jeśli istnieje i jest równy b, przejdź do czwartego kroku.
4) Zapisz równanie asymptoty ukośnej y=kx+b.

Przykład 21: Znajdź asymptotę funkcji

1)
2)
3)
4) Równanie asymptoty ukośnej ma postać

Schemat badania funkcji i konstruowania jej wykresu

I. Znajdź dziedzinę definicji funkcji.
II. Znajdź punkty przecięcia wykresu funkcji z osiami współrzędnych.
III. Znajdź asymptoty.
IV. Znajdź możliwe ekstrema.
V. Znajdź punkty krytyczne.
VI. Korzystając z figury pomocniczej, zbadaj znak pierwszej i drugiej pochodnej. Wyznaczyć obszary wzrostu i spadku funkcji, znaleźć kierunek wypukłości wykresu, punkty ekstremów i punkty przegięcia.
VII. Zbuduj wykres, biorąc pod uwagę badania przeprowadzone w punktach 1-6.

Przykład 22: Skonstruuj wykres funkcji zgodnie z powyższym diagramem

Rozwiązanie.
I. Dziedziną funkcji jest zbiór wszystkich liczb rzeczywistych z wyjątkiem x=1.
II. Ponieważ równanie x 2 +1=0 nie ma pierwiastków rzeczywistych, wykres funkcji nie ma punktów przecięcia z osią Ox, lecz przecina oś Oy w punkcie (0;-1).
III. Wyjaśnijmy kwestię istnienia asymptot. Przeanalizujmy zachowanie funkcji w pobliżu punktu nieciągłości x=1. Ponieważ y → ∞ jako x → -∞, y → +∞ jako x → 1+, to prosta x=1 jest asymptotą pionową wykresu funkcji.
Jeśli x → +∞(x → -∞), to y → +∞(y → -∞); dlatego wykres nie ma asymptoty poziomej. Dalej, z istnienia granic

Rozwiązując równanie x 2 -2x-1=0 otrzymujemy dwa możliwe ekstrema:
x 1 =1-√2 i x 2 =1+√2

V. Aby znaleźć punkty krytyczne, obliczamy drugą pochodną:

Ponieważ f""(x) nie zanika, nie ma punktów krytycznych.
VI. Zbadajmy znak pierwszej i drugiej pochodnej. Możliwe ekstrema do rozważenia: x 1 =1-√2 i x 2 =1+√2, podziel dziedzinę istnienia funkcji na przedziały (-∞;1-√2),(1-√2;1 +√2) i (1+√2;+∞).

W każdym z tych przedziałów pochodna zachowuje swój znak: w pierwszym - plus, w drugim - minus, w trzecim - plus. Ciąg znaków pierwszej pochodnej zapiszemy następująco: +,-,+.
Zauważamy, że funkcja rośnie w (-∞;1-√2), maleje w (1-√2;1+√2) i ponownie rośnie w (1+√2;+∞). Punkty ekstremalne: maksimum przy x=1-√2 i f(1-√2)=2-2√2 minimum przy x=1+√2 i f(1+√2)=2+2√2. W (-∞;1) wykres jest wypukły w górę, a w (1;+∞) jest wypukły w dół.
VII Zróbmy tabelę uzyskanych wartości

VIII Na podstawie uzyskanych danych konstruujemy szkic wykresu funkcji

Dziś zapraszamy Cię do eksploracji i zbudowania z nami wykresu funkcji. Po dokładnym przestudiowaniu tego artykułu nie będziesz musiał długo się pocić, aby wykonać tego typu zadanie. Badanie i skonstruowanie wykresu funkcji nie jest łatwe; jest to obszerna praca wymagająca maksymalnej uwagi i dokładności obliczeń. Aby ułatwić zrozumienie materiału, przestudiujemy krok po kroku tę samą funkcję i wyjaśnimy wszystkie nasze działania i obliczenia. Witamy w niesamowitym i fascynującym świecie matematyki! chodźmy!

Dziedzina definicji

Aby zbadać i wykreślić funkcję, musisz znać kilka definicji. Funkcja jest jednym z głównych (podstawowych) pojęć w matematyce. Odzwierciedla zależność pomiędzy kilkoma zmiennymi (dwiema, trzema lub więcej) podczas zmian. Funkcja pokazuje także zależność zbiorów.

Wyobraź sobie, że mamy dwie zmienne, które mają określony zakres zmian. Zatem y jest funkcją x, pod warunkiem, że każda wartość drugiej zmiennej odpowiada jednej wartości drugiej. W tym przypadku zmienna y jest zależna i nazywa się ją funkcją. Zwyczajowo mówi się, że zmienne x i y są w. Dla większej przejrzystości tej zależności budowany jest wykres funkcji. Co to jest wykres funkcji? Jest to zbiór punktów na płaszczyźnie współrzędnych, gdzie każda wartość x odpowiada jednej wartości y. Wykresy mogą być różne - linia prosta, hiperbola, parabola, fala sinusoidalna i tak dalej.

Nie da się wykreślić funkcji bez badań. Dzisiaj dowiemy się jak przeprowadzić badania i zbudować wykres funkcji. Bardzo ważne jest robienie notatek podczas nauki. Dzięki temu znacznie łatwiej będzie sprostać temu zadaniu. Najwygodniejszy plan badawczy:

1. Zakres definicji.
2. Ciągłość.
3. Parzyste lub nieparzyste.
4. Okresowość.
5. Asymptoty.
6. Zera.
7. Znak stałości.
8. Rosnące i malejące.
9. Skrajności.
10. Wypukłość i wklęsłość.

Zacznijmy od pierwszego punktu. Znajdźmy dziedzinę definicji, czyli w jakich przedziałach istnieje nasza funkcja: y=1/3(x^3-14x^2+49x-36). W naszym przypadku funkcja istnieje dla dowolnych wartości x, czyli dziedzina definicji jest równa R. Można to zapisać następująco xÎR.

Ciągłość

Teraz zbadamy funkcję nieciągłości. W matematyce termin „ciągłość” pojawił się w wyniku badań praw ruchu. Co jest nieskończone? Przestrzeń, czas, niektóre zależności (przykładem jest zależność zmiennych S i t w zagadnieniach ruchowych), temperatura podgrzewanego obiektu (woda, patelnia, termometr itp.), linia ciągła (czyli taka, która można rysować bez odrywania go od arkusza ołówka).

Wykres uważa się za ciągły, jeśli w pewnym momencie nie ulega przerwaniu. Jednym z najbardziej oczywistych przykładów takiego wykresu jest sinusoida, którą widać na obrazku w tej sekcji. Funkcja jest ciągła w pewnym punkcie x0, jeśli spełnionych jest kilka warunków:

• funkcja jest zdefiniowana w danym punkcie;
• prawa i lewa granica w punkcie są równe;
• granica jest równa wartości funkcji w punkcie x0.

Jeśli przynajmniej jeden warunek nie jest spełniony, mówimy, że funkcja nie działa. A punkty, w których funkcja się załamuje, nazywane są zwykle punktami przerwania. Przykładem funkcji, która „załamie się” podczas wyświetlania graficznego, jest: y=(x+4)/(x-3). Co więcej, y nie istnieje w punkcie x = 3 (ponieważ nie da się podzielić przez zero).

W funkcji, którą badamy (y=1/3(x^3-14x^2+49x-36)) wszystko okazało się proste, ponieważ wykres będzie ciągły.

Nawet, dziwne

Teraz sprawdź funkcję pod kątem parzystości. Na początek trochę teorii. Funkcja parzysta to taka, która spełnia warunek f(-x)=f(x) dla dowolnej wartości zmiennej x (z zakresu wartości). Przykłady obejmują:

• moduł x (wykres wygląda jak świt, dwusieczna pierwszej i drugiej ćwiartki wykresu);
• x kwadrat (parabola);
• cosinus x (cosinus).

Należy zauważyć, że wszystkie te wykresy są symetryczne, patrząc na oś y (to znaczy oś y).

Co w takim razie nazywa się funkcją nieparzystą? Są to funkcje spełniające warunek: f(-x)=-f(x) dla dowolnej wartości zmiennej x. Przykłady:

• hiperbola;
• parabola sześcienna;
• sinusoida;
• styczna i tak dalej.

Należy pamiętać, że funkcje te są symetryczne względem punktu (0:0), czyli początku układu współrzędnych. Opierając się na tym, co powiedziano w tej części artykułu, funkcje parzyste i nieparzyste muszą mieć właściwość: x należy do zbioru definicji, a -x również.

Zbadajmy funkcję parzystości. Widzimy, że nie pasuje do żadnego z opisów. Zatem nasza funkcja nie jest ani parzysta, ani nieparzysta.

Asymptoty

Zacznijmy od definicji. Asymptota to krzywa znajdująca się jak najbliżej wykresu, to znaczy odległość od określonego punktu dąży do zera. W sumie istnieją trzy typy asymptot:

• pionowo, to znaczy równolegle do osi y;
• poziomo, czyli równolegle do osi x;
• skłonny.

Jeśli chodzi o pierwszy typ, tych linii należy szukać w niektórych punktach:

• luka;
• krańce dziedziny definicji.

W naszym przypadku funkcja jest ciągła, a dziedzina definicji równa się R. Zatem nie ma asymptot pionowych.

Wykres funkcji ma asymptotę poziomą, jeśli spełnia warunek: jeśli x dąży do nieskończoności lub minus nieskończoności, a granica jest równa pewnej liczbie (na przykład a). W tym przypadku y=a jest asymptotą poziomą. W funkcji, którą badamy, nie ma asymptot poziomych.

Asymptota ukośna istnieje tylko wtedy, gdy spełnione są dwa warunki:

• lim(f(x))/x=k;
• lim f(x)-kx=b.

Wtedy można to znaleźć korzystając ze wzoru: y=kx+b. Ponownie w naszym przypadku nie ma asymptot ukośnych.

Zera funkcji

Następnym krokiem jest sprawdzenie wykresu funkcji dla zer. Bardzo ważne jest również, aby pamiętać, że zadanie związane ze znalezieniem zer funkcji występuje nie tylko podczas badania i konstruowania wykresu funkcji, ale także jako samodzielne zadanie i jako sposób rozwiązywania nierówności. Może być konieczne znalezienie zer funkcji na wykresie lub użycie notacji matematycznej.

Znalezienie tych wartości pomoże Ci dokładniej wykreślić funkcję. W uproszczeniu zero funkcji to wartość zmiennej x, przy której y = 0. Jeśli szukasz zer funkcji na wykresie, to powinieneś zwrócić uwagę na punkty, w których wykres przecina się z osią x.

Aby znaleźć miejsca zerowe funkcji, należy rozwiązać następujące równanie: y=1/3(x^3-14x^2+49x-36)=0. Po przeprowadzeniu niezbędnych obliczeń otrzymujemy następującą odpowiedź:

Znak stałości

Kolejnym etapem badań i konstrukcji funkcji (wykresu) jest znalezienie przedziałów znaku stałego. Oznacza to, że musimy określić, w jakich przedziałach funkcja przyjmuje wartość dodatnią, a w jakich ujemną. Pomogą nam w tym funkcje zerowe znalezione w ostatniej sekcji. Musimy więc zbudować linię prostą (oddzielną od wykresu) i rozmieścić wzdłuż niej zera funkcji w odpowiedniej kolejności od najmniejszej do największej. Teraz musisz określić, który z powstałych przedziałów ma znak „+”, a który „-”.

W naszym przypadku funkcja przyjmuje wartość dodatnią na przedziałach:

• od 1 do 4;
• od 9 do nieskończoności.

Wartość ujemna:

• od minus nieskończoności do 1;
• od 4 do 9.

Jest to dość łatwe do ustalenia. Podstaw dowolną liczbę z przedziału do funkcji i zobacz, jaki znak będzie miała odpowiedź (minus lub plus).

Funkcja rosnąca i malejąca

Aby zbadać i skonstruować funkcję, musimy wiedzieć, gdzie wykres będzie rósł (w górę wzdłuż osi Oy), a gdzie spadnie (pełzanie w dół wzdłuż osi y).

Funkcja rośnie tylko wtedy, gdy większa wartość zmiennej x odpowiada większej wartości y. Oznacza to, że x2 jest większe niż x1, a f(x2) jest większe niż f(x1). A zupełnie odwrotne zjawisko obserwujemy z funkcją malejącą (im więcej x, tym mniej y). Aby określić przedziały wzrostu i spadku, musisz znaleźć następujące elementy:

• dziedzina definicji (już mamy);
• pochodna (w naszym przypadku: 1/3(3x^2-28x+49);
• rozwiąż równanie 1/3(3x^2-28x+49)=0.

Po obliczeniach otrzymujemy wynik:

Otrzymujemy: funkcja rośnie na przedziałach od minus nieskończoności do 7/3 i od 7 do nieskończoności, a maleje na przedziale od 7/3 do 7.

Skrajności

Badana funkcja y=1/3(x^3-14x^2+49x-36) jest ciągła i istnieje dla dowolnej wartości zmiennej x. Punkt ekstremalny pokazuje maksimum i minimum danej funkcji. W naszym przypadku ich nie ma, co znacznie ułatwia zadanie konstrukcyjne. W przeciwnym razie można je również znaleźć za pomocą funkcji pochodnej. Po znalezieniu nie zapomnij zaznaczyć ich na mapie.

Wypukłość i wklęsłość

Kontynuujemy dalsze badanie funkcji y(x). Teraz musimy sprawdzić go pod kątem wypukłości i wklęsłości. Definicje tych pojęć są dość trudne do zrozumienia; lepiej wszystko przeanalizować na przykładach. Do testu: funkcja jest wypukła, jeśli jest funkcją niemalejącą. Zgadzam się, to jest niezrozumiałe!

Musimy znaleźć pochodną funkcji drugiego rzędu. Otrzymujemy: y=1/3(6x-28). Przyrównajmy teraz prawą stronę do zera i rozwiążmy równanie. Odpowiedź: x=14/3. Znaleźliśmy punkt przegięcia, czyli miejsce, w którym wykres zmienia się z wypukłego na wklęsły lub odwrotnie. Na przedziale od minus nieskończoności do 14/3 funkcja jest wypukła, a od 14/3 do plus nieskończoności – wklęsła. Bardzo ważne jest również, aby pamiętać, że punkt przegięcia na wykresie powinien być gładki i miękki, nie powinien mieć ostrych narożników.

Definiowanie dodatkowych punktów

Naszym zadaniem jest zbadanie i skonstruowanie wykresu tej funkcji. Zakończyliśmy badanie; skonstruowanie wykresu funkcji nie jest już trudne. Aby uzyskać dokładniejsze i bardziej szczegółowe odwzorowanie krzywej lub linii prostej na płaszczyźnie współrzędnych, można znaleźć kilka punktów pomocniczych. Można je dość łatwo obliczyć. Na przykład bierzemy x=3, rozwiązujemy powstałe równanie i znajdujemy y=4. Lub x=5, y=-5 i tak dalej. Możesz zdobyć tyle dodatkowych punktów, ile potrzebujesz na budowę. Znaleziono ich co najmniej 3–5.

Rysowanie wykresu

Musieliśmy zbadać funkcję (x^3-14x^2+49x-36)*1/3=y. Wszystkie niezbędne oznaczenia podczas obliczeń wykonano na płaszczyźnie współrzędnych. Pozostało jeszcze tylko zbudować wykres, czyli połączyć wszystkie kropki. Łączenie kropek powinno przebiegać płynnie i dokładnie, jest to kwestia umiejętności – trochę praktyki, a Twój plan będzie idealny.

Instrukcje

Znajdź dziedzinę funkcji. Przykładowo funkcja sin(x) jest definiowana na całym przedziale od -∞ do +∞, a funkcja 1/x jest definiowana od -∞ do +∞, z wyjątkiem punktu x = 0.

Identyfikacja obszarów ciągłości i punktów nieciągłości. Zazwyczaj funkcja jest ciągła w tym samym obszarze, w którym jest zdefiniowana. Aby wykryć nieciągłości, należy obliczyć, gdy argument zbliża się do izolowanych punktów w dziedzinie definicji. Na przykład funkcja 1/x dąży do nieskończoności, gdy x → 0+ i do minus nieskończoności, gdy x → 0-. Oznacza to, że w punkcie x = 0 ma nieciągłość drugiego rodzaju.
Jeśli granice w punkcie nieciągłości są skończone, ale nie równe, to jest to nieciągłość pierwszego rodzaju. Jeżeli są one równe, to funkcję uważa się za ciągłą, chociaż nie jest ona zdefiniowana w izolowanym punkcie.

Znajdź asymptoty pionowe, jeśli takie istnieją. Pomogą Ci w tym obliczenia z poprzedniego kroku, ponieważ asymptota pionowa prawie zawsze leży w punkcie nieciągłości drugiego rodzaju. Czasami jednak z dziedziny definicji wyłączone są nie pojedyncze punkty, lecz całe przedziały punktów i wtedy na krawędziach tych przedziałów można zlokalizować asymptoty pionowe.

Sprawdź, czy funkcja ma specjalne właściwości: parzyste, nieparzyste i okresowe.
Funkcja będzie parzysta jeśli dla dowolnego x z dziedziny f(x) = f(-x). Na przykład cos(x) i x^2 są funkcjami parzystymi.

Okresowość to właściwość mówiąca, że ​​istnieje pewna liczba T, zwana okresem, dla dowolnego x f(x) = f(x + T). Na przykład wszystkie podstawowe funkcje trygonometryczne (sinus, cosinus, tangens) są okresowe.

Znajdź punkty. Aby to zrobić, oblicz pochodną danej funkcji i znajdź te wartości x, gdzie staje się zerem. Na przykład funkcja f(x) = x^3 + 9x^2 -15 ma pochodną g(x) = 3x^2 + 18x, która znika przy x = 0 i x = -6.

Aby określić, które ekstrema są maksimami, a które minimami, śledź zmianę znaków pochodnej przy znalezionych zerach. g(x) zmienia znak z plusa w punkcie x = -6, a w punkcie x = 0 z powrotem z minusa na plus. W konsekwencji funkcja f(x) ma minimum w pierwszym punkcie i minimum w drugim.

W ten sposób znalazłeś także obszary monotoniczności: f(x) monotonicznie rośnie w przedziale -∞;-6, monotonicznie maleje na -6;0 i ponownie rośnie na 0;+∞.

Znajdź drugą pochodną. Jej pierwiastki pokażą, gdzie wykres danej funkcji będzie wypukły, a gdzie wklęsły. Na przykład druga pochodna funkcji f(x) będzie wynosić h(x) = 6x + 18. Przy x = -3 dochodzi do zera, zmieniając znak z minus na plus. W konsekwencji wykres f(x) przed tym punktem będzie wypukły, za nim wklęsły, a sam ten punkt będzie punktem przegięcia.

Funkcja może mieć inne asymptoty oprócz pionowych, ale tylko wtedy, gdy jej dziedzina definicji obejmuje . Aby je znaleźć, oblicz granicę f(x), gdy x → ∞ lub x → ​​-∞. Jeśli jest skończony, to znalazłeś asymptotę poziomą.

Asymptota ukośna jest linią prostą w postaci kx + b. Aby znaleźć k, oblicz granicę f(x)/x jako x → ∞. Znalezienie b - granicy (f(x) – kx) dla tego samego x→∞.

Na podstawie obliczonych danych sporządź wykres funkcji. Oznacz asymptoty, jeśli takie istnieją. Zaznacz punkty ekstremalne i wartości funkcji. Aby uzyskać większą dokładność wykresu, oblicz wartości funkcji w kilku kolejnych punktach pośrednich. Badanie zostało zakończone.

Punktami odniesienia przy badaniu funkcji i konstruowaniu ich wykresów są punkty charakterystyczne - punkty nieciągłości, ekstremum, przegięcia, przecięcie z osiami współrzędnych. Za pomocą rachunku różniczkowego można ustalić charakterystyczne cechy zmian funkcji: wzrost i spadek, maksima i minima, kierunek wypukłości i wklęsłości wykresu, obecność asymptot.

Szkic wykresu funkcji można (i należy) sporządzić po znalezieniu asymptot i punktów ekstremalnych, przy czym wygodnie jest wypełniać tabelę podsumowującą badanie funkcji w miarę postępu badania.

Zwykle stosuje się następujący schemat badania funkcji.

1.Znajdź dziedzinę definicji, przedziały ciągłości i punkty przerwania funkcji.

2.Zbadaj funkcję pod kątem parzystości lub nieparzystości (osiowa lub centralna symetria wykresu).

3.Znajdź asymptoty (pionowe, poziome lub ukośne).

4.Znajdź i zbadaj przedziały wzrostu i spadku funkcji, jej ekstrema.

5.Znajdź przedziały wypukłości i wklęsłości krzywej, jej punkty przegięcia.

6.Znajdź punkty przecięcia krzywej z osiami współrzędnych, jeśli istnieją.

7.Sporządź tabelę podsumowującą badanie.

8.Konstruuje się wykres, biorąc pod uwagę badanie funkcji przeprowadzone zgodnie z punktami opisanymi powyżej.

Przykład. Przeglądaj funkcję

i zbuduj jego wykres.

7. Stwórzmy tabelę podsumowującą badanie funkcji, w której wpiszemy wszystkie charakterystyczne punkty i odstępy między nimi. Uwzględniając parzystość funkcji, otrzymujemy następującą tabelę: