En monomials kraft
For en monomial er der konceptet om dets grad. Lad os finde ud af, hvad det er.
Definition.
En monomials kraft standardform er summen af eksponenter for alle variabler inkluderet i dens registrering; hvis der ikke er nogen variable i notationen af et monomial, og det er forskelligt fra nul, betragtes dets grad som lig med nul; tallet nul betragtes som et monomial, hvis grad er udefineret.
Bestemmelse af graden af en monomial giver dig mulighed for at give eksempler. Graden af monomial a er lig med én, da a er en 1. Magten af monomial 5 er nul, da den er ikke-nul, og dens notation ikke indeholder variabler. Og produktet 7·a 2 ·x·y 3 ·a 2 er et monomial af ottende grad, da summen af eksponenterne for alle variable a, x og y er lig med 2+1+3+2=8.
Forresten er graden af en monomial, der ikke er skrevet i standardform, lig med graden af den tilsvarende monomial af standardform. For at illustrere, hvad der er blevet sagt, lad os beregne graden af monomial 3 x 2 y 3 x (−2) x 5 y. Denne monomial i standardform har formen −6·x 8 ·y 4, dens grad er 8+4=12. Graden af det originale monomial er således 12.
Monomial koefficient
Et monomial i standardform, som har mindst én variabel i sin notation, er et produkt med en enkelt numerisk faktor - en numerisk koefficient. Denne koefficient kaldes den monomiale koefficient. Lad os formulere ovenstående argumenter i form af en definition.
Definition.
Monomial koefficient er den numeriske faktor for et monomial skrevet i standardform.
Nu kan vi give eksempler på koefficienter for forskellige monomialer. Tallet 5 er koefficienten af monomial 5·a 3 per definition, ligesom monomial (−2,3)·x·y·z har en koefficient på -2,3.
Monomialernes koefficienter, lig med 1 og −1, fortjener særlig opmærksomhed. Pointen her er, at de normalt ikke er eksplicit til stede i optagelsen. Det antages, at koefficienten for standardformmonomialer, der ikke har en numerisk faktor i deres notation, er lig med én. For eksempel monomialer a, x·z 3, a·t·x osv. har en koefficient på 1, da a kan betragtes som 1·a, x·z 3 - som 1·x·z 3 osv.
På samme måde anses koefficienten for monomialer, hvis indgange i standardform ikke har en numerisk faktor og begynder med et minustegn, for at være minus en. For eksempel monomialer −x, −x 3 y z 3 osv. har en koefficient −1, da −x=(−1) x, −x 3 y z 3 =(−1) x 3 y z 3 og så videre.
I øvrigt omtales begrebet koefficienten for en monomial ofte som monomialer af standardformen, som er tal uden bogstavfaktorer. Koefficienterne for sådanne monomial-numre anses for at være disse tal. Så for eksempel betragtes koefficienten af monomial 7 som lig med 7.
Bibliografi.
- Algebra: lærebog for 7. klasse. almen uddannelse institutioner / [Yu. N. Makarychev, N.G. Mindyuk, K.I. Neshkov, S.B. Suvorova]; redigeret af S. A. Telyakovsky. - 17. udg. - M.: Uddannelse, 2008. - 240 s. : syg. - ISBN 978-5-09-019315-3.
- Mordkovich A.G. Algebra. 7. klasse. Om 2 timer Del 1. Lærebog for studerende ved almene uddannelsesinstitutioner / A. G. Mordkovich. - 17. udg., tilføje. - M.: Mnemosyne, 2013. - 175 s.: ill. ISBN 978-5-346-02432-3.
- Gusev V.A., Mordkovich A.G. Matematik (en manual for dem, der går ind på tekniske skoler): Proc. godtgørelse.- M.; Højere skole, 1984.-351 s., ill.
Lektion om emnet: "Standardform af et monomial. Definition. Eksempler"
Yderligere materialer
Kære brugere, glem ikke at efterlade dine kommentarer, anmeldelser, ønsker. Alt materiale er blevet kontrolleret af et antivirusprogram.
Læremidler og simulatorer i Integral-onlinebutikken til 7. klasse
Elektronisk lærebog "Forståelig geometri" for klasse 7-9
Multimedielærebog "Geometri på 10 minutter" for 7.-9
Monomial. Definition
Monomial er et matematisk udtryk, der er produktet af en primfaktor og en eller flere variable.Monomialer inkluderer alle tal, variabler, deres potenser med en naturlig eksponent:
42; 3; 0; 62; 23; b 3; økse 4; 4x3; 5a2; 12xyz 3.
Ganske ofte er det svært at afgøre, om et givet matematisk udtryk refererer til et monomial eller ej. For eksempel $\frac(4a^3)(5)$. Er dette en monomial eller ej? For at besvare dette spørgsmål er vi nødt til at forenkle udtrykket, dvs. til stede i formen: $\frac(4)(5)*a^3$.
Vi kan med sikkerhed sige, at dette udtryk er et monomial.
Standard form for monomial
Når du udfører beregninger, er det tilrådeligt at reducere monomial til standardform. Dette er den mest kortfattede og forståelige optagelse af en monomial.Proceduren for at reducere en monomial til standardform er som følger:
1. Multiplicer koefficienterne for de monomiale (eller numeriske faktorer) og placer det resulterende resultat på førstepladsen.
2. Vælg alle potenser med samme bogstavgrundlag og gang dem.
3. Gentag punkt 2 for alle variabler.
Eksempler.
I. Reducer den givne monomial $3x^2zy^3*5y^2z^4$ til standardform.
Løsning.
1. Multiplicer koefficienterne for monomialet $15x^2y^3z * y^2z^4$.
2. Nu præsenterer vi lignende udtryk $15x^2y^5z^5$.
II. Reducer den givne monomial $5a^2b^3 * \frac(2)(7)a^3b^2c$ til standardform.
Løsning.
1. Multiplicer koefficienterne for det monomiale $\frac(10)(7)a^2b^3*a^3b^2c$.
2. Nu præsenterer vi lignende udtryk $\frac(10)(7)a^5b^5c$.
Monomialer er en af hovedtyperne af udtryk, der studeres i skolealgebrakurset. I dette materiale vil vi fortælle dig, hvad disse udtryk er, definere deres standardform og vise eksempler og også forstå relaterede begreber, såsom graden af en monomial og dens koefficient.
Hvad er et monomial
Skolebøger giver normalt følgende definition af dette begreb:
Definition 1
Monomier inkluderer tal, variabler, samt deres magter med naturlige eksponenter og forskellige typer produkter, der består af dem.
Ud fra denne definition kan vi give eksempler på sådanne udtryk. Således vil alle tal 2, 8, 3004, 0, - 4, - 6, 0, 78, 1 4, - 4 3 7 være monomialer. Alle variabler, f.eks. x, a, b, p, q, t, y, z, vil også være monomer pr. definition. Dette inkluderer også potenser af variable og tal, for eksempel 6 3, (− 7, 41) 7, x 2 og t 15, samt udtryk på formen 65 · x, 9 · (− 7) · x · y 3 · 6, x · x · y 3 · x · y 2 · z osv. Bemærk venligst, at et monomer kan indeholde et tal eller en variabel eller flere, og de kan nævnes flere gange i et polynomium.
Sådanne typer af tal som heltal, rationelle tal og naturlige tal hører også til monomialer. Du kan også inkludere reelle og komplekse tal her. Således vil udtryk på formen 2 + 3 · i · x · z 4, 2 · x, 2 · π · x 3 også være monomer.
Hvad er standardformen for et monomial, og hvordan konverteres et udtryk til det
For at lette brugen bliver alle monomialer først reduceret til en speciel form kaldet standard. Lad os formulere specifikt, hvad det betyder.
Definition 2
Standard form for monomial kaldes dets form, hvor det er produktet af en numerisk multiplikator og naturlige potenser af forskellige variable. Den numeriske faktor, også kaldet koefficienten for monomialet, skrives normalt først på venstre side.
For klarhedens skyld, lad os vælge flere monomialer af standardformen: 6 (dette er et monomial uden variabler), 4 · a, − 9 · x 2 · y 3, 2 3 5 · x 7. Dette omfatter også udtrykket x y(her vil koefficienten være lig med 1), - x 3(her er koefficienten - 1).
Nu giver vi eksempler på monomialer, der skal bringes til standardform: 4 · a · a 2 · a 3(her skal du kombinere de samme variabler), 5 x (− 1) 3 y 2(her skal du kombinere de numeriske faktorer til venstre).
Typisk, når en monomial har flere variable skrevet med bogstaver, skrives bogstavfaktorerne i alfabetisk rækkefølge. For eksempel er det at foretrække at skrive 6 a b 4 c z 2, hvordan b 4 6 a z 2 c. Rækkefølgen kan dog være anderledes, hvis formålet med beregningen kræver det.
Enhver monomial kan reduceres til standardform. For at gøre dette skal du udføre alle de nødvendige identitetstransformationer.
Begrebet grad af et monomial
Det medfølgende koncept for graden af et monomial er meget vigtigt. Lad os nedskrive definitionen af dette begreb.
Definition 3
Ved monomiets kraft, skrevet i standardform, er summen af eksponenterne for alle variable, der er inkluderet i dens notation. Hvis der ikke er nogen variable i det, og selve monomialet er forskelligt fra 0, vil dets grad være nul.
Lad os give eksempler på beføjelser af en monomial.
Eksempel 1
Således har monomial a grad lig med 1, da a = a 1. Hvis vi har en monomial 7, vil den have grad nul, da den ikke har nogen variable og er forskellig fra 0. Og her er optagelsen 7 a 2 x y 3 a 2 vil være en monomial af 8. grad, fordi summen af eksponenterne for alle grader af variablerne inkluderet i den vil være lig med 8: 2 + 1 + 3 + 2 = 8 .
Monomialet reduceret til standardform og det originale polynomium vil have samme grad.
Eksempel 2
Lad os vise, hvordan man beregner graden af et monomial 3 x 2 y 3 x (− 2) x 5 y. I standardform kan det skrives som − 6 x 8 y 4. Vi beregner graden: 8 + 4 = 12 . Det betyder, at graden af det oprindelige polynomium også er lig med 12.
Begrebet monomial koefficient
Hvis vi har en monomial reduceret til standardform, der indeholder mindst en variabel, så taler vi om det som et produkt med en numerisk faktor. Denne faktor kaldes en numerisk koefficient eller monomial koefficient. Lad os skrive definitionen ned.
Definition 4
Koefficienten for en monomial er den numeriske faktor for en monomial reduceret til standardform.
Lad os som eksempel tage koefficienterne for forskellige monomialer.
Eksempel 3
Altså i udtrykket 8 og 3 koefficienten vil være tallet 8, og in (− 2, 3) x y z de vil − 2 , 3 .
Der skal lægges særlig vægt på koefficienter lig med én og minus én. Som regel er de ikke eksplicit angivet. Det antages, at i et monomial af standardformen, hvor der ikke er nogen numerisk faktor, er koefficienten lig med 1, for eksempel i udtrykkene a, x · z 3, a · t · x, da de kan være betragtes som 1 · a, x · z 3 – Hvordan 1 x z 3 etc.
Tilsvarende kan vi i monomialer, der ikke har en numerisk faktor, og som begynder med et minustegn, betragte - 1 som koefficienten.
Eksempel 4
For eksempel vil udtrykkene − x, − x 3 · y · z 3 have en sådan koefficient, da de kan repræsenteres som − x = (− 1) · x, − x 3 · y · z 3 = (− 1) ) · x 3 y z 3 osv.
Hvis et monomial slet ikke har en enkelt bogstavfaktor, kan vi tale om en koefficient i dette tilfælde. Koefficienterne for sådanne monomial-numre vil være disse tal selv. Så for eksempel vil koefficienten for monomial 9 være lig med 9.
Hvis du bemærker en fejl i teksten, skal du markere den og trykke på Ctrl+Enter
1. Positiv heltalskoefficient. Lad os have en monomial +5a, da det positive tal +5 anses for at falde sammen med det aritmetiske tal 5, så
5a = a ∙ 5 = a + a + a + a + a.
Også +7xy² = xy² ∙ 7 = xy² + xy² + xy² + xy² + xy² + xy² + xy²; +3a³ = a³ ∙ 3 = a³ + a³ + a³; +2abc = abc ∙ 2 = abc + abc og så videre.
Baseret på disse eksempler kan vi fastslå, at den positive heltalskoefficient viser, hvor mange gange bogstavfaktoren (eller: produktet af bogstavfaktorer) af et monomial gentages af addenden.
Det bør man vænne sig til i en sådan grad, at man umiddelbart forestiller sig i sin fantasi, at der f.eks. i et polynomium
3a + 4a² + 5a³
sagen bunder i, at først gentages a² 3 gange som led, derefter gentages a³ 4 gange som led og derefter gentages a 5 gange som led.
Også: 2a + 3b + c = a + a + b + b + b + c
x³ + 2xy² + 3y³ = x³ + xy² + xy² + y³ + y³ + y³ osv.
2. Positiv brøkkoefficient. Lad os have en monomial +a. Da det positive tal + falder sammen med det aritmetiske tal, så er +a = a ∙, hvilket betyder: vi skal tage tre fjerdedele af tallet a, dvs.
Derfor: den positive brøkkoefficient viser, hvor mange gange og hvilken del af bogstavfaktoren for monomialet, der gentages af addenden.
Polynomium 
skal let repræsenteres i formen:
etc.
3. Negativ koefficient. Ved at kende multiplikationen af relative tal kan vi nemt fastslå, at for eksempel (+5) ∙ (–3) = (–5) ∙ (+3) eller (–5) ∙ (–3) = (+5) ∙ (+ 3) eller generelt a ∙ (–3) = (–a) ∙ (+3); også a ∙ (–) = (–a) ∙ (+), osv.
Derfor, hvis vi tager et monomial med en negativ koefficient, for eksempel –3a, så
–3a = a ∙ (–3) = (–a) ∙ (+3) = (–a) ∙ 3 = – a – a – a (–a tages som led 3 gange).
Fra disse eksempler ser vi, at den negative koefficient viser, hvor mange gange bogstavdelen af et monomial, eller dets bestemte brøk, taget med et minustegn, gentages af udtrykket.
I denne lektion vil vi give en streng definition af et monomial og se på forskellige eksempler fra lærebogen. Lad os huske reglerne for multiplikation af potenser med samme grundtal. Lad os definere standardformen for en monomial, koefficienten for monomial og dens bogstavdel. Lad os overveje to hovedtypiske operationer på monomialer, nemlig reduktion til en standardform og beregning af en specifik numerisk værdi af en monomial for givne værdier af de bogstavelige variabler inkluderet i den. Lad os formulere en regel for at reducere en monomial til standardform. Lad os lære, hvordan man løser standardproblemer med alle monomialer.
Emne:Monomier. Aritmetiske operationer på monomer
Lektie:Begrebet monom. Standard form for monomial
Overvej nogle eksempler:
3. 
;
Lad os finde fællestræk for de givne udtryk. I alle tre tilfælde er udtrykket produktet af tal og variable hævet til en potens. Ud fra dette giver vi monomiel definition : Et monomial er et algebraisk udtryk, der består af produktet af potenser og tal.
Nu giver vi eksempler på udtryk, der ikke er monomialer:
Lad os finde forskellen mellem disse udtryk og de foregående. Den består i, at der i eksempel 4-7 er additions-, subtraktions- eller divisionsoperationer, mens der i eksempel 1-3, som er monomialer, ikke er disse operationer.
Her er et par flere eksempler:
Udtryk nummer 8 er et monomial, fordi det er produktet af en potens og et tal, hvorimod eksempel 9 ikke er et monomial.
Lad os nu finde ud af det handlinger på monomialer .
1. Forenkling. Lad os se på eksempel nr. 3 ;og eksempel nr. 2 /
I det andet eksempel ser vi kun én koefficient - , hver variabel forekommer kun én gang, det vil sige variablen " EN" er repræsenteret i en enkelt kopi som "", på samme måde vises variablerne "" og "" kun én gang.
I eksempel nr. 3 er der tværtimod to forskellige koefficienter - og , vi ser variablen "" to gange - som "" og som "", på samme måde optræder variablen "" to gange. Det vil sige, at dette udtryk skal forenkles, således kommer vi frem til den første handling udført på monomialer er at reducere monomial til standardform . For at gøre dette vil vi reducere udtrykket fra eksempel 3 til standardform, så vil vi definere denne operation og lære, hvordan man reducerer enhver monomial til standardform.
Så overvej et eksempel:
Den første handling i driften af reduktion til standardform er altid at multiplicere alle numeriske faktorer:
;
Resultatet af denne handling vil blive kaldt koefficient for monomiet .
Dernæst skal du gange potenserne. Lad os gange potenserne af variablen " x"ifølge reglen for multiplikation af potenser med samme grundtal, som siger, at når man multiplicerer, lægges eksponenterne til:
Lad os nu gange potenserne" på»:
;
Så her er et forenklet udtryk:
;
Enhver monomial kan reduceres til standardform. Lad os formulere standardiseringsregel :
Multiplicer alle numeriske faktorer;
Placer den resulterende koefficient på førstepladsen;
Gang alle grader, det vil sige få bogstavdelen;
Det vil sige, at enhver monomial er karakteriseret ved en koefficient og en bogstavdel. Ser vi fremad, bemærker vi, at monomialer, der har den samme bogstavdel, kaldes ens.
Nu skal vi træne teknik til at reducere monomialer til standardform . Overvej eksempler fra lærebogen:
Opgave: bringe monomialet til standardform, navngiv koefficienten og bogstavdelen.
For at fuldføre opgaven vil vi bruge reglen til at reducere en monomial til en standardform og egenskaberne ved magter.
1. 
;
3. 
;
Kommentarer til det første eksempel: Lad os først afgøre, om dette udtryk virkelig er et monomial for at gøre dette, lad os kontrollere, om det indeholder operationer med multiplikation af tal og potenser, og om det indeholder operationer med addition, subtraktion eller division. Vi kan sige, at dette udtryk er et monomial, da ovenstående betingelse er opfyldt. Dernæst multiplicerer vi de numeriske faktorer i henhold til reglen for at reducere en monomial til en standardform:
- vi fandt koefficienten for et givet monomial;
; ; ; det vil sige, at den bogstavelige del af udtrykket opnås:;
Lad os skrive svaret ned: ;
Kommentarer til det andet eksempel: Efter reglen udfører vi:
1) gange numeriske faktorer:
2) gange potenserne:
Variabler præsenteres i en enkelt kopi, det vil sige, de kan ikke multipliceres med noget, de omskrives uden ændringer, graden multipliceres:
Lad os skrive svaret ned:
;
I dette eksempel er koefficienten for monomialet lig med en, og bogstavdelen er .
Kommentarer til det tredje eksempel: a I lighed med de foregående eksempler udfører vi følgende handlinger:
1) gange numeriske faktorer:
;
2) gange potenserne:
;
Lad os skrive svaret ned: ;
I dette tilfælde er koefficienten for monomialet "", og bogstavdelen 
.
Lad os nu overveje anden standardoperation på monomialer . Da et monomial er et algebraisk udtryk, der består af bogstavelige variable, der kan antage specifikke numeriske værdier, har vi et aritmetisk numerisk udtryk, der skal evalueres. Det vil sige, at den næste operation på polynomier er beregne deres specifikke numeriske værdi .
Lad os se på et eksempel. Monomial givet:
denne monomial er allerede blevet reduceret til standardform, dens koefficient er lig med en, og bogstavdelen
Tidligere sagde vi, at et algebraisk udtryk ikke altid kan beregnes, det vil sige, at de variabler, der er inkluderet i det, ikke kan få nogen værdi. I tilfælde af en monomial, kan variablerne inkluderet i det være en hvilken som helst.
Så i det givne eksempel skal du beregne værdien af monomiet ved , , , .
Indlæser...