Der er skrevet meget teori om geometrisk betydning. Jeg vil ikke gå ind på udledningen af funktionstilvæksten, men lad mig minde dig om det grundlæggende for at fuldføre opgaver:
Den afledte i punkt x er lig med hældning tangent til grafen for funktionen y = f(x) i dette punkt, dvs. dette er tangenten af hældningsvinklen til X-aksen.
Lad os straks tage opgaven fra Unified State Exam og begynde at forstå den:
Opgave nr. 1. Billedet viser graf for en funktion y = f(x) og tangenten til den i punktet med abscissen x0. Find værdien af den afledede af funktionen f(x) i punktet x0.
Hvem har travlt og ikke vil forstå forklaringerne: byg op til en sådan trekant (som vist nedenfor) og divider den stående side (lodret) med den liggende side (vandret), og du vil være heldig, hvis du ikke glemmer tegnet (hvis linjen er faldende (→↓) , så skal svaret være minus, hvis linjen er stigende (→), så skal svaret være positivt!)
Du skal finde vinklen mellem tangenten og X-aksen, lad os kalde det α: Tegn en ret linje parallelt med X-aksen hvor som helst gennem tangenten til grafen, vi får samme vinkel.
Det er bedre ikke at tage punkt x0, fordi Du skal bruge et stort forstørrelsesglas til at bestemme de nøjagtige koordinater.
Tager evt retvinklet trekant(3 muligheder er foreslået i figuren), finder vi tgα (vinklerne er da lige store, som tilsvarende), dvs. vi får den afledede af funktionen f(x) i punktet x0. Hvorfor er det sådan?
Hvis vi tegner tangenter i andre punkter x2, x1 osv. tangenterne vil være anderledes.
Lad os gå tilbage til 7. klasse for at bygge en linje!
Ligningen for en ret linje er givet ved ligningen y = kx + b, hvor
k - hældning i forhold til X-aksen.
b er afstanden mellem skæringspunktet med Y-aksen og origo.
Den afledede af en ret linje er altid den samme: y" = k.
Uanset hvilket punkt på linjen vi tager den afledte, vil den være uændret.
Derfor er der kun tilbage at finde tgα (som nævnt ovenfor: divider den stående side med den liggende side). Vi dividerer den modsatte side med den tilstødende side, vi får at k = 0,5. Men hvis grafen er faldende, er koefficienten negativ: k = −0,5.
Jeg råder dig til at tjekke dig selv anden vej:
Du kan definere en ret linje ved hjælp af to punkter. Lad os finde koordinaterne for to vilkårlige punkter. For eksempel (-2;-2) og (2;-4):
Lad os erstatte punkternes koordinater i ligningen y = kx + b i stedet for y og x:
−2 = −2k + b
Ved at løse dette system får vi b = −3, k = −0,5
Konklusion: Den anden metode tager længere tid, men i den vil du ikke glemme tegnet.
Svar: − 0,5
Opgave nr. 2. Billedet viser afledt graf funktioner f(x). Otte punkter er markeret på abscisseaksen: x1, x2, x3, ..., x8. Hvor mange af disse punkter ligger på intervallerne for stigende funktion f(x)?
Hvis grafen for en funktion er faldende - den afledte er negativ (og omvendt er sandt).
Hvis grafen for en funktion stiger, er den afledede positiv (og omvendt er sand).
Disse to sætninger vil hjælpe dig med at beslutte de fleste af opgaver.
Se godt efter en tegning af en afledt eller funktion gives til dig, og vælg derefter en af to sætninger.
Lad os konstruere en skematisk graf over funktionen. Fordi Vi får en graf over den afledede, så hvor den er negativ, falder grafen for funktionen, hvor den er positiv, stiger den!
Det viser sig, at 3 point ligger på stigende arealer: x4; x5; x6.
Svar: 3
Opgave nr. 3. Funktionen f(x) er defineret på intervallet (-6; 4). Billedet viser graf af dens afledte. Find abscissen for det punkt, hvor funktionen får sin største værdi.
Jeg råder dig til altid at plotte, hvordan funktionsgrafen går, ved hjælp af pile som denne eller skematisk med fortegn (som i nr. 4 og nr. 5):
Det er klart, hvis grafen stiger til -2, så er maksimumpunktet -2.
Svar: −2
Opgave nr. 4. Figuren viser en graf over funktionen f(x) og tolv punkter på abscisseaksen: x1, x2, ..., x12. Ved hvor mange af disse punkter er den afledede af funktionen negativ?
Problemet er det modsatte, givet en graf for en funktion, skal du skematisk plotte, hvordan grafen for den afledede af funktionen vil se ud og tælle, hvor mange punkter der vil ligge i det negative område.
Positiv: x1, x6, x7, x12.
Negativt: x2, x3, x4, x5, x9, x10, x11.
Svar: 7
En anden type opgave, når du bliver spurgt om nogle forfærdelige "yderpunkter"? Det vil ikke være svært for dig at finde, hvad det er, men jeg vil forklare det for graferne.
Opgave nr. 5. Figuren viser en graf af den afledede af funktionen f(x), defineret på intervallet (-16; 6). Find antallet af ekstremumpunkter for funktionen f(x) på intervallet [-11; 5].
Lad os markere intervallet fra -11 til 5!
Lad os vende vores lyse øjne mod tegnet: en graf af funktionens afledte er givet => så er ekstremerne skæringspunkterne med X-aksen.
Svar: 3
Opgave nr. 6. Figuren viser en graf af den afledede af funktionen f(x), defineret på intervallet (-13; 9). Find antallet af maksimumpunkter for funktionen f(x) på intervallet [-12; 5].
Lad os markere intervallet fra -12 til 5!
Du kan se på tabellen med det ene øje, det maksimale punkt er et ekstremum, således at før det er den afledede positiv (funktionen øges), og efter den er den afledede negativ (funktionen falder). Sådanne punkter er omkranset.
Pilene viser, hvordan funktionsgrafen opfører sig
Svar: 3
Opgave nr. 7. Figuren viser en graf over funktionen f(x) defineret på intervallet (-7; 5). Find antallet af punkter, hvor den afledede af funktionen f(x) er lig med 0.
Du kan se på tabellen ovenfor (den afledede er nul, hvilket betyder, at disse er ekstremumpunkter). Og i denne opgave er grafen for funktionen givet, hvilket betyder, at du skal finde antal bøjningspunkter!
Eller du kan som sædvanligt: bygge en skematisk graf af den afledte.
Den afledede er nul, når grafen for en funktion ændrer retning (fra stigende til faldende og omvendt)
Svar: 8
Opgave nr. 8. Billedet viser afledt graf funktion f(x), defineret på intervallet (-2; 10). Find intervallerne for stigende funktion f(x). I dit svar skal du angive summen af heltalspunkter inkluderet i disse intervaller.
Lad os konstruere en skematisk graf af funktionen:
Hvor det stiger, får vi 4 heltalspunkter: 4 + 5 + 6 + 7 = 22.
Svar: 22
Opgave nr. 9. Billedet viser afledt graf funktion f(x), defineret på intervallet (-6; 6). Find antallet af punkter f(x), hvor tangenten til funktionens graf er parallel med eller falder sammen med linjen y = 2x + 13.
Vi får en graf over den afledede! Det betyder, at vores tangent skal "oversættes" til en afledt.
Afledt af tangent: y" = 2.
Lad os nu konstruere begge afledte:
Tangenterne skærer hinanden i tre punkter, hvilket betyder, at vores svar er 3.
Svar: 3
Opgave nr. 10. Figuren viser en graf over funktionen f(x), og punkterne -2, 1, 2, 3 er markeret Ved hvilket af disse punkter er værdien af den afledede den mindste? Angiv venligst dette punkt i dit svar.
Opgaven ligner lidt den første: For at finde værdien af den afledede skal du konstruere en tangent til denne graf i et punkt og finde koefficienten k.
Hvis linjen er aftagende, k< 0.
Hvis linjen er stigende, k > 0.
Lad os tænke på, hvordan værdien af koefficienten vil påvirke linjens hældning:
Med k = 1 eller k = − 1 vil grafen være halvvejs mellem X- og Y-akserne.
Jo tættere den rette linje er på X-aksen, jo tættere er k-koefficienten på nul.
Jo tættere den rette linje er på Y-aksen, jo tættere er koefficienten k på uendeligt.
Ved punkt -2 og 1 k<0, однако в точке 1 прямая убывает "быстрее" больше похоже на ось Y =>det er her den mindste værdi af derivatet vil være
Svar: 1
Opgave nr. 11.
Linjen tangerer y = 3x + 9 til grafen for funktionen y = x³ + x² + 2x + 8. Find abscissen af tangentpunktet.
Linjen vil tangere grafen, når graferne har et fælles punkt, ligesom deres afledte. Lad os sidestille grafligningerne og deres afledte:
Efter at have løst den anden ligning får vi 2 point. For at kontrollere, hvilken der er egnet, erstatter vi hver af x'erne i den første ligning. Kun én vil gøre.
Men hvad skal du skrive ned som svar, hvis du får to "normale" svar?
Når du erstatter x(x) i de originale grafer y = 3x + 9 og y = x³ + x² + 2x + 8, skulle du få det samme Y
y= 1³+1²+2×1+8=12
Højre! Så x=1 vil være svaret
Svar: 1Opgave nr. 12.
Den rette linje y = − 5x − 6 er tangent til grafen for funktionen ax² + 5x − 5. Find en.
Lad os på samme måde sidestille funktioner og deres afledte:
Lad os løse dette system for variable a og x:
Svar: 25
Opgaven med derivater anses for at være en af de sværeste i den første del af Unified State Exam, men med lidt omhu og forståelse af spørgsmålet vil du lykkes, og du vil øge procentdelen af fuldførelse af denne opgave!
- Opgave B9 giver en graf for en funktion eller afledet, ud fra hvilken du skal bestemme en af følgende størrelser:
- Værdien af den afledte på et tidspunkt x 0,
- Maksimum eller minimum point (ekstreme point),
Intervaller med stigende og faldende funktioner (intervaller af monotoni).
Funktionerne og afledningerne præsenteret i dette problem er altid kontinuerlige, hvilket gør løsningen meget lettere. På trods af at opgaven hører til sektionen af matematisk analyse, kan selv de svageste elever klare det, da der ikke kræves dyb teoretisk viden her.
For at finde værdien af afledte, ekstremumpunkter og monotoniske intervaller er der enkle og universelle algoritmer - dem alle vil blive diskuteret nedenfor. Læs betingelserne for problem B9 omhyggeligt for at undgå at begå dumme fejl: nogle gange støder du på ganske omfangsrige tekster , Men vigtige forhold
, som påvirker beslutningsforløbet, er der få.
Beregning af den afledte værdi. To-punkts metode
- Hvis problemet er givet en graf af en funktion f(x), der tangerer denne graf på et tidspunkt x 0, og det er nødvendigt at finde værdien af den afledte på dette tidspunkt, anvendes følgende algoritme: Find to "tilstrækkelige" punkter på tangentgrafen: deres koordinater skal være heltal. Lad os betegne disse punkter som A (x 1 ; y 1) og B (x 2 ; y 2). Skriv koordinaterne korrekt ned - dette er nøglepunkt
- løsninger, og enhver fejl her resulterer i et forkert svar.
- Ved at kende koordinaterne er det let at beregne stigningen af argumentet Δx = x 2 − x 1 og stigningen af funktionen Δy = y 2 − y 1 .
Lad os igen bemærke: Punkterne A og B skal søges præcist på tangenten og ikke på grafen for funktionen f(x), som det ofte sker. Tangentlinjen vil nødvendigvis indeholde mindst to sådanne punkter - ellers bliver problemet ikke formuleret korrekt.
Overvej punkterne A (−3; 2) og B (−1; 6) og find trinene:
Δx = x 2 − x 1 = −1 − (−3) = 2; Δy = y 2 − y 1 = 6 − 2 = 4.
Lad os finde værdien af den afledede: D = Δy/Δx = 4/2 = 2.
Opgave. Figuren viser en graf for funktionen y = f(x) og en tangent til den i punktet med abscissen x 0. Find værdien af den afledede af funktionen f(x) i punktet x 0 .
Overvej punkterne A (0; 3) og B (3; 0), find trinene:
Δx = x 2 − x 1 = 3 − 0 = 3; Δy = y 2 − y 1 = 0 − 3 = −3.
Nu finder vi værdien af den afledede: D = Δy/Δx = −3/3 = −1.
Opgave. Figuren viser en graf for funktionen y = f(x) og en tangent til den i punktet med abscissen x 0. Find værdien af den afledede af funktionen f(x) i punktet x 0 .
Overvej punkterne A (0; 2) og B (5; 2) og find trinene:
Δx = x 2 − x 1 = 5 − 0 = 5; Δy = y 2 − y 1 = 2 − 2 = 0.
Det er tilbage at finde værdien af den afledede: D = Δy/Δx = 0/5 = 0.
Fra det sidste eksempel kan vi formulere en regel: Hvis tangenten er parallel med OX-aksen, er den afledede af funktionen i tangenspunktet nul. I dette tilfælde behøver du ikke engang at tælle noget - bare se på grafen.
Beregning af maksimum og minimum point
Nogle gange, i stedet for en graf for en funktion, giver opgave B9 en graf over den afledede og kræver, at man finder funktionens maksimum- eller minimumpunkt. I denne situation er topunktsmetoden ubrugelig, men der er en anden, endnu enklere algoritme. Lad os først definere terminologien:
- Punktet x 0 kaldes det maksimale punkt for funktionen f(x), hvis følgende ulighed er gældende i et eller andet område af dette punkt: f(x 0) ≥ f(x).
- Punktet x 0 kaldes minimumspunktet for funktionen f(x), hvis følgende ulighed er gældende i et eller andet område af dette punkt: f(x 0) ≤ f(x).
For at finde maksimum- og minimumpunkterne på den afledte graf skal du blot følge disse trin:
- Tegn den afledte graf igen, og fjern al unødvendig information. Som praksis viser, forstyrrer unødvendige data kun beslutningen. Derfor markerer vi nullerne for den afledede på koordinataksen - og det er det.
- Find ud af fortegnene for den afledede på intervallerne mellem nuller. Hvis det for et punkt x 0 er kendt, at f'(x 0) ≠ 0, så er der kun to muligheder: f'(x 0) ≥ 0 eller f'(x 0) ≤ 0. Tegnet for den afledte er let at bestemme ud fra den originale tegning: hvis den afledte graf ligger over OX-aksen, så f'(x) ≥ 0. Og omvendt, hvis den afledte graf ligger under OX-aksen, så f'(x) ≤ 0.
- Vi tjekker nullerne og fortegnene for den afledte igen. Hvor tegnet skifter fra minus til plus er minimumspunktet. Omvendt, hvis fortegnet for den afledede ændres fra plus til minus, er dette maksimumpunktet. Der tælles altid fra venstre mod højre.
Denne ordning virker kun for kontinuerlige funktioner - der er ingen andre i opgave B9.
Opgave. Figuren viser en graf af den afledede af funktionen f(x) defineret på intervallet [−5; 5]. Find minimumspunktet for funktionen f(x) på dette segment.
Lad os slippe af med unødvendig information og efterlade kun grænserne [−5; 5] og nuller af den afledte x = −3 og x = 2,5. Vi bemærker også tegnene:
Det er klart, at i punktet x = −3 ændres fortegnet for den afledte fra minus til plus. Dette er minimumspunktet.
Opgave. Figuren viser en graf af den afledede af funktionen f(x) defineret på intervallet [−3; 7]. Find maksimumpunktet for funktionen f(x) på dette segment.
Lad os tegne grafen igen, så kun grænserne efterlades [−3; 7] og nuller af den afledede x = −1,7 og x = 5. Lad os notere fortegnene for den afledede på den resulterende graf. Vi har:
Det er klart, at ved punktet x = 5 ændres tegnet for den afledte fra plus til minus - dette er maksimumpunktet.
Opgave. Figuren viser en graf af den afledede af funktionen f(x), defineret på intervallet [−6; 4]. Find antallet af maksimumpunkter for funktionen f(x), der hører til segmentet [−4; 3].
Af betingelserne for problemet følger det, at det er nok kun at betragte den del af grafen, der er begrænset af segmentet [−4; 3]. Derfor bygger vi en ny graf, hvorpå vi kun markerer grænserne [−4; 3] og nuller af den afledte inde i den. Nemlig punkterne x = −3,5 og x = 2. Vi får:
På denne graf er der kun ét maksimumpunkt x = 2. Det er på dette tidspunkt, at fortegnet for den afledte skifter fra plus til minus.
En lille note om punkter med ikke-heltalskoordinater. For eksempel blev punktet x = −3,5 overvejet i den sidste opgave, men med samme succes kan vi tage x = −3,4. Hvis opgaven er kompileret korrekt, bør sådanne ændringer ikke påvirke besvarelsen, da punkterne "uden fast bopæl" ikke direkte er med til at løse problemet. Selvfølgelig vil dette trick ikke fungere med heltalspunkter.
Finde intervaller for stigende og faldende funktioner
I et sådant problem, ligesom maksimum- og minimumpunkterne, foreslås det at bruge den afledte graf til at finde områder, hvor selve funktionen stiger eller falder. Lad os først definere, hvad stigende og faldende er:
- En funktion f(x) siges at være stigende på et segment, hvis følgende udsagn er sandt for to punkter x 1 og x 2 fra dette segment: x 1 ≤ x 2 ⇒ f(x 1) ≤ f(x 2) . Med andre ord, jo større argumentværdi, jo større funktionsværdi.
- En funktion f(x) kaldes aftagende på et segment, hvis følgende udsagn er sandt for to punkter x 1 og x 2 fra dette segment: x 1 ≤ x 2 ⇒ f(x 1) ≥ f(x 2). Dem. En større argumentværdi svarer til en mindre funktionsværdi.
Lad os formulere tilstrækkelige betingelser for at øge og mindske:
- For at en kontinuert funktion f(x) skal stige på segmentet , er det tilstrækkeligt, at dens afledte inde i segmentet er positiv, dvs. f'(x) ≥ 0.
- For at en kontinuert funktion f(x) skal falde på segmentet, er det tilstrækkeligt, at dens afledte inde i segmentet er negativ, dvs. f'(x) ≤ 0.
Lad os acceptere disse udsagn uden beviser. Således får vi et skema til at finde intervaller for stigende og faldende, som på mange måder ligner algoritmen til beregning af ekstremumpunkter:
- Fjern alle unødvendige oplysninger. I den oprindelige graf for den afledede er vi primært interesserede i funktionens nuller, så vi vil kun lade dem stå.
- Marker fortegnene for den afledede i intervallerne mellem nul. Hvor f'(x) ≥ 0, øges funktionen, og hvor f'(x) ≤ 0, falder den. Hvis problemet sætter begrænsninger på variablen x, markerer vi dem desuden på en ny graf.
- Nu hvor vi kender funktionens opførsel og begrænsningerne, er det tilbage at beregne den nødvendige mængde i opgaven.
Opgave. Figuren viser en graf af den afledede af funktionen f(x) defineret på intervallet [−3; 7,5]. Find faldintervallerne for funktionen f(x). I dit svar skal du angive summen af de heltal, der er inkluderet i disse intervaller.
Lad os som sædvanlig tegne grafen igen og markere grænserne [−3; 7,5], samt nuller af den afledte x = −1,5 og x = 5,3. Så noterer vi tegnene for den afledte. Vi har:
Da den afledede er negativ på intervallet (− 1,5), er dette intervallet for aftagende funktion. Det er tilbage at summere alle de heltal, der er inden for dette interval:
−1 + 0 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 14.
Opgave. Figuren viser en graf af den afledede af funktionen f(x), defineret på intervallet [−10; 4]. Find stigningsintervallerne for funktionen f(x). I dit svar skal du angive længden af den største af dem.
Lad os slippe af med unødvendig information. Lad os kun forlade grænserne [−10; 4] og nuller af den afledte, som der var fire af denne gang: x = −8, x = −6, x = −3 og x = 2. Lad os markere fortegnene for den afledte og få følgende billede:
Vi er interesserede i intervallerne for stigende funktion, dvs. sådan hvor f’(x) ≥ 0. Der er to sådanne intervaller på grafen: (−8; −6) og (−3; 2). Lad os beregne deres længder:
l 1 = − 6 − (−8) = 2;
l 2 = 2 − (−3) = 5.
Da vi skal finde længden af det største af intervallerne, skriver vi værdien l 2 = 5 ned som svar.
Eksempel 1
Reference: Følgende måder at notere en funktion på er ækvivalente: I nogle opgaver er det praktisk at betegne funktionen som "spil", og i andre som "ef fra x".
Først finder vi den afledede:
Eksempel 2
Beregn den afledede af en funktion i et punkt
, , fuld funktionsstudie osv.
Eksempel 3
Beregn den afledede af funktionen i punktet. Lad os først finde den afledede: 
Nå, det er en helt anden sag. Lad os beregne værdien af den afledte på punktet:
Hvis du ikke forstår, hvordan derivatet blev fundet, så vend tilbage til de to første lektioner af emnet. Hvis du har problemer (misforståelser) med arctangensen og dens betydninger, Nødvendigvis studere undervisningsmaterialet Grafer og egenskaber for elementære funktioner– det allersidste afsnit. For der er stadig arctangens nok til studiealderen.
Eksempel 4
Beregn den afledede af funktionen i punktet.
Ligning for tangenten til grafen for en funktion
For at konsolidere det foregående afsnit, overvej problemet med at finde tangenten til funktionsgraf på dette tidspunkt. Denne opgave stødte vi på i skolen, og den dukker også op i forløbet af højere matematik.
Lad os se på det enkleste "demonstration" eksempel.
Skriv en ligning for tangenten til grafen for funktionen ved abscissepunktet. Jeg bringer det med det samme grafisk løsning opgaver (i praksis er dette ikke nødvendigt i de fleste tilfælde):
En streng definition af en tangent er givet vha definition af den afledede af en funktion, men indtil videre vil vi mestre den tekniske del af problemet. Sikkert næsten alle forstår intuitivt, hvad en tangent er. Hvis du forklarer det "på fingrene", så er tangenten til grafen for en funktion lige, som vedrører grafen for funktionen i den eneste punkt. I dette tilfælde er alle nærliggende punkter på linjen placeret så tæt som muligt på funktionens graf.
Som anvendt i vores tilfælde: ved tangenten (standardnotation) rører grafen for funktionen i et enkelt punkt.
Og vores opgave er at finde linjens ligning.
Afledt af en funktion i et punkt
Hvordan finder man den afledede af en funktion i et punkt? To indlysende punkter i denne opgave følger af ordlyden:
1) Det er nødvendigt at finde den afledte.
2) Det er nødvendigt at beregne værdien af derivatet på et givet punkt.
Eksempel 1
Beregn den afledede af en funktion i et punkt
Hjælp: Følgende måder at notere en funktion på svarer til:
I nogle opgaver er det praktisk at betegne funktionen som "spil", og i andre som "ef fra x".
Først finder vi den afledede:
Jeg håber, at mange allerede har vænnet sig til at finde sådanne derivater mundtligt.
I det andet trin beregner vi værdien af den afledte på punktet:
Et lille opvarmningseksempel til at løse det selv:
Eksempel 2
Beregn den afledede af en funktion i et punkt
Fuld løsning og svar i slutningen af lektionen.
Behovet for at finde den afledede i et punkt opstår i følgende opgaver: konstruere en tangent til grafen for en funktion (næste afsnit), undersøgelse af en funktion for et ekstremum , undersøgelse af en funktion for bøjningen af en graf , fuld funktionsstudie osv.
Men den pågældende opgave opstår i tests og af sig selv. Og som regel er den angivne funktion i sådanne tilfælde ret kompleks. Lad os i denne forbindelse se på yderligere to eksempler.
Eksempel 3
Beregn den afledede af en funktion 
på punktet.
Lad os først finde den afledede: 
Den afledte værdi er i princippet fundet, og du kan erstatte den påkrævede værdi. Men jeg har ikke rigtig lyst til at gøre noget. Udtrykket er meget langt, og betydningen af "x" er fraktioneret. Derfor forsøger vi at forenkle vores afledte så meget som muligt. I i dette tilfælde lad os prøve at føre til fællesnævner de sidste tre led: 
på punktet.
Dette er et eksempel, som du kan løse på egen hånd.
Hvordan finder man værdien af den afledede af funktionen F(x) i punktet Xo? Hvordan løser du overhovedet dette?
Hvis formlen er givet, skal du finde den afledede og erstatte X-nul i stedet for X. Beregne
Hvis vi taler om o b-8 Unified State-eksamen, graf, så skal du finde tangenten til den vinkel (spids eller stump), som tangenten til X-aksen danner (ved at bruge den mentale konstruktion af en retvinklet trekant og bestemme vinklens tangent)
Timur Adilkhodzhaev
Først skal du beslutte dig for skiltet. Hvis punkt x0 er i den nederste del af koordinatplanet, så vil tegnet i svaret være minus, og hvis højere, så +.
For det andet skal du vide, hvad tange er i et rektangel. Og dette er forholdet mellem den modsatte side (ben) og den tilstødende side (også ben). Der er normalt et par sorte mærker på maleriet. Ud fra disse mærker danner du en retvinklet trekant og finder tangen.
Hvordan finder man værdien af den afledede af funktionen f x i punktet x0?
intet specifikt spørgsmål stillet - for 3 år sidenI det generelle tilfælde, for at finde værdien af den afledede af en funktion i forhold til en variabel på et tidspunkt, skal du differentiere den givne funktion med hensyn til denne variabel. I dit tilfælde ved variabel X. I det resulterende udtryk skal du i stedet for X sætte værdien af X på det punkt, som du skal finde værdien af den afledte for, dvs. i dit tilfælde skal du erstatte nul X og beregne det resulterende udtryk.
Nå, dit ønske om at forstå dette problem fortjener efter min mening uden tvivl et +, som jeg giver med god samvittighed.
Denne formulering af problemet med at finde derivatet er ofte sat til at forstærke materialet på den geometriske betydning af derivatet. En graf for en bestemt funktion er foreslået, fuldstændig vilkårlig og ikke specificeret af en ligning, og det er nødvendigt at finde værdien af den afledte (ikke selve den afledede, vel at mærke!) ved det specificerede punkt X0. For at gøre dette skal du konstruere en tangent til givet funktion og finder punkterne for dets skæringspunkt med koordinatakserne. Så tegnes ligningen for denne tangent på formen y=кx+b.
I denne ligning vil koefficienten k og være værdien af den afledte. Tilbage er blot at finde værdien af koefficienten b. For at gøre dette finder vi værdien af y ved x = o, lad den være lig med 3 - dette er værdien af koefficienten b. Vi erstatter værdierne af X0 og Y0 i den oprindelige ligning og finder k - vores værdi af den afledte på dette tidspunkt.
Lommeregneren beregner de afledte værdier af alle elementære funktioner, hvilket giver en detaljeret løsning. Differentieringsvariablen bestemmes automatisk.
Afledt af en funktion- et af de vigtigste begreber i matematisk analyse. Fremkomsten af den afledede blev ført til sådanne problemer som for eksempel at beregne den øjeblikkelige hastighed af et punkt på et tidspunkt, hvis stien afhængig af tid er kendt, problemet med at finde tangenten til en funktion i et punkt.
Oftest er den afledede af en funktion defineret som grænsen for forholdet mellem funktionens stigning og stigningen af argumentet, hvis det findes.
Definition. Lad funktionen defineres i et eller andet område af punktet. Så kaldes den afledede af funktionen i et punkt grænsen, hvis den findes
Hvordan beregner man den afledede af en funktion?
For at lære at differentiere funktioner skal du lære og forstå differentieringsregler og lære at bruge tabel over derivater.
Regler for differentiering
Lad og være vilkårlige differentiable funktioner af en reel variabel og være en reel konstant. Så
— regel for differentiering af produktet af funktioner
— regel for differentiering af kvotientfunktioner
0" height="33" width="370" style="vertical-align: -12px;"> — differentiering af en funktion med en variabel eksponent
- differentieringsregel kompleks funktion
— regel for differentiering af en potensfunktion
Afledt af en funktion online
Vores lommeregner vil hurtigt og præcist beregne den afledede af enhver funktion online. Programmet vil ikke lave fejl, når det beregner den afledte og vil hjælpe dig med at undgå lange og kedelige beregninger. Online lommeregner Det vil også være nyttigt i det tilfælde, hvor der er behov for at kontrollere rigtigheden af din løsning, og hvis den er forkert, skal du hurtigt finde fejlen.
Indlæser...