Lektion og oplæg om emnet: "Egenskaber af den n'te rod. Sætninger"
Yderligere materialer
Kære brugere, glem ikke at efterlade dine kommentarer, anmeldelser, ønsker! Alt materiale er blevet kontrolleret af et antivirusprogram.
Læremidler og simulatorer i Integral-onlinebutikken til 11. klasse
Interaktiv manual for klasse 9-11 "Trigonometri"
Interaktiv manual for klasse 10-11 "Logarithms"
Egenskaber for den n. rod. Sætninger
Gutter, vi fortsætter med at studere de n'te rødder af et reelt tal. Som næsten alle matematiske objekter har rødder af n. grad visse egenskaber, i dag vil vi studere dem.Alle egenskaber, som vi vil overveje, er formuleret og bevist kun for ikke-negative værdier af variablerne indeholdt under rodtegnet.
I tilfælde af en ulige rodeksponent udføres de også for negative variable.
Sætning 1. Den n'te rod af produktet af to ikke-negative tal er lig med produktet af de n'te rødder af disse tal: $\sqrt[n](a*b)=\sqrt[n](a)*\ sqrt[n](b)$ .
Lad os bevise sætningen.
Bevis. Gutter, for at bevise sætningen, lad os introducere nye variabler, betegne dem:
$\sqrt[n](a*b)=x$.
$\sqrt[n](a)=y$.
$\sqrt[n](b)=z$.
Vi skal bevise, at $x=y*z$.
Bemærk, at følgende identiteter også gælder:
$a*b=x^n$.
$a=y^n$.
$b=z^n$.
Så gælder følgende identitet: $x^n=y^n*z^n=(y*z)^n$.
Potenserne af to ikke-negative tal og deres eksponenter er lige store, så er grundtalen af selve potenserne ens. Det betyder $x=y*z$, hvilket er det, der skulle bevises.
Sætning 2. Hvis $а≥0$, $b>0$ og n – naturligt tal, som er større end 1, så gælder følgende lighed: $\sqrt[n](\frac(a)(b))=\frac(\sqrt[n](a))(\sqrt[n](b) ))$.
Det vil sige, at den n'te rod af kvotienten er lig med kvotienten af de n'te rødder.
Bevis.
For at bevise dette vil vi bruge et forenklet diagram i form af en tabel:
Eksempler på beregning af den n. rod
Eksempel.Beregn: $\sqrt(16*81*256)$.
Løsning. Lad os bruge sætning 1: $\sqrt(16*81*256)=\sqrt(16)*\sqrt(81)*\sqrt(256)=2*3*4=24$.
Eksempel.
Beregn: $\sqrt(7\frac(19)(32))$.
Løsning. Lad os repræsentere det radikale udtryk i formen ukorrekt fraktion: $7\frac(19)(32)=\frac(7*32+19)(32)=\frac(243)(32)$.
Lad os bruge sætning 2: $\sqrt(\frac(243)(32))=\frac(\sqrt(243))(\sqrt(32))=\frac(3)(2)=1\frac(1) ) (2)$.
Eksempel.
Beregne:
a) $\sqrt(24)*\sqrt(54)$.
b) $\frac(\sqrt(256))(\sqrt(4))$.
Løsning:
a) $\sqrt(24)*\sqrt(54)=\sqrt(24*54)=\sqrt(8*3*2*27)=\sqrt(16*81)=\sqrt(16)*\ sqrt(81)=2*3=6$.
b) $\frac(\sqrt(256))(\sqrt(4))=\sqrt(\frac(256)(4))=\sqrt(64)=24$.
Sætning 3. Hvis $a≥0$, k og n er naturlige tal større end 1, så gælder ligheden: $(\sqrt[n](a))^k=\sqrt[n](a^k)$.
For at hæve en rod til en naturlig magt, er det nok at hæve det radikale udtryk til denne magt.
Bevis.
Lad os se på det specielle tilfælde for $k=3$. Lad os bruge sætning 1.
$(\sqrt[n](a))^k=\sqrt[n](a)*\sqrt[n](a)*\sqrt[n](a)=\sqrt[n](a*a *a)=\sqrt[n](a^3)$.
Det samme kan bevises for enhver anden sag. Gutter, bevis det selv, når $k=4$ og $k=6$.
Sætning 4. Hvis $a≥0$ b n,k er naturlige tal større end 1, så gælder ligheden: $\sqrt[n](\sqrt[k](a))=\sqrt(a)$.
For at udtrække en rod fra en rod er det nok at gange røddernes indikatorer.
Bevis.
Lad os bevise det kort igen ved hjælp af en tabel. For at bevise dette vil vi bruge et forenklet diagram i form af en tabel: 
Eksempel.
$\sqrt(\sqrt(a))=\sqrt(a)$.
$\sqrt(\sqrt(a))=\sqrt(a)$.
$\sqrt(\sqrt(a))=\sqrt(a)$.
Sætning 5. Hvis eksponenterne for roden og det radikale udtryk ganges med det samme naturlige tal, ændres rodens værdi ikke: $\sqrt(a^(kp))=\sqrt[n](a)$ .
Bevis.
Princippet for at bevise vores sætning er det samme som i andre eksempler. Lad os introducere nye variabler:
$\sqrt(a^(k*p))=x=>a^(k*p)=x^(n*p)$ (per definition).
$\sqrt[n](a^k)=y=>y^n=a^k$ (per definition).
Lad os hæve den sidste lighed til magten s
$(y^n)^p=y^(n*p)=(a^k)^p=a^(k*p)$.
Modtaget:
$y^(n*p)=a^(k*p)=x^(n*p)=>x=y$.
Det vil sige $\sqrt(a^(k*p))=\sqrt[n](a^k)$, hvilket er det, der skulle bevises.
Eksempler:
$\sqrt(a^5)=\sqrt(a)$ (delt indikatorerne med 5).
$\sqrt(a^(22))=\sqrt(a^(11))$ (divideret indikatorerne med 2).
$\sqrt(a^4)=\sqrt(a^(12))$ (indikatorer ganget med 3).
Eksempel.
Udfør handlinger: $\sqrt(a)*\sqrt(a)$.
Løsning.
Rodindikatorer er forskellige tal, så vi kan ikke bruge sætning 1, men ved at anvende sætning 5 kan vi få lige store indikatorer.
$\sqrt(a)=\sqrt(a^3)$ (indikatorer ganget med 3).
$\sqrt(a)=\sqrt(a^4)$ (indikatorer ganget med 4).
$\sqrt(a)*\sqrt(a)=\sqrt(a^3)*\sqrt(a^4)=\sqrt(a^3*a^4)=\sqrt(a^7)$.
Problemer, der skal løses selvstændigt
1. Beregn: $\sqrt(32*243*1024)$.2. Beregn: $\sqrt(7\frac(58)(81))$.
3. Beregn:
a) $\sqrt(81)*\sqrt(72)$.
b) $\frac(\sqrt(1215))(\sqrt(5))$.
4. Forenkle:
a) $\sqrt(\sqrt(a))$.
b) $\sqrt(\sqrt(a))$.
c) $\sqrt(\sqrt(a))$.
5. Udfør handlinger: $\sqrt(a^2)*\sqrt(a^4)$.
For at kunne bruge rodekstraktionsoperationen i praksis, skal du blive fortrolig med egenskaberne ved denne operation.
Alle egenskaber er formuleret og bevist kun for ikke-negative værdier af variablerne indeholdt under røddernes tegn.
Sætning 1. Rod n. grad(n=2, 3, 4,...) fra produktet af to ikke-negative chips er lig med produktet n'te rødder potens af disse tal:
Kommentar:
1.
Sætning 1 forbliver gyldig i det tilfælde, hvor det radikale udtryk er produktet af mere end to ikke-negative tal.
Sætning 2.Hvis,
og n er et naturligt tal større end 1, så er ligheden sand
Kort(omend unøjagtig) formulering, som er mere bekvem at bruge i praksis: roden af en fraktion er lig med fraktionen af rødderne.
Sætning 1 giver os mulighed for at gange t kun rødder af samme grad
, dvs. kun rødder med samme indeks.
Sætning 3.Hvis ,k er et naturligt tal og n er et naturligt tal større end 1, så er ligheden sand
Med andre ord, for at hæve en rod til en naturlig magt, er det nok at hæve det radikale udtryk til denne magt.
Dette er en konsekvens af sætning 1. Faktisk får vi for eksempel for k = 3: Vi kan ræsonnere på nøjagtig samme måde i tilfælde af enhver anden naturværdi af eksponenten k.
Sætning 4.Hvis ,k, n er naturlige tal større end 1, så er ligheden sand
Med andre ord, for at udtrække en rod fra en rod, er det nok at gange røddernes indikatorer.
f.eks.
Vær forsigtig! Vi lærte, at fire operationer kan udføres på rødder: multiplikation, division, eksponentiering og rodudvinding (fra roden). Men hvad med at tilføje og trække rødder fra? Ingen måde.
For eksempel i stedet for at skrive Virkelig, Men det er indlysende, at
Sætning 5.Hvis indikatorerne for roden og det radikale udtryk ganges eller divideres med det samme naturlige tal, så ændres værdien af roden ikke, dvs.
Eksempler på problemløsning
Eksempel 1. Beregne
Løsning. Ved at bruge røddernes første egenskab (sætning 1) får vi:
Eksempel 2. Beregne
Løsning. Lad os vende om blandet antal til en ukorrekt brøkdel.
Vi har ved hjælp af den anden egenskab af rødder ( Sætning 2
), får vi:
Eksempel 3. Beregne: 
Løsning. Enhver formel i algebra, som du godt ved, bruges ikke kun "fra venstre mod højre", men også "fra højre til venstre". Røddernes første egenskab betyder således, at de kan repræsenteres i formen og omvendt kan erstattes af udtrykket . Det samme gælder røddernes anden egenskab. Med dette i betragtning, lad os udføre beregningerne.
Det er vigtigt for os at bevare dit privatliv. Af denne grund har vi udviklet en privatlivspolitik, der beskriver, hvordan vi bruger og opbevarer dine oplysninger. Gennemgå venligst vores privatlivspraksis og fortæl os, hvis du har spørgsmål.
Indsamling og brug af personlige oplysninger
Personoplysninger refererer til data, der kan bruges til at identificere eller kontakte en bestemt person.
Du kan blive bedt om at give dine personlige oplysninger til enhver tid, når du kontakter os.
Nedenfor er nogle eksempler på de typer af personlige oplysninger, vi kan indsamle, og hvordan vi kan bruge sådanne oplysninger.
Hvilke personlige oplysninger indsamler vi:
- Når du sender en anmodning på webstedet, kan vi indsamle forskellige oplysninger, herunder dit navn, telefonnummer, adresse e-mail osv.
Sådan bruger vi dine personlige oplysninger:
- De personlige oplysninger, vi indsamler, giver os mulighed for at kontakte dig og informere dig om unikke tilbud, kampagner og andre begivenheder og kommende begivenheder.
- Fra tid til anden kan vi bruge dine personlige oplysninger til at sende vigtige meddelelser og kommunikationer.
- Vi kan også bruge personlige oplysninger til interne formål, såsom at udføre revisioner, dataanalyse og forskellige undersøgelser for at forbedre de tjenester, vi leverer, og give dig anbefalinger vedrørende vores tjenester.
- Hvis du deltager i en præmielodtrækning, konkurrence eller lignende kampagne, kan vi bruge de oplysninger, du giver, til at administrere sådanne programmer.
Videregivelse af oplysninger til tredjemand
Vi videregiver ikke oplysningerne modtaget fra dig til tredjeparter.
Undtagelser:
- Om nødvendigt - i overensstemmelse med loven, retsproceduren, i forsøg, og/eller baseret på offentlige anmodninger eller anmodninger fra offentlige myndigheder på Den Russiske Føderations område - videregive dine personlige oplysninger. Vi kan også videregive oplysninger om dig, hvis vi fastslår, at en sådan videregivelse er nødvendig eller passende af hensyn til sikkerhed, retshåndhævelse eller andre offentlige formål.
- I tilfælde af en omorganisering, fusion eller salg kan vi overføre de personlige oplysninger, vi indsamler, til den relevante efterfølgende tredjepart.
Beskyttelse af personlige oplysninger
Vi tager forholdsregler - herunder administrative, tekniske og fysiske - for at beskytte dine personlige oplysninger mod tab, tyveri og misbrug, samt uautoriseret adgang, offentliggørelse, ændring og ødelæggelse.
Respekter dit privatliv på virksomhedsniveau
For at sikre, at dine personlige oplysninger er sikre, kommunikerer vi privatlivs- og sikkerhedsstandarder til vores medarbejdere og håndhæver strengt privatlivspraksis.
EMNE: Power funktion. n'te rod
MÅL:
Gentagelse af materialet under spillet, bevidst assimilering af disse emner.
At dyrke ansvar, opmærksomhed, hukommelsestræning.
Udvikling af intelligens og opfindsomhed. At fremme udviklingen af kognitiv interesse for matematik.
ORGANISATORISK ØJEBLIK
Klokken ringede. Børnene satte sig på deres pladser. Læreren stiller spørgsmål til eleverne, og de besvarer spørgsmålene ved at række hænderne op:
Fortæl mig venligst, hvad vi har studeret i de sidste par lektioner? ( Børnene navngiver selv emnet for denne lektion)
Hvad tror du er formålet med vores lektion i dag? ( Børn forsøger selv at formulere målet med lektionen, læreren retter det kun)
Velkommen til landet"Matematik "! Til landet med logaritmer, simple beregninger, rødder, konstruktioner og ligninger! På tur rundt i landet"Matematikere "2 hold sendes: "ROOT", "GRAD", rejsen vil foregå under mottoet (skrevet på tavlen på forhånd ): "EN BOG ER EN BOG, OG FLYT DINE HJERNER" (V.V. Mayakovsky). Holdmedlemmer vil blive belønnet med røde kort for rigtige svar.
1. Dannelse af hold
Hver elev modtog ved indgangen til kontoret et kort, hvorpå formlen for funktionen var skrevet (alle har en anden). Hver elev bestemmer, hvilken funktion han har, lige eller ulige, hvis lige - kommandoen "ROOT", ulige - "GRAD".
Funktionsmuligheder:f(x)=
,
f(x)=
f(x)= 
, f(x)= 
f(x)= 
f(x)= 
f(x)= 
f(x)= 
f(x)= 
f(x)= 
f(x)= 
, f(x)= 
f(x)= 
f(x)= 
f(x)=
f(x)=
f(x)=
f(x)=
2. Valg af chef for hvert hold
OPGAVE: beslut og forsvar dit svar (chefen skal kunne tænke hurtigt og være ansvarlig for alt); til hvilke værdier variabelt udtryk giver mening ( udtryk er skrevet på tavlen på forhånd) :
|
Svar: -8≤ x Svar: -11≤ x
3. Opvarmning
For hvert korrekt svar - 1 kort ( hold begynder at få point). Læreren læser opgaven, svarer eleverne.
Aritmetik underskriver jeg
Du finder mig på mange linjer i problembogen.
Kun "o" du indsætter i ordet, vel vidende hvordan,
Og jeg er et geografisk punkt. (+, stang)
Jeg er et tal mindre end ti
Det er nemt for dig at finde mig.
Men hvis du beordrer bogstavet "I" til at stå ved siden af dig,
Jeg er alt - far, og dig, og bedstefar og mor. (syv, familie)
4. Vi fortsætter vores rejse og på vores vej støder vi på en kæmpe mur, hvorpå opgaven er skrevet (forberede en plakat i form af en væg på forhånd
): beregn: 
For at overvinde denne mur, skal du løse denne opgave, uanset hvilket hold der løser den vil optjene point.(0,7+0,3=1)
1) egenskaber for en potensfunktion med n – lige;
2) egenskaber for en potensfunktion med n – ulige.
6. Den næste test for os bliver konkurrencen "VIS DIG SELV". Konkurrencebetingelser: hvert holdmedlem går på skift til bestyrelsen og løser enhver opgave efter eget valg, det første hold, der fuldfører opgaverne, vinder.
7. Hold forbereder spørgsmål til hinanden. De får point for det rigtige svar og for originalitet.
8. RESULTAT. PRISER. Hvert hold forbereder sig sidste ord, som afslører spørgsmålene: hvad gav dagens lektion til hvert hold og individuelle repræsentanter, kommentarer til lektionen og læreren. Give karakterer med kommentarer (til hvilke aktiviteter og hvorfor).
Indlæser...